Coherence, charity and triangulation in statistical modelling

見えない地図と共有された世界

あなたは、一度も訪れたことのない街をナビゲートしようとしているところだと想像してください。あなたには地図がありますが、その地図は街そのものではありません。それは、通りや公園、建物を表す記号、線、そして色の集合体です。統計学の世界では、この地図を「モデル」と呼び、現実世界から収集される「データ」を「都市」と呼びます。長い間、科学者や数学者たちは、この地図と都市の関係について議論してきました。ある人々は、都市とは測定されるのを待っている固定された客観的な現実であり、地図はそれをコピーするために私たちが使う単なる道具に過ぎないと考えました。またある人々は、地図は完全に私たちの頭の中にあるものであり、外にある実際の通りとは何の関係もない主観的な推測であると考えました。

本論文は、この論争、特に確率を「信念の度合い」として捉える考え方であるベイズ統計学の分野における議論を掘り下げます。ベイズ的な思考は、「雨が降る真の、不変の確率はいくらか？」と問うのではなく、「私が知っていることに基づいて、私はどれほど強く雨が降ると信じているか？」と問いかけます。本論文は、私たちの内なる信念（地図）と外部の世界（都市）の間に、明確な壁が存在するという考えに異を唱えます。著者は、私たちの「データ」は、それを見るために使用する「モデル」によってすでに形作られているため、両者を真に分離することはできないと示唆しています。これを理解するために、著者は3つの指針を用いています。整合性（Coherence）（あなたの地図は、すべてのピースがはまるパズルのように、内部的に筋が通っていなければならない）、慈愛（Charity）（他人の地図が概ね正しいと仮定することで、対話が可能になる）、そして三角測量（Triangulation）（現実の都市の場所を特定するには、少なくとも2人の人間が異なる角度から同じものを見ている必要がある）です。

この論文の核心：すべては一つの大きな信念体系である

この論文の中で、デビッド・サンプターは、統計学を、バケツに水を注ぐように新しいデータでモデルを「更新」するゲームとして考えるのをやめるべきだと主張しています。代わりに彼は、私たちの信念体系全体――モデル、データ、そして予測――は、一つの巨大で相互に連結したウェブであると示唆しています。彼は、これがどのように機能するかを示すために、サッカーの試合という継続的な例を用いています。同じ試合を見ている3人の人々を想像してください。すべてのシュートを書き留めるジョー、スマートフォンの画面でスコアとシュート数だけを確認しているジェン、そしてサッカーを見たことはないが、チームは10本のシュートに対して約1ゴールを決めるという話を長年聞いてきたジェーンです。

論文によれば、ジョー、ジェン、ジェーンにとって、「データ」と「モデル」の境界線は曖昧です。ジョーにとっての生のシュートリストは彼にとってはデータですが、ジェーンにとっては「10回に1回」という彼女の信念がデータとなります。ジェンの進行中の合計数は、両者の混合物です。著者は、「純粋な」データなど宇宙に発見されるのを待っているものではないと論じています。むしろ、私たちがデータと呼んでいるものは、私たちがすでに構築したモデルの残滓（ざんし）に過ぎないのです。サッカーのシュートを見るとき、私たちは数字を書き留める前に、何が「シュート」で何が「ゴール」であるかをすでに決定しています。

本論文は明確に、 ベイズの定理が、データが外部からやってきて内部のモデルを更新するという魔法の機械であるという考えを否定しています。著者は、これは誤解であると示唆しています。むしろ、ベイズの定理とは、あなた自身の信念体系の異なる部分がどのように結びついているかを記述するルールに過ぎません。それはビデオゲームのルールのようなものです。「もしコインをこれだけ持っていて、ライフをこれだけ持っていたら、スコアはXになるはずだ」というルールです。ゲームが外部からスコアを「更新」するのではなく、スコアは単にあなたがすでに持っているコインとライフの関係性に過ぎないのです。論文は、真の学習とは、単一の数値を微調整することではなく、自分の地図全体が間違っていることに気づき、新しい地図を構築することによって起こると示唆しています。

これを解決するために、本論文は、通常の「整合性」（数学的な矛盾がないようにすること）というルールに加え、私たちの統計的な地図に2つの新しいルールを加える必要があると提案しています。第一は**「慈愛（Charity）」です。これは、モデルを構築する際、他人が概ね正しいと想定し、自分のモデルが他人にとっても意味のあるものであるべきだという意味です。もしあなたが、他の誰も理解できないようなサッカーのゴールの数え方を発明したとしても、そのモデルは「大胆」なのではなく、単に役に立たないものです。第二のルールは「三角測量（Triangulation）」**です。これは、私たちの信念を他者や共有された世界と照らし合わせる必要があることを意味します。二人の人間が山の異なる側から見ることで頂上の位置について合意できるのと同様に、統計学者は自分のモデルを他者のモデルや現実の世界と比較し、単に作り事をしていないかを確認する必要があります。

論文は、娘のジェンの物語を用いて、これが実生活でどのように機能するかを示しています。彼女は、父（ジョー）が見落としていたことに気づきました。チームはゴールを決めた直後に、より頻繁にミスをしているように見えるのです。彼女は単に数字を「更新」したのではなく、自分のものの見方全体を修正する必要があることに気づきました。彼女は共有されたデータ（父のメモ）と自分自身の観察を用いて、より優れた信念体系を構築しました。著者は、最高の統計学者――世界の出来事を予測する「スーパーフォーキャスター」のような人々――は、これを行うのが最も得意な人々であると示唆しています。彼らは自分の内部的な論理に固執するだけでなく、他人がどう考えているか、そして実際に世界で何が起きているかと比較して、常に自分の信念を検証しているのです。

論文は、統計学者ジョージ・ボックスによる有名な格言の遊び心のある反転で締めくくられています。ボックスはかつて「すべてのモデルは間違っているが、有用なものもある」と言いました。著者は、これを次のように言い換えるべきだと示唆しています。「ほとんどのモデルは正しい。だからこそ有用なのである」。考え方はこうです。もしモデルが有用であるならば、それはすでに世界について概ね正しいはずです。それは、私たちが修正しようとしている壊れた地図ではなく、すでにかなり優れた地図であり、私たちの仕事は、他人の声に耳を傾け、共に世界を見ることによって、それをさらに良くしていくことなのです。本論文は、統計学のすべてを解決したとか、新しい数学的法則を証明したと主張しているわけではありません。むしろ、私たちの信念を共有され、慈愛に満ち、三角測量されたシステムとして考えることで、より良い科学を行い、より良い予測ができるようになることを示唆しています。これは、私たちのモデルを孤立した島として扱うのをやめ、私たちと世界との間の架け橋として扱い始めようという呼びかけなのです。