Doubly robust integration of nonprobability and probability survey data

Résumé technique : Intégration doublement robuste de données d'enquêtes de non-probabilité et de probabilité

Énoncé du problème
Les enquêtes probabilistes demeurent la référence pour estimer les moyennes ou les prévalences de population, mais elles sont confrontées à des défis croissants en termes de coût et de faisabilité. À l'inverse, les enquêtes de non-probabilité offrent des données accessibles mais souffrent de cadres d'échantillonnage indéfinis et d'un potentiel biais de sélection. Une approche de premier plan pour intégrer ces sources de données consiste à utiliser les données de résultats provenant d'un échantillon de non-probabilité (Échantillon B) et les données de covariables provenant d'un échantillon de probabilité (Échantillon A).

Bien que des estimateurs doublement robustes (DR) aient été établis pour cette intégration — combinant la pondération par l'inverse de la probabilité (IPW) et l'imputation de masse (MI) — une lacune spécifique subsiste : comment combiner de manière optimale ces estimateurs DR avec un estimateur de Horvitz-Thompson (HT) ou de Hajek standard dérivé uniquement des données de résultats de l'échantillon de probabilité. Des travaux antérieurs, tels que ceux de Gao et Yang (2023), ont abordé cette combinaison mais reposaient sur l'hypothèse que les modèles de sélection et de résultat sont correctement spécifiés et se concentraient principalement sur des formulations spécifiques d'estimateurs DR. De plus, les méthodes existantes manquaient souvent de généralisation pour l'estimation de domaines (sous-populations) et de l'estimation robuste de la variance en cas de spécification erronée des modèles.

Méthodologie
Les auteurs proposent un cadre pour estimer la moyenne d'un résultat $Y$ dans un domaine spécifique (sous-population) en intégrant des données provenant d'un échantillon de probabilité (Échantillon A) et d'un échantillon de non-probabilité (Échantillon B).

1. Généralisation des estimateurs DR :
   L'article étend les estimateurs DR précédemment proposés (spécifiquement $\hat{\mu}_{DR1}$ et $\hat{\mu}_{DR2}$ par Chen et al., 2020) pour gérer l'estimation de domaine.

   • $\hat{\mu}_{DR1}$ et $\hat{\mu}_{DR2}$ : Ces estimateurs utilisent les données de résultats uniquement de l'Échantillon B. Les auteurs introduisent une variante de type Hajek ($\hat{\mu}_{KH2}$) qui ne nécessite pas de connaître a priori la taille du domaine ($N_s$).
   • Modèles de nuisance : La méthode emploie un modèle de sélection (pour la probabilité d'inclusion dans l'Échantillon B) et un modèle de résultat (pour l'espérance conditionnelle de $Y$ étant donné les covariables). Les estimateurs sont « doublement robustes », ce qui signifie qu'ils restent cohérents si soit le modèle de sélection, soit le modèle de résultat est correctement spécifié.
   • Estimation de la variance : Les auteurs dérivent des formules de variance asymptotique pour ces estimateurs sous des inférences basées sur le plan de sondage et sur le modèle-plan de sondage. Crucialement, ils fournissent des estimateurs de variance qui restent valides (doublement robustes) même si l'un des modèles de nuisance est mal spécifié.

2. Combinaison efficace d'estimateurs :
   La contribution centrale est le développement d'un estimateur combiné qui pondère un estimateur HT ou Hajek standard (utilisant uniquement les résultats de l'Échantillon A) et un estimateur DR (utilisant les résultats de l'Échantillon B et les covariables de l'Échantillon A).

   • Schéma de pondération : Le poids optimal $w$ est dérivé pour minimiser la variance de la combinaison linéaire $(1-w)\hat{\mu}_H + w\hat{\mu}_{DR}$. Ce poids dépend des variances des estimateurs individuels ($V_H, V_D$) et de leur covariance ($C$).
   • Dérivation de la covariance : L'article dérive explicitement la covariance entre l'estimateur HT/Hajek et l'estimateur DR, corrigeant l'hypothèse de certains travaux antérieurs selon laquelle cette covariance est nulle. Les auteurs démontrent que, puisque les deux estimateurs utilisent les mêmes données de covariables de l'échantillon de probabilité, ils ne sont généralement pas indépendants.
   • Robustesse : La combinaison proposée permet l'utilisation d'estimateurs IPW (un cas particulier de DR avec un modèle de résultat mal spécifié) et fournit des formules de variance qui ne nécessitent pas que les deux modèles de nuisance soient correctement spécifiés.

3. Efficacité relative asymptotique (ARE) :
   Les auteurs dérivent l'ARE de l'estimateur combiné par rapport à ses estimateurs composants. Ils démontrent que le gain d'efficacité dépend du ratio des variances des estimateurs composants et de la corrélation entre eux (qui est dictée par la capacité prédictive des covariables sur le résultat).

Résultats clés

• Efficacité théorique : L'article prouve que l'efficacité relative de l'estimateur combiné par rapport au plus efficace de ses deux composants est maximisée lorsque les deux composants ont une variance égale. Cependant, ce gain est borné ; l'estimateur combiné ne peut être plus de deux fois plus efficace (200 %) que le meilleur composant individuel.
• Étude de simulation : Une étude de simulation impliquant 36 scénarios (variant les distributions de résultats, les tailles d'échantillon et les plans de sondage) a été menée.
  • Gains d'efficacité : Les estimateurs combinés ($\hat{\mu}_{HT,PL1}$ et $\hat{\mu}_{Haj,PL2}$) ont systématiquement surpassé leurs composants individuels. Les gains étaient plus prononcés lorsque les variances des estimateurs composants étaient similaires (c'est-à-dire lorsque les tailles des Échantillons A et B étaient comparables).
  • Spécification erronée du modèle : Les estimateurs combinés ont maintenu leur robustesse lorsqu'un modèle de résultat était mal spécifié, confirmant les propriétés théoriques du cadre DR.
  • Estimation de la variance : Les estimateurs de variance proposés ont produit des erreurs types qui correspondaient étroitement aux erreurs types empiriques (ratios compris entre 0,94 et 1,05). La couverture des intervalles de confiance à 95 % était généralement proche du niveau nominal (93 % – 96,5 %), avec une légère sous-couverture observée dans les scénarios avec des tailles d'Échantillon B très faibles.
  • KH vs. PL : La méthode Kim-Haziza (KH) et la méthode de Maximum de Pseudo-Vraisemblance (PL) ont produit des résultats similaires, bien que la méthode KH ait occasionnellement rencontré des problèmes de convergence dans de petits échantillons.

Signification et revendications
L'article affirme traiter un domaine de recherche peu exploré en méthodologie de sondage : l'intégration efficace de données de résultats provenant de la fois d'échantillons de probabilité et de non-probabilité. Sa principale importance réside dans :

1. Généralisation : Extension des estimateurs DR à l'estimation de domaine et introduction d'une variante de type Hajek ($\hat{\mu}_{KH2}$) qui fonctionne sans connaître la taille des domaines.
2. Combinaison robuste : Fourniture d'un cadre rigoureux pour combiner les estimateurs HT/Hajek et DR qui tient compte de leur covariance et reste valide sous une spécification erronée des modèles.
3. Utilité pratique : Démonstration, par simulation, que l'approche combinée produit des gains d'efficacité tangibles, particulièrement lorsque les deux sources de données fournissent des informations complémentaires (c'est-à-dire lorsque leurs variances individuelles sont comparables).

Les auteurs notent modestement que, bien qu'ils n'aient pas exploré les tests préalables de cohérence entre les estimateurs (comme suggéré par Gao et Yang), leur cadre pourrait théoriquement être étendu pour accommoder de telles approches. Ils identifient également la nécessité d'explorer à l'avenir leurs estimateurs de variance par rapport aux approximations basées sur le bootstrap.