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A Theoretical Approach to Stablecoin Design via Price Windows

本論文は、裏付け資産の安定性を前提としない限り、恒常的な発行・償還価格を設ける価格窓方式のステーブルコインが、短期的および長期的な価格安定性を両立できないことを理論的に示し、その間に存在する「投機による準備金の枯渇リスク」と「裏付け資産の価格変動をそのまま引き継ぐこと」のトレードオフを明らかにしている。

原著者： Katherine Molinet, Aris Filos-Ratsikas

公開日 2026-02-19

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CC BY 4.0

原著者： Katherine Molinet, Aris Filos-Ratsikas

原論文は CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) でライセンスされています。 ✨ これは以下の論文のAI生成解説です。著者が執筆または承認したものではありません。技術的な正確性については原論文を参照してください。免責事項の全文を読む

🏪 物語：お菓子屋さんと「賢い客」

想像してください。あるお菓子屋さんが、**「1 個 100 円」で「魔法のクッキー（ステーブルコイン）」を売っているとします。
このお菓子屋さんは、クッキーを売る代わりに、「お金の代わりに、小麦粉（裏付け資産）」**を受け取ります。

1. 「価格の窓」って何？

このお菓子屋さんは、ルールをこう定めています。

買うとき（ミント）： 「105 円分（手数料込み）の小麦粉」を払えば、クッキーを 1 個渡します。
売るとき（リデンプ）： 「95 円分（手数料込み）の小麦粉」を返せば、クッキー 1 個を買い取ります。

つまり、クッキーの市場価格は**「95 円〜105 円」の間（窓）**に収まるはずです。95 円以下なら誰も市場で売らず、お菓子屋さんに直接売りますし、105 円以上なら誰も市場で買わず、お菓子屋さんから直接買います。これが「価格の窓」の仕組みです。

2. 小麦粉の値段が変動する問題

ここで問題があります。お菓子屋さんが受け取る**「小麦粉（裏付け資産）」の値段**が、毎日激しく上下するのです。

昨日は 1kg 100 円だった小麦粉が、今日は 50 円、明日は 200 円になるような状態です。

3. 「賢い客（投機家）」の出現

ここに、**「賢い客（投機家）」が現れます。彼は小麦粉の値動きを完璧に予測できるわけではありませんが、「安い時に買って、高い時に売る」**という基本戦略を徹底します。

小麦粉が安くなった時（例：1kg 50 円）：
賢い客は、「今なら 105 円分の小麦粉（2.1kg）でクッキーが買える！でも、このクッキーは市場で 100 円（2kg 分）で売れる！」と計算します。
→ クッキーを大量に買って、市場で売る。
お菓子屋さんは、2.1kg の小麦粉を受け取って、2kg 分の価値しかないクッキーを渡したことになります。お菓子屋さんの小麦粉が少し減ります。
小麦粉が高騰した時（例：1kg 200 円）：
賢い客は、「今ならクッキー 1 個（95 円分）を売れば、0.475kg の小麦粉がもらえる。でも、この小麦粉は市場で 95 円（0.475kg）で売れるから、実質的に得だ！」と計算します。
→ クッキーを市場で買って、お菓子屋さんに売って小麦粉をもらう。
お菓子屋さんは、0.475kg の小麦粉を渡して、95 円分のクッキーを受け取りました。お菓子屋さんの小麦粉がまた少し減ります。

4. 致命的な「抜け穴」

このお菓子屋さんのルール（価格の窓）には、致命的な欠陥があります。
**「誰が買っても、誰が売っても、同じ価格」**だからです。

賢い客は、小麦粉の価格が**「安い時」と「高い時」の差**を利用して、お菓子屋さんの在庫（小麦粉）を少しずつ盗み取ることができます。

小麦粉が安くて、クッキーが割高に見える時 → 小麦粉を奪う。
小麦粉が高くて、クッキーが割安に見える時 → 小麦粉を奪う。

この「差益」を繰り返すだけで、お菓子屋さんの小麦粉の在庫は、いつか必ずゼロになります。
どんなに大きな倉庫（準備金）を持っていても、賢い客が何年も何年もこの戦略を続ければ、最終的には在庫が尽きて、お菓子屋さんは倒産します。

💡 論文が伝えたかった「3 つの重要なこと」

この物語から、論文が導き出した重要な結論は以下の 3 点です。

1. 「価格の窓」だけでは長期的な安定は不可能

「95 円〜105 円」という窓を設けるだけでは、裏付け資産（小麦粉）の価格が激しく変動する限り、「短期的な安定」と「長期的な生存」を両立させることはできません。

窓を狭くすれば（手数料を安くすれば）、クッキーの価格は安定しますが、賢い客に小麦粉を盗まれやすくなり、すぐに倒産します。
窓を広くすれば（手数料を高くすれば）、倒産は遅れますが、クッキーの価格も小麦粉の価格に連動して大きく揺れ動くようになり、「安定した価格」という意味がなくなります。

2. 安定性は「引き継がれる」性質

この仕組みでは、**「クッキーの安定性は、小麦粉の安定性に依存する」**という結論になります。
小麦粉の価格が暴れ馬のように上下するなら、クッキーの価格も同じように暴れ馬になります。
「裏付け資産が不安定なら、それを裏付けにしたコインも不安定になる」というのは、数学的に避けられない運命なのです。

3. 解決策は「手数料」か「別の仕組み」

もしどうしてもこの仕組みを使いたいなら、「手数料（窓の広さ）」を、小麦粉の価格変動の大きさに合わせて大きく設定するしかありません。
しかし、それは「クッキーの価格が小麦粉の価格と同じくらい揺れる」ことを意味するので、ステーブルコインとしての価値が薄れてしまいます。
つまり、「価格の窓」だけで完結する仕組みは、不安定な資産（ビットコインやイーサリアムなど）を裏付けにするには不向きだということです。

🎯 まとめ：私たちに何ができる？

この論文は、**「魔法の箱（アルゴリズム）だけで、不安定な資産を安定させるのは無理だ」**と警告しています。

USDT や USDC（ドルを裏付けにしたもの）は、裏付けが「ドル」なので小麦粉の価格が安定しており、この「賢い客」の攻撃も受けにくいため、うまく機能しています。
アルゴリズム型や、ビットコインを裏付けにしたステーブルコインは、裏付け資産自体が暴れ馬なので、「価格の窓」だけの仕組みでは、いつか必ず賢い客に在庫を抜かれ、システムが崩壊します。

**「安定したコインを作りたいなら、まずは『安定した裏付け資産』を用意するか、あるいは『価格の窓』以外の新しい魔法（二次的な安定化メカニズム）を考えなければならない」**というのが、この論文が私たちに教えてくれる教訓です。

論文「A Theoretical Approach to Stablecoin Design via Price Windows」の技術的サマリー

この論文は、エジンバラ大学の Katherine Molinet と Aris Filos-Ratsikas によって執筆され、「価格ウィンドウ（Price Window）」モデルに基づくステーブルコインの設計が、裏付け資産（バックイング・コイン）の価格変動に対してどのように安定性を維持できるか（あるいは維持できないか）を数学的に分析したものです。

以下に、問題定義、手法、主要な貢献、結果、および意義について詳細をまとめます。

1. 問題定義 (Problem)

ステーブルコインは、特定の資産（通常は米ドル）に価格をペグ（連動）させることを目的としていますが、完全な分散化と証明された安定性を両立する設計は未だ存在しません。

価格ウィンドウモデル: 本論文で焦点を当てるのは、すべてのエージェントに対して一定の価格（または固定された手数料を含む価格）でステーブルコインの発行（Mint）と償還（Redeem）を行う設計です。
- 例：Tether (USDC, USDT) や、Cardano の Djed、USDN などの一部。
- 特徴：発行価格（ $\alpha$ ）と償還価格（ $\beta$ ）が固定されており、市場価格はこの範囲 $[\beta, \alpha]$ 内に収まるように働きます（価格ウィンドウ）。
核心的な課題:
- 裏付け資産が不安定（ボラティリティが高い）な場合（例：ETH や BTC）、この価格ウィンドウ設計は長期的な安定性を保てない可能性があります。
- 特定の「敏感な投機家（Sensitive Speculator）」が、裏付け資産の価格変動を利用して、システムから裏付け資産を抜く（アセット・デプレション）ことができるかどうかが問題となります。
- 既存の理論では、価格ウィンドウ設計がなぜ失敗するのか、またその失敗を防ぐための手数料の規模がどのように決定されるべきかが明確に定式化されていませんでした。

2. 手法 (Methodology)

著者らは、ステーブルコインのメカニズムを数学的にモデル化し、以下のアプローチで分析を行いました。

2.1 モデルの定義

時間: 離散的かつ無限の時間ステップ $T = \{1, 2, \dots\}$ 。
通貨:
- ステーブルコイン (Token): 市場価格 $d_t$ が 1 ドルになることを目指す。
- 裏付け資産 (Backing Coin): 価格 $p_t$ が外生的に決定される（例：ETH, BTC）。
メカニズム:
- 発行 (Mint): 1 枚のステーブルコインを $1+\varepsilon_\alpha$ ドル相当の裏付け資産で発行。
- 償還 (Redeem): 1 枚のステーブルコインを $1-\varepsilon_\beta$ ドル相当の裏付け資産で償還（残高が不足する場合は全額返却）。
- これにより、市場価格 $d_t$ は $[1-\varepsilon_\beta, 1+\varepsilon_\alpha]$ の範囲に収束するよう圧力がかかります。
エージェントの仮定:
- 投機家 (Speculator): システムの価格ウィンドウと裏付け資産の価格変動 $p_t$ を利用して、ステーブルコインの売買を通じて裏付け資産を利益として蓄積する存在。
- 敏感な投機家: 価格変動を認識し、最適に近い戦略で利益を追求する（完全な最適解に近いが、完全ではない）投機家。

2.2 分析アプローチ

一般理論 (Section 3): 任意の価格系列 $(1/p_t)$ に対して、投機家がシステムから裏付け資産を枯渇させる条件を、極限値（ $\liminf$ と $\limsup$ ）を用いて導出。
確率的モデル (Section 4): 裏付け資産の価格が独立同一分布 (i.i.d.) から従うと仮定し、投機家の期待効用最大化問題を解くことで、枯渇までの期待時間を計算する式を導出。
シミュレーション: 実際の ETH と BTC の価格データ、およびガウス・ランダム・ウォークモデルを用いたシミュレーションにより、理論結果を検証。

3. 主要な貢献 (Key Contributions)

価格ウィンドウ設計における根本的なトレードオフの証明:
- 二次的な安定化メカニズム（ガバナンストークンや株式トークンなど）がない場合、価格ウィンドウ設計は、裏付け資産が不安定な限り、短期的な安定性と長期的な安定性を同時に達成できないことを証明しました。
- 投機家によるアービトラージ（裁定取引）によって、いずれは裏付け資産が枯渇します。
枯渇防止のための閾値条件の導出:
- システムが持続可能であるための必要十分条件として、価格ウィンドウの幅（手数料 $\varepsilon$ ）が、裏付け資産の価格系列の漸近的なボラティリティ（ $\limsup (1/p_t) - \liminf (1/p_t)$ ）に比例して大きくなければならないことを示しました。
- 具体的には、 $\varepsilon \geq \frac{\limsup(1/p_t) - \liminf(1/p_t)}{\limsup(1/p_t) + \liminf(1/p_t)}$ が必要です。
「継承された不安定性」の定式化:
- 価格ウィンドウ設計において、ステーブルコインの市場価格のボラティリティは、裏付け資産のボラティリティから継承されることを示しました。
- 裏付け資産が不安定であれば、ステーブルコインも同様に不安定になる（価格ウィンドウを維持するために、市場価格の変動幅を大きく許容せざるを得ないため）。
枯渇時間の計算式と実証:
- 投機家の忍耐度（ $\delta$ ）やリスク許容度（ $\Lambda$ ）、および価格の分散（ $\sigma^2$ ）に基づいて、システムが枯渇するまでの期待時間を計算する公式を導出しました。
- 実際の ETH と BTC のデータを用いたシミュレーションでは、十分な資金を持つ投機家が、3 年以内にシステムから裏付け資産を枯渇させることが可能であることを示しました。

4. 結果 (Results)

定理 3.1 (一般結果):
- 価格ウィンドウ設計は、裏付け資産の価格が収束する場合（例：USDT/USDC のように $p_t=1$ で一定）にのみ、弱 $\varepsilon$ -安定性を達成できます。
- 価格が収束しない（ボラティリティがある）場合、投機家は無限の利益を得る可能性があり、システムは最終的に枯渇します。これを防ぐには、ウィンドウ幅（手数料）をボラティリティに比例して大きく設定する必要があります。
数値シミュレーションの結果:
- ボラティリティの影響: 裏付け資産のボラティリティ（ $\sigma^2$ ）が増加すると、枯渇までの時間は指数関数的に減少します（対数スケールで直線的に減少）。
- 投機家の特性: 投機家がより「忍耐強く」（ $\delta$ が小さい）、リスク許容度が高いほど、枯渇は速く進行します。
- 実データ検証: 2022 年 4 月から 2025 年 4 月の ETH と BTC の価格データを用いたシミュレーションでは、初期資金が十分であれば、両通貨とも 3 年以内に 1000 枚の裏付け資産を枯渇させることができました。ETH は BTC よりもボラティリティが高いため、より速く枯渇しました。

5. 意義と結論 (Significance)

理論的意義:
- 分散型ステーブルコインの設計空間において、「価格ウィンドウ」という最も一般的なアプローチの限界を数学的に明確にしました。
- 「なぜ crypto 裏付けのステーブルコインが価格ウィンドウ方式（USDC 型）を避け、より複雑なアルゴリズム的調整や過剰担保（DAI 型）を採用する傾向があるのか」に対する理論的な説明を提供しています。
実用的意義:
- システム設計者に対して、裏付け資産のボラティリティに基づいて、どの程度の手数料（価格ウィンドウの幅）を設定すべきかの理論的な指針を提供します。
- 高いボラティリティを持つ資産（ETH や BTC）を裏付けにする場合、価格ウィンドウのみで安定性を保つには、市場価格の変動幅を許容する必要があるため、実質的に「ステーブル」ではなくなるリスクがあることを警告しています。
将来の展望:
- 二次的な安定化メカニズム（例：清算、株式トークン、ガバナンス）が、この枯渇問題をどのように緩和できるか、あるいは設計空間をどう拡張できるかについての研究の基礎となります。

結論として、 この論文は、裏付け資産が不安定な場合、単純な価格ウィンドウ方式（固定発行・償還価格）は、投機家によるアービトラージによって長期的に破綻することを数学的に証明しました。したがって、分散型かつ安定なステーブルコインを実現するには、価格ウィンドウ単体ではなく、より複雑なメカニズムや、裏付け資産自体の安定性が不可欠であるという示唆を与えています。