Doubly robust integration of nonprobability and probability survey data

Sintesi Tecnica: Integrazione Doppiamente Robusta di Dati di Campionamento Probabilistico e Non Probabilistico

Enunciato del Problema
I campionamenti probabilistici rimangono il gold standard per stimare le medie o le prevalenze della popolazione, ma affrontano sfide crescenti in termini di costi e fattibilità. Al contrario, i campionamenti non probabilistici offrono dati accessibili ma soffrono di quadri campionari indefiniti e potenziali bias di selezione. Un approccio prominente per integrare queste fonti di dati prevede l'uso di dati relativi agli esiti (outcome) provenienti da un campione non probabilistico (Campione B) e dati relativi alle covariate provenienti da un campione probabilistico (Campione A).

Sebbene siano stati stabiliti stimatori Doppiamente Robusti (DR) per questa integrazione — combinando il Ponderazione dell'Inversa della Probabilità (IPW) con l'Imputazione della Massa (MI) — rimane una lacuna specifica: come combinare in modo ottimale questi stimatori DR con uno stimatore standard di Horvitz-Thompson (HT) o di Hajek derivato esclusivamente dai dati degli esiti del campione probabilistico. Lavori precedenti, come quelli di Gao e Yang (2023), hanno affrontato questa combinazione ma si sono basati sull'assunzione che sia il modello di selezione che il modello di esito siano specificati correttamente, concentrandosi principalmente su specifiche formulazioni di stimatori DR. Inoltre, i metodi esistenti spesso mancavano di generalizzazione per la stima di domini (subpopolazioni) e di una stima robusta della varianza in caso di misspecificazione dei modelli.

Metodologia
Gli autori propongono un framework per stimare la media di un esito $Y$ in un dominio specifico (subpopolazione) integrando i dati di un campione probabilistico (Campione A) e di un campione non probabilistico (Campione B).

1. Generalizzazione degli Stimatori DR:
   Il documento estende gli stimatori DR precedentemente proposti (nello specifico $\hat{\mu}_{DR1}$ e $\hat{\mu}_{DR2}$ di Chen et al., 2020) per gestire la stima di domini.

   • $\hat{\mu}_{DR1}$ e $\hat{\mu}_{DR2}$: Questi stimatori utilizzano i dati degli esiti solo dal Campione B. Gli autori introducono una variante in stile Hajek ($\hat{\mu}_{KH2}$) che non richiede la conoscenza a priori della dimensione del dominio ($N_s$).
   • Modelli di Disturbo (Nuisance Models): Il metodo impiega un modello di selezione (per la probabilità di inclusione nel Campione B) e un modello di esito (per l'aspettativa condizionale di $Y$ date le covariate). Gli stimatori sono "doppiamente robusti", il che significa che rimangono consistenti se il modello di selezione o il modello di esito è specificato correttamente.
   • Stima della Varianza: Gli autori derivano formule di varianza asintotica per questi stimatori sia sotto l'inferenza basata sul disegno (design-based) che sotto l'inferenza basata sul modello-disegno (model-design-based). Fondamentalmente, forniscono stimatori della varianza che rimangono validi anche se uno dei modelli di disturbo è misspecificato.

2. Combinazione Efficiente di Stimatori:
   Il contributo principale è lo sviluppo di un estimatore combinato che pesa un estimatore HT o Haj standard (utilizzando solo gli esiti del Campione A) e un estimatore DR (utilizzando gli esiti del Campione B e le covariate del Campione A).

   • Schema di Ponderazione: Il peso ottimale $w$ è derivato per minimizzare la varianza della combinazione lineare $(1-w)\hat{\mu}_H + w\hat{\mu}_{DR}$. Questo peso dipende dalle varianze dei singoli stimatori ($V_H, V_D$) e dalla loro covarianza ($C$).
   • Derivazione della Covarianza: Il documento deriva esplicitamente la covarianza tra lo stimatore HT/Hajek e lo stimatore DR, correggendo l'assunzione di parte della letteratura precedente secondo cui tale covarianza sia zero. Gli autori dimostrano che, poiché entrambi gli stimatori utilizzano gli stessi dati delle covariate del campione probabilistico, essi generalmente non sono indipendenti.
   • Robustezza: La combinazione proposta consente l'uso di stimatori IPW (un caso speciale di DR con un modello di esito misspecificato) e fornisce formule di varianza che non richiedono che entrambi i modelli di disturbo siano specificati correttamente.

3. Efficienza Relativa Asintotica (ARE):
   Gli autori derivano l'ARE dello stimatore combinato rispetto ai suoi componenti. Dimostrano che il guadagno di efficienza dipende dal rapporto tra le varianze dei componenti e dalla correlazione tra di essi (che è guidata da quanto le covariate siano predittive dell'esito).

Risultati Chiave

• Efficienza Teorica: Il documento prova che l'efficienza relativa dello stimatore combinato rispetto al più efficiente dei suoi due componenti è massimizzata quando i due componenti hanno varianza uguale. Tuttavia, questo guadagno è limitato; lo stimatore combinato non può essere più del doppio (200%) efficiente del miglior singolo componente.
• Studio di Simulazione: È stato condotto uno studio di simulazione coinvolgendo 36 scenari (variando distribuzioni degli esiti, dimensioni dei campioni e disegni di campionamento).
  • Guadagni di Efficienza: Gli stimatori combinati ($\hat{\mu}_{HT,PL1}$ e $\hat{\mu}_{Haj,PL2}$) hanno costantemente superato i loro singoli componenti. I guadagni sono stati più pronunciati quando le varianze dei componenti erano simili (ovvero, quando le dimensioni del Campione A e del Campione B erano comparabili).
  • Misspecificazione del Modello: Gli stimatori combinati hanno mantenuto la robustezza quando il modello di esito era misspecificato, confermando le proprietà teoriche del framework DR.
  • Stima della Varianza: Gli stimatori della varianza proposti hanno prodotto errori standard che corrispondevano strettamente agli errori standard empirici (rapporti compresi tra 0,94 e 1,05). La copertura degli intervalli di confidenza al 95% è stata generalmente vicina al livello nominale (93%–96,5%), con una leggera sottocopertura osservata in scenari con dimensioni del Campione B molto ridotte.
  • KH vs. PL: Il metodo Kim-Haziza (KH) e il metodo Maximum Pseudo Likelihood (PL) hanno prodotto risultati simili, sebbene il metodo KH abbia occasionalmente affrontato problemi di convergenza in piccoli campioni.

Significatività e Rivendicazioni
Il documento sostiene di affrontare un'area di scarsa attenzione nella metodologia di indagine: l'integrazione efficiente di dati di esito provenienti da campioni sia probabilistici che non probabilistici. La sua principale significatività risiede in:

1. Generalizzazione: Estendere gli stimatori DR alla stima di domini e introdurre una variante in stile Hajek ($\hat{\mu}_{KH2}$) che funziona senza conoscere le dimensioni del dominio.
2. Combinazione Robusta: Fornire un framework rigoroso per combinare stimatori HT/Hajek e DR che tenga conto della loro covarianza e rimanga valido sotto misspecificazione del modello.
3. Utilità Pratica: Dimostrare attraverso la simulazione che l'approccio combinato produce tangibili guadagni di efficienza, in particolare quando le due fonti di dati forniscono informazioni complementari (ovvero, quando le loro singole varianze sono comparabili).

Gli autori notano con modestia che, sebbene non abbiano esplorato il pre-test per la coerenza tra gli stimatori (come suggerito da Gao e Yang), il loro framework potrebbe teoricamente essere esteso per accogliere tali approcci. Identificano inoltre la necessità di future esplorazioni dei loro stimatori di varianza rispetto alle approssimazioni basate sul bootstrap.