Doubly robust integration of nonprobability and probability survey data

Resumen Técnico: Integración Doblemente Robusta de Datos de Encuestas de Probabilidad y No Probabilidad

Planteamiento del Problema
Las encuestas de probabilidad siguen siendo el estándar de oro para estimar medias o prevalencias poblacionales, pero enfrentan desafíos crecientes en cuanto a costo y factibilidad. Por el contrario, las encuestas de no probabilidad ofrecen datos accesibles, pero sufren de marcos de muestreo indefinidos y un potencial sesgo de selección. Un enfoque prominente para integrar estas fuentes de datos consiste en utilizar datos de resultados de una muestra de no probabilidad (Muestra B) y datos de covariables de una muestra de probabilidad (Muestra A).

Aunque se han establecido estimadores Doblemente Robustos (DR) para esta integración —combinando el Ponderación por Probabilidad Inversa (IPW) y la Imputación de Masas (MI)—, persiste una brecha específica: cómo combinar de manera óptima estos estimadores DR con un estimador estándar de Horvitz-Thompson (HT) o de Hajek derivado únicamente de los datos de resultados de la muestra de probabilidad. Trabajos previos, como el de Gao y Yang (2023), abordaron esta combinación pero dependieron del supuesto de que tanto el modelo de selección como el de resultados están correctamente especificados, y se centraron principalmente en formulaciones específicas de estimadores DR. Además, los métodos existentes a menudo carecieron de generalización para la estimación de dominios (subpoblaciones) y de una estimación de varianza robusta ante la especificación errónea de los modelos.

Metodología
Los autores proponen un marco para estimar la media de un resultado $Y$ en un dominio específico (subpoblación) integrando datos de una muestra de probabilidad (Muestra A) y una muestra de no probabilidad (Muestra B).

1. Generalización de los Estimadores DR:
   El artículo extiende los estimadores DR propuestos anteriormente (específicamente $\hat{\mu}_{DR1}$ y $\hat{\mu}_{DR2}$ de Chen et al., 2020) para manejar la estimación de dominios.

   • $\hat{\mu}_{DR1}$ y $\hat{\mu}_{DR2}$: Estos estimadores utilizan datos de resultados solo de la Muestra B. Los autores introducen una variante de estilo Hajek ($\hat{\mu}_{KH2}$) que no requiere conocer el tamaño del dominio ($N_s$) a priori.
   • Modelos de Perturbación (Nuisance Models): El método emplea un modelo de selección (para la probabilidad de inclusión en la Muestra B) y un modelo de resultado (para la esperanza condicional de $Y$ dado las covariables). Los estimadores son "doblemente robustos", lo que significa que permanecen consistentes si el modelo de selección o el modelo de resultado está correctamente especificado.
   • Estimación de la Varianza: Los autores derivan fórmulas de varianza asintótica para estos estimadores bajo inferencia basada en el diseño y basada en el modelo-diseño. Crucialmente, proporcionan estimadores de varianza que siguen siendo válidos (doblemente robustos) incluso si uno de los modelos de perturbación está mal especificado.

2. Combinación Eficiente de Estimadores:
   La contribución central es el desarrollo de un estimador combinado que pondera un estimador HT o Hajek estándar (usando solo los resultados de la Muestra A) y un estimador DR (usando los resultados de la Muestra B y las covariables de la Muestra A).

   • Esquema de Ponderación: Se deriva el peso óptimo $w$ para minimizar la varianza de la combinación lineal $(1-w)\hat{\mu}_H + w\hat{\mu}_{DR}$. Este peso depende de las varianzas de los estimadores individuales ($V_H, V_D$) y su covarianza ($C$).
   • Derivación de la Covarianza: El artículo deriva explícitamente la covarianza entre el estimador HT/Hajek y el estimador DR, corrigiendo el supuesto de parte de la literatura previa de que esta covarianza es cero. Los autores demuestran que, debido a que ambos estimadores utilizan los mismos datos de covariables de la muestra de probabilidad, generalmente no son independientes.
   • Robustez: La combinación propuesta permite el uso de estimadores IPW (un caso especial de DR con un modelo de resultado mal especificado) y proporciona fórmulas de varianza que no requieren que ambos modelos de perturbación estén correctamente especificados.

3. Eficiencia Relativa Asintótica (ARE):
   Los autores derivan la ARE del estimador combinado en comparación con sus estimadores componentes. Demuestran que la ganancia de eficiencia depende de la relación entre las varianzas de los estimadores componentes y la correlación entre ellos (la cual es impulsada por qué tan predictivas son las covariables respecto al resultado).

Resultados Clave

• Eficiencia Teórica: El artículo demuestra que la eficiencia relativa del estimador combinado respecto al más eficiente de sus dos componentes se maximiza cuando los dos componentes tienen varianza igual. Sin embargo, esta ganancia está acotada; el estimador combinado no puede ser más de dos veces tan eficiente (200%) como el mejor componente individual.
• Estudio de Simulación: Se realizó un estudio de simulación que involucró 36 escenarios (variando distribuciones de resultados, tamaños de muestra y diseños de muestreo).
  • Ganancias de Eficiencia: Los estimadores combinados ($\hat{\mu}_{HT,PL1}$ y $\hat{\mu}_{Haj,PL2}$) superaron consistentemente a sus componentes individuales. Las ganancias fueron más pronunciadas cuando las varianzas de los estimadores componentes eran similares (es decir, cuando los tamaños de la Muestra A y la Muestra B eran comparables).
  • Especificación Errónea del Modelo: Los estimadores combinados mantuvieron su robustez cuando el modelo de resultado fue mal especificado, confirmando las propiedades teóricas del marco DR.
  • Estimación de la Varianza: Los estimadores de varianza propuestos arrojaron errores estándar que coincidieron estrechamente con los errores estándar empíricos (razones de entre 0.94 y 1.05). La cobertura de los intervalos de confianza del 95% fue generalmente cercana al nivel nominal (93%–96.5%), observándose una ligera subcobertura en escenarios con tamaños de Muestra B muy pequeños.
  • KH vs. PL: El método Kim-Haziza (KH) y el método de Máxima Pseudo Verosimilitud (PL) produjeron resultados similares, aunque el método KH ocasionalmente enfrentó problemas de convergencia en muestras pequeñas.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma abordar un área de atención limitada en la metodología de encuestas: la integración eficiente de datos de resultados de muestras de probabilidad y de no probabilidad. Su principal significancia radica en:

1. Generalización: Extender los estimadores DR a la estimación de dominios e introducir una variante de estilo Hajek ($\hat{\mu}_{KH2}$) que funciona sin conocer los tamaños de los dominios.
2. Combinación Robusta: Proporcionar un marco riguro el para combinar estimadores HT/Hajek y DR que tiene en cuenta su covarianza y sigue siendo válido bajo la especificación errónea de los modelos.
3. Utilidad Práctica: Demostrar mediante simulación que el enfoque combinado produce ganancias tangibles de eficiencia, particularmente cuando las dos fuentes de datos proporcionan información complementaria (es decir, cuando sus varianzas individuales son comparables).

Los autores señalan modestamente que, si bien no han explorado las pruebas previas para la consistencia entre estimadores (como sugiere Gao y Yang), su marco podría teóricamente extenderse para acomodar tales enfoques. También identifican la necesidad de una exploración futura de sus estimadores de varianza frente a aproximaciones basadas en bootstrap.