Doubly robust integration of nonprobability and probability survey data

기술 요약: 비확률 및 확률 조사 데이터의 이중 강건 통합 (Doubly Robust Integration)

문제 정의
확률 조사는 모집단 평균 또는 유병률을 추정하는 데 있어 여전히 골드 스탠다드로 남아 있으나, 비용과 실행 가능성 측면에서 점점 더 큰 도전에 직면하고 있다. 반면, 비확률 조사는 접근성이 용이하지만 정의되지 않은 표본 추출 틀(sampling frames)과 잠재적인 선택 편향(selection bias) 문제를 안고 있다. 이러한 데이터 소스를 통합하는 저명한 접근 방식은 비확률 표본(Sample B)의 결과 데이터와 확률 표본(Sample A)의 공변량 데이터를 사용하는 것이다.

이러한 데이터 통합을 위해 이중 강건(Doubly Robust, DR) 추정량(역확률 가중치(IPW)와 질량 대치(MI)를 결합함)이 확립되어 왔으나, 특정 공백이 존재한다: 즉, 표준 호르비츠-톰슨(Horvitz-Thompson, HT) 또는 하예크(Hajek) 추정량(확률 표본의 결과 데이터만을 사용함)과 이러한 DR 추정량을 어떻게 최적으로 결합할 것인가의 문제이다. Gao와 Yang (2023)과 같은 기존 연구는 이 결합 문제를 다루었으나, 선택 모델과 결과 모델이 모두 올바르게 지정(specification)되어야 한다는 가정에 의존하였으며 주로 특정 DR 추정식에 초점을 맞추었다. 또한, 기존 방법들은 모델이 잘못 지정되었을 때 도메인(하위 집단) 추정 및 강건한 분산 추정을 위한 일반화가 부족한 경우가 많았다.

방법론
저자들은 확률 표본(Sample A)과 비확률 표본(Sample B)의 데이터를 통합하여 특정 도메인(하위 집단) 내의 결과 $Y$의 평균을 추정하기 위한 프레임워크를 제안한다.

1. DR 추정량의 일반화:
   본 논문은 이전에 제안된 DR 추정량(특히 Chen 등, 2020의 $\hat{\mu}_{DR1}$ 및 $\hat{\mu}_{DR2}$)을 도메인 추정을 처리할 수 있도록 확장한다.

   • $\hat{\mu}_{DR1}$ 및 $\hat{\mu}_{DR2}$: 이 추정량들은 Sample B의 결과 데이터만을 활용한다. 저자들은 도메인 크기($N_s$)를 사전에 알 필요가 없는 하예크 스타일의 변형 모델인 $\hat{\mu}_{KH2}$를 도입한다.
   • 넌서스 모델(Nuisance Models): 이 방법은 선택 모델(Sample B에 포함될 확률)과 결과 모델(공변량이 주어졌을 때 $Y$의 조건부 기댓값)을 사용한다. 이 추정량들은 "이중 강건"하며, 이는 선택 모델 또는 결과 모델 중 하나만 올바르게 지정되어도 일관성(consistency)을 유지함을 의미한다.
   • 분산 추정: 저자들은 설계 기반(design-based) 및 모델-설계 기반(model-design-based) 추론 모두에 대해 이 추정량들의 점근적 분산 공식을 도출한다. 결정적으로, 넌서스 모델 중 하나가 잘못 지정되더라도 유효하게 유지되는 분산 추정량을 제공한다.

2. 추정량의 효율적 결합:
   핵심 기여는 Sample A의 결과만을 사용하는 표준 HT 또는 Hajek 추정량과 Sample B의 결과 및 Sample A의 공변량을 사용하는 DR 추정량을 가중 결합하는 것이다.

   • 가중치 체계: 최적 가중치 $w$는 선형 결합 $(1-w)\hat{\mu}_H + w\hat{\mu}_{DR}$의 분산을 최소화하도록 도출된다. 이 가중치는 개별 추정량의 분산($V_H, V_D$)과 그들의 공분산($C$)에 따라 결정된다.
   • 공분산 도출: 본 논문은 HT/Hajek 추정량과 DR 추정량 사이의 공분산을 명시적으로 도출하며, 두 추정량의 공분산이 0이라는 일부 기존 문헌의 가정을 교정한다. 저자들은 두 추정량이 동일한 확률 표본의 공변량 데이터를 사용하기 때문에 일반적으로 독립적이지 않음을 보여준다.
   • 강건성: 제안된 결합 방식은 결과 모델이 잘못 지정된 경우의 특수한 사례인 IPW 추정량의 사용을 허용하며, 두 넌서스 모델이 모두 올바르게 지정될 것을 요구하지 않는 분산 공식을 제공한다.

3. 점근적 상대 효율성(Asymptotic Relative Efficiency, ARE):
   저자들은 결합 추정량의 구성 추정량들에 대한 ARE를 도출한다. 이들은 결합 추정량의 효율성 이득이 구성 추정량들의 분산 비율과 그들 사이의 상관관계(공변량이 결과에 얼마나 예측력이 있는지에 의해 결정됨)에 달려 있음을 입증한다.

주요 결과

• 이론적 효율성: 본 논문은 결합 추정량이 두 구성 요소 중 더 효율적인 것과 비교했을 때, 두 구성 요소의 분산이 같을 때 상대적 효율성이 극대화된다는 것을 증명한다. 그러나 이 이득은 제한적이며, 결합 추정량이 단일 최선 구성 요소보다 2배(200%) 이상 효율적일 수는 없다.
• 시뮬레이션 연구: 결과 분포, 표본 크기, 표본 설계가 다양한 36개의 시나리오를 포함하는 시뮬레이션 연구가 수행되었다.
  • 효율성 이득: 결합 추정량($\hat{\mu}_{HT,PL1}$ 및 $\hat{\mu}_{Haj,PL2}$)은 일관되게 개별 구성 요소보다 우수한 성능을 보였다. 효율성 이득은 구성 추정량들의 분산이 유사할 때(즉, Sample A와 Sample B의 크기가 비슷할 때) 가장 두드러졌다.
  • 모델 오지정: 결합 추정량은 결과 모델이 잘못 지정되었을 때도 강건성을 유지하여 DR 프레임워크의 이론적 특성을 확인하였다.
  • 분산 추정: 제안된 분산 추정량은 경험적 표준 오차와 밀접하게 일치하는 표준 오차를 산출하였다(비율 0.941.05). 95% 신뢰 구간의 피복률(coverage)은 일반적으로 명목 수준(93%96.5%)에 근접했으나, Sample B의 크기가 매우 작은 시나리오에서는 약간의 과소 피복이 관찰되었다.
  • KH vs. PL: Kim-Haziza(KH) 방법과 최대 의사 가능도(PL) 방법은 유사한 결과를 나타냈으나, KH 방법은 소표본에서 간혹 수렴 문제가 발생했다.

의의 및 주장
본 논문은 확률 표본과 비확률 표본의 결과 데이터를 효율적으로 통합하는 작업이 조사 방법론에서 주목을 덜 받은 영역임을 주장한다. 주요 의의는 다음과 같다:

1. 일반화: DR 추정량을 도메인 추정으로 확장하고, 도메인 크기를 모르는 상태에서도 작동하는 Hajek 스타일의 변형 모델($\hat{\mu}_{KH2}$)을 도입하였다.
2. 강건한 결합: HT/Hajek과 DR 추정량을 공분산을 고려하여 결합하고 모델 오지정 하에서도 유효한 엄격한 프레임워크를 제공하였다.
3. 실용적 유용성: 시뮬레이션을 통해 결합 접근 방식이 특히 두 데이터 소스가 상보적인 정보(즉, 개별 분산이 유사할 때)를 제공할 때 실질적인 효율성 이득을 얻을 수 있음을 입증하였다.

저자들은 Gao와 Yang이 제안한 추정량 간의 일치성에 대한 사전 검정(pre-testing)을 탐구하지 않았음을 겸허히 언급하면서도, 자신들의 프레임워크가 이론적으로 그러한 접근법을 수용하도록 확장될 수 있다고 밝혔다. 또한, 자신들의 분산 추정량을 부트스트랩 기반 근사치와 비교하는 향후 연구의 필요성을 식별하였다.