Renormalization group evolution induced breaking of $μ-τ$ reflection symmetry in MSSM with effects of variation of $tanβ$

技術要約：MSSMにおける$\tan\beta$の変動効果を伴う、繰り込み群進化による$\mu-\tau$反射対称性の破れ

問題提起
ニュートリノ振動データは、大気混合角$\theta_{23}$およびディラックCP位相$\delta$が極大値に近いことを示しており、これは基礎となる$\mu-\tau$反射対称性を示唆する特徴である。この対称性は、厳密な極大混合（$\theta_{23} = \pi/4$）および特定のCP位相（$\delta = \pi/2$または$3\pi/2$）を予測する。しかし、現在のグローバル解析は、これらの厳密な値からの、わずかながらゼロではない偏差を明らかにしている。本論文は、これらの偏差が、ニュートリノ・パラメータの繰り込み群（RG）進化によって自然に説明され得るかどうかを調査するものである。具体的には、本研究は最小超対称標準模型（MSSM）に焦点を当て、高次のフレーバー対称性スケール（$\Lambda_{FS}$）から電気弱スケールへとエネルギー・スケールが変化する過程において、ヒッグス真空期待値の比である$\tan\beta \equiv v_u/v_d$の変動が、どのように$\mu-\tau$反射対称性の破れに影響を与えるかを検証する。

手法
著者らは、19個の結合した1ループ繰り込み群方程式（RGE）の系を解くために、数値的なアプローチを採用している。その手法は以下のステップを含む：

1. 理論的枠組み： 解析は、高次のフレーバー対称性スケール $\Lambda_{FS}$ において厳密な$\mu-\tau$反射対称性が存在することを仮定している。進化は2つの段階を経て進行する：

   • MSSM領域： $\Lambda_{FS}$ からSUSY破れスケール $\Lambda_s = 7$ TeV まで。
   • 標準模型（SM）領域： $\Lambda_s$ から電気弱スケール（トップクォーク質量 $m_t$ と同等と定義）まで。
   • $\Lambda_s$ において、ゲージ結合の連続性を確保し、$\tan\beta$に基づいて湯川結合（$y_t, y_b, y_\tau$）を再スケーリングするための適切なマッチング条件が適用される。

2. パラメータ空間：

   • 固定入力： 対称性は、$\Lambda_{FS}$ における$\theta_{23}$、$\delta$、およびマヨラナ位相の極大値を課す。ゲージ結合および湯川結合は、実験的な低エネルギー値から上方へと進化させ、高スケールの入力を決定する。
   • 自由パラメータ： 3つのニュートリノ質量固有値（$m_1, m_2, m_3$）および混合角 $\theta_{12}$ と $\theta_{13}$ が、$\Lambda_{FS}$ において自由パラメータとして扱われる。
   • シナリオ： 解析は、順秩序（NO, $m_1 < m_2 < m_3$）と逆秩序（IO, $m_3 < m_1 < m_2$）の両方のシナリオをカバーする。各秩序に対して、2つの極大予測（ケースI: $\delta = \pi/2$; ケースII: $\delta = 3\pi/2$）に対応する2つのケースが解析される。
   • $\tan\beta$の変動： テスト対象として、3つのベンチマーク値 $\tan\beta = 10, 30, 58$ が用いられる。

3. 数値実装： 結合した微分方程式はPythonコードを用いて解かれる。高スケールにおける自由パラメータは、進化後の低エネルギー値が、グローバルなニュートリノ振動データの$3\sigma$許容範囲内に収まり、かつニュートリノ質量の総和に関する宇宙論的境界条件（$\sum m_i < 0.12$ eV）を満たすように、試行錯誤的なアプローチを通じて調整される。

主要な結果
数値解析により、RG誘起の対称性の破れに関して以下の観察結果が得られた：

• $\tan\beta$への依存性： RGランニングの効果の大きさは、$\tan\beta$に強く依存する。
  • 小さい$\tan\beta$（例：10）の場合、混合角およびCP位相の、高スケールの対称的な値からの偏差は無視できる。
  • 大きい$\tan\beta$（例：58）の場合、偏差は著しく顕著になる。これは、MSSMにおけるタウ・湯川結合（$y_\tau \propto 1/\cos\beta$）の増大に起因しており、これがニュートリノ・パラメータのRG進化を支配するためである。
• 混合角：
  • $\theta_{12}$ および $\theta_{13}$ は、エネルギー・スケルが低下するにつれて緩やかに減少する。
  • $\theta_{23}$ は、順秩序（NO）シナリオではわずかに増加し、第2オクタント（値が$45^\circ$より大きい領域）へと移動する一方、逆秩序（IO）シナリオではわずかに減少し、第1オクタントに留まる。
  • $\theta_{23}$ の偏差は、低い$\tan\beta$の値と比較して、$\tan\beta = 58$ の場合に際立っている。
• CP位相：
  • ディラック位相 $\delta$ およびマヨラナ位相は、$\tan\beta = 10$ および $30$ の場合、非常に小さな偏差しか示さない。
  • $\tan\beta = 58$ の場合、CP位相（特に $\delta, \alpha, \beta$）の進化曲線は、より低い$\tan\beta$のケースから顕著に乖離しており、より強力な放射補正を示している。
• 質量固有値： 質量固有値のランニングは、すべてのシナリオにおいて $\tan\beta$ の変動に対してほとんど無感であることが判明した。質量二乗差および全ニュートリノ質量和は、高スケールの入力が適切に調整されている限り、すべてのテストされた $\tan\beta$ 値において実験的制約と一致している。

意義および主張
本論文は、MSSMにおける$\mu-\tau$反射対称性の放射的破れに関する詳細な調査を提供していると主張しており、特に $\tan\beta$ の影響を分離して扱っている。$\tan\beta$ を固定したり、SUSYスケールを変化させたりする可能性のある先行研究とは異なり、本研究はSUSY破れスケール（$\Lambda_s = 7$ TeV）を固定し、$\tan\beta$ を系統的に変化させている。

著者らは、$\mu-\tau$反射対称性はRG進化の下で概ね安定しているものの、パラメータ $\tan\beta$ が重要な制御ノブとして機能すると結論付けている。大きな $\tan\beta$ は放射補正を増幅させ、現在の実験データで観測されている極大値からの小さな偏差を生じさせる可能性がある。本研究は、高スケールの自由パラメータを注意深く選択すれば、高スケールでの厳密な対称性から、低エネルギーの実験的制約（混合角および質量差の$3\sigma$範囲を含む）を再現することが可能であることを示している。この成果は、SMや小規模な$\tan\beta$におけるMSSMと比較して、大きな $\tan\beta$ におけるMSSMではRG効果がより重要であるという確立された理解を補強するものである。