$\psi(2S)$ production in jets using NRQCD

기술 요약: NRQCD를 이용한 제트 내 $\psi(2S)$ 생성

문제 제기
쿼크코니움 생성, 특히 $J/\psi$ 및 $\psi(2S)$와 같은 차름모늄 상태는 섭동적 및 비섭동적 양자 색역학(QCD)을 모두 이해하기 위한 중요한 탐사 도구 역할을 한다. NRQCD 인자화(factorization)는 포괄적 생성(inclusive production)을 설명하는 데 성공해 왔으나, 무거운 쿼크-반쿼크 쌍의 해드로니제이션(hadronization)을 지배하는 장거리 행렬 요소(LDME)는 여전히 불확정성이 100~200%에 달할 정도로 잘 규명되지 않은 상태이다. 최근 LHCb 협력이 발표한 제트 내부의 $\psi(2S)$ 생성 측정 결과는 심각한 불일치를 드러냈다: 표준 NRQCD와 기본 Pythia 이벤트 생성기를 결합한 이론적 예측은 데이터를 설명하는 데 처참하게 실패했다. 이러한 실패는 $J/\psi$ 생성에서 관찰되었던 이전의 문제들과 유사하며, 이는 파톤 샤워 내에서의 쿼크코니움 분열(fragmentation)에 대한 표준 모델링이 불충분함을 시사한다. 또한, $\psi(2S)$ 메존은 $J/\psi$와 비교했을 때 상위 차름모늄 공명 상태로부터의 피드다운(feed-down) 오염이 적기 때문에 독특한 테스트 베드를 제공한다. 그러나 다양한 협력 연구(예: Bodwin 등, Brambilla 등, Butenschoen & Kniel)에서 추출된 $\psi(2S)$ LDME들은 큰 격차를 보이고 있으며, 이 매개변수들을 제약하기 위한 새로운 관측량이 필요하다.

방법론
저자들은 NRQCD에 기반하면서도 기본 Pythia 접근법을 개선한 두 가지 뚜렷한 이론적 프레임워크를 사용하여 제트 내 $\psi(2S)$ 생성을 조사한다:

1. 분열 제트 함수(Fragmenting Jet Function, FJF) 공식: 이 접근법은 소프트-콜리니어 유효 이론(SCET)을 활용하여 단면적을 엄밀하게 인자화한다. 계산에는 파톤 분포 함수, 하드 산란 계수, 그리고 하나의 파톤 $i$가 $\psi(2S)$를 포함하는 제트로 분열할 확률을 기술하는 특정 분열 제트 함수($G_i^{\psi(2S)}$)의 합성(convolution)이 포함된다. FJF는 섭동적 파톤 단면적을 스케일 $2m_c$에서의 NRQCD LDME과 매칭함으로써 계산된다. 결과적으로 얻어진 분열 함수들은 DGLAP 진화 방정식을 사용하여 스케일 $2m_c$에서 제트 스케일 $\mu_J \approx 2E \tan(R/2)$까지 해석적으로 진화된다. 이 진화는 합성 적분을 처리하기 위해 멜린 공간(Mellin space)에서 수행된다.

2. 글루온 분열 개선 Pythia(GFIP): 이 반-해석적 몬테카를로 방식은 표준 Pythia 이벤트 생성기를 수정한다. 저자들은 기본 해드로니제이션 모듈이 쿼크코니움으로의 전이를 처리하도록 두는 대신, 이 모듈을 비활성화한다. MadGraph를 사용하여 하드 산란 이벤트(차름 쿼크 및 글루온)를 생성한 후, 파톤 샤워가 약 $2m_c$의 컷오프 스케일까지 진화하도록 한다(이는 TimeShower:pTmin을 1.6 GeV로 설정함으로써 달성된다). 이 스케일에서 글루온 에너지 분율 분포를 추출하고, 이를 선형 차수(leading-order) NRQCD 분열 함수와 수동으로 합성한다. 이 방법은 하드 글루온이 쿼크코니움 형성에 필요한 가상도(virtuality) 스케일에 도달할 때까지 샤워를 진행한다는 물리적 그림을 모사하는 것을 목표로 한다.

본 연구는 두 공식의 예측을 $\sqrt{s} = 13$ TeV에서의 LHCb $\psi(2S)$ 제트 생성 데이터와 비교한다. 분석은 다양한 제트 $p_T$ 빈(bin)에 걸친 횡운동량 분율 $z = p_T(\psi(2S))/p_T(\text{jet})$에 초점을 맞춘다. 세 가지 서로 다른 $\psi(2S)$ LDME 세트(Bodwin 등, Brambilla 등, B&K)가 데이터와의 일관성을 평가하기 위해 테스트된다.

주요 결과

• 기본 모델 대비 개선 사항: FJF 및 GFIP 공식 모두 기본 Pythia+NRQCD 예측(데이터를 재현하는 데 실패함)보다 LHCb의 제트 내 $\psi(2S)$ 데이터를 훨씬 더 잘 설명한다.
• LDME 민감도: 제트 내 $\psi(2S)$ 분포는 서로 다른 LDME 추출을 구별하는 강력한 판별 도구 역할을 한다.
  • GFIP 예측은 세 가지 LDME 세트 모두에 대해 모든 $p_T$ 빈에서 실험 데이터와 대체로 잘 일치하지만, 실험적 산포가 큰 가장 높은 $p_T$ 빈에서는 불일치가 나타난다.
  • FJF 예측은 더 복잡한 거동을 보인다. Bodkin 등의 LDME 세트는 데이터 및 GFIP 예측과 모두 일치하는 결과를 나타내는 반면, Brambilla 등 및 B&K 세트는 $z \to 1$로 갈수록 데이터 및 GFIP 예측으로부터 크게 벗어난다.
• 엔드포인트(Endpoint) 거동: 저자들은 FJF 공식이 Brambilla 및 B&K LDME 세트에 대해 엔드포인트($z \to 1$) 근처에서 단면적의 상당한 증폭을 예측한다는 것을 확인했다. 반면, Pythia의 파톤 샤워에 의존하는 GFIP 방식은 이 영역에서 인위적인 억제를 보인다. 이러한 차이는 서로 다른 진화 메커니즘에서 기인한다: FJF는 $z \to 1$ 영역에 접근하는 DGLAP 진화(각도 정렬과 유사)를 사용하는 반면, Pythia는 $k_T$ 정렬을 사용한다. Bodkin 세트는 $^3P_J^{[8]}$과 $^3S_1^{[8]}$ 채널의 기여가 대략적으로 상쇄되기 때문에 이러한 큰 발산을 피하는데, 이는 $J/\psi$ 생성에서도 관찰되는 현상이다.
• 일관성: 결과는 FJF 계산이 Bodkin 등의 LDME 세트와 가장 일치함을 시사하며, 다른 세트들은 FJF 프레임워크 내에서 비물리적인 엔드포인트 발산을 초래한다.

의의 및 주장
본 논문은 제트 내 $\psi(2S)$ 생성을 연구하는 것이 현재 매우 미흡하게 결정된 $\psi(2S)$ LDME을 제약하기 위한 강력하고 필수적인 도구를 제공한다고 주장한다. 본 연구는 "분열 제트(fragmenting jet)" 그림이 FJF 또는 GFIF를 통해 구현될 때, 단순한 NRQCD+Pythia 조합의 실패를 해결하며 쿼크코니움 생성 내의 올바른 이론적 프레임워크임을 입증한다.

결정적으로, 저자들은 특히 FJF 형식을 사용할 때 $z$ 분포의 엔드포인트 영역에서 발생하는 서로 다른 LDME 추출값 간의 큰 격차를 강조한다. 그들은 현재 사용 가능한 어떤 세트도 모든 운동학적 빈에 걸쳐 제트 내 데이터와 완벽하게 일치하지는 않으므로, $\psi(2S)$ LDME에 대한 더 정밀한 추출이 필요하다고 결론짓는다. 본 논문은 향후의 전역적 피팅(global fits)이 포괄적 생성 데이터와 함께 LHCb의 제트 내 생성 데이터를 통합하여 이러한 비섭동적 매개변수들을 더욱 정밀하게 제약할 수 있다고 상정한다. 또한 저자들은 자신들의 FJF 결과가 엔드포인트 특이점(singularities)을 보이지만, 이는 현재 연구 범위를 벗어나 있으나 병행된 프리프린트(Ref. [51])에서 다루어진 임계값 재합산(threshold resummation)에 의해 조절될 수 있음을 언급한다.