Interacting Electronic Topology of Nonlocal Crystals

材料科学の世界において、科学者たちは古くから絶縁体、すなわち電気の流れを遮断する物質に魅了されてきました。数十年にわたり、標準的な見解では、これらの物質は電子が特定の原子に固定され、まるでガレージに駐車された車のようにはまっているために機能していると考えられてきました。しかし、物理学における革命により、一部の絶縁体ははるかに神秘的であることが明らかになりました。これらの「トポロジカル」絶縁体は、個々の原子のみを見ても説明できない、隠れた非局所的な性質を備えています。それらは、物質全体にわたる電子の集団的な振る舞いから生じるものです。この発見は、対称性と量子もつれに基づく物質の新しい分類へとつながりました。そこでは、ゲームのルールは、空間における構造の繰り返し方によって決定されます。しかし、常にこれらの理論を支えてきた根本的な仮定がありました。それは、電子間の相互作用は局所的でなければならない、つまり、電子は自身のすぐ隣の存在しか感じることができないというものです。もし電子が結晶の反対側にある別の電子に対して瞬時に影響を与えることができれば、一次元鎖の概念そのものが崩壊し、確立されたトポロジーの規則は適用されなくなるでしょう。

研究チームは、この局所性のルールをあえて破ることを試みることで、この仮定に挑戦しました。彼らは単純かつ深遠な問いを投げかけました。「もし、結晶内の結晶内における無限の距離を超えて電子が相互作用することを許容したとしても、依然として繰り返しのパターンを維持している場合、通常の条件下では不可能な状態の物質を作り出すことができるだろうか？」という問いです。彼らの答えは、明確な「イエス」でした。電子が距離に関わらずあらゆる他の電子と相互作用する一次元結晶の理論モデルを構築することで、彼らは、通常の局所的な材料ではあり得ない特定の対称性を備えた、ユニークで安定した物質の状態を発見しました。この状態は単なる数学的な好奇心の対象ではありません。それは非局所的な相互作用によってのみ存在する、堅牢でギャップを持つ基底状態であり、非局価性が、以前は到達不可能と考えられていた物理的現実の全く新しい領域を開拓することを証明しています。

研究者たちは、特定の結晶配置に焦点を当てました。それは、電子がスピンと呼ばれる性質を持ち、時間反転対称性の影響を受ける、繰り返しのパターンを持つ一次元の原子の環です。このような系において、物理学者は、結晶を裏返したときに電子の集合全体がどのように振る舞うかを記述するために、「反転固有値」として知られる特定の数値を使用します。標準的な非相互作用の材料では、この数値は常に正です。電子が隣接する原子としか対話しない、より複雑な相互作用を持つ材料では、この数値は負になり得ますが、それは結晶の総サイズに依存する場合に限られます。具体的には、局所的な結晶では、結晶の長さを1ユニット加えるたびに、この数値の符号が反転します。このサイズ依存性は、局所的な材料における厳格な法則です。つまり、結晶がどれほど大きくなっても変わることのない負の符号は、厳密に禁止されています。

この法則の限界をテストするために、チームは、運動量空間において対角化される、初志谷（Hatsugai）と本間（Kohmoto）によって提案された相互作用を用いた正確な数学モデルを構築しました。物理的な意味において、これは相互作用が近くの原子に限定されず、システム全体に及ぶことを意味し、実質的に、すべての部分が他のすべての部分と接続されたゼロ次元の物体のように結晶を機能させます。彼らはこのモデルに電子を注入し、系の最低エネルギー状態、すなわち基底状態を解きました。その結果は驚くべきものでした。彼らが見出した基底状態はユニークで安定しており、励起状態へのギャップを持っていました。つまり、それは真の絶縁体なのです。最も重要なことは、この状態が、サイズに依存しない負の1という反転固有値を持ち、結晶にいくつの単位セルが追加されても変化しなかったことです。このサイズに依存しない負の符号は、固定サイズの系に対して対称理論が許容する値ですが、局所的な物理学では厳密に禁止されているものです。このモデルは、すべての局所的な結晶において「禁止領域」に位置する状態を成功裏に実現し、非局所性が新しい相の物質への具体的なルートであることを示しました。

研究者たちはまた、この相互作用を局所的なものに強制しようとした場合、つまり影響の範囲を数個の隣接する原子に制限した場合に何が起こるかを調査しました。その際、彼らがこの特異な状態を保護していたエネルギーギャップは、システムが大きくなるにつれて消失し、材料はギャップレス（隙間のない状態）となり、絶縁体の特性を失いました。これにより、彼らが見出したエキゾチックな状態が、局所的な相の微妙な変形ではなく、無限範囲の相互作用の直接的な帰結であることが確認されました。さらに、彼らはリング内の電子の重心に関連する幾何学的な量を計算しました。標準的な局所的絶縁体では、この値は常に整数です。しかし、彼らの非局所的モデルでは、この値は正確に1/2であり、この分数的な数値は、電子が繰り返しの単位内における特定の非自明な位置に固定されていることを示しています。この分数的な値は、サイズに依存しない負の符号と相まって、この新しい非局所的結晶相の明確な指紋となります。

この研究は一次元で行われましたが、著者らは、その枠組みを高次元に拡張できることを示しました。二次元においては、いくつかの複雑な対称のパターンが可能であるものの、一次次元で見出した特定のサイズに依存しない負の符号は、チャーン数（Chern number）として知られる別のトポロジカルな量によって課される制約により、非局所的な相互作用を用いても実現できないことが分かりました。これは、非局所的な結晶のルールが、局所的な結晶の単純な拡張ではなく、独自の制約と可能性を伴うものであることを強調しています。この研究は、私たちがまだ実験室で完璧な非局所的結晶を構築することはできないものの、理論的な展望が広がったことを示唆しています。長距離相互作用が自然に存在するトラップされたイオン、極低温原子、あるいはリドバーグ配列などの系は、これらのエキゾチックな状態を宿す可能性があります。対称性によって許容されるが局所性によって禁止される状態が存在することを証明することで、この研究は物質の分類における新しい章を開きました。それは、電子が虚空を越えて互いに触れ合うことを許容するならば、絶縁体の可能性の宇宙は、私たちが考えていたよりもはるかに広いものであることを示しているのです。