Doubly robust integration of nonprobability and probability survey data

तकनीकी सारांश: गैर-संभाव्यता और संभाव्यता सर्वेक्षण डेटा का द्वि-सुदृढ़ (Doubly Robust) एकीकरण

समस्या विवरण
जनसंख्या के माध्य या प्रवलता (prevalence) के अनुमान के लिए संभाव्यता सर्वेक्षण (Probability surveys) स्वर्ण मानक बने हुए हैं, लेकिन उन्हें लागत और व्यवहार्यता के संबंध में बढ़ती चुनौतियों का सामना करना पड़ रहा है। इसके विपरीत, गैर-संभाव्यता सर्वेक्षण (Nonprobability surveys) सुलभ डेटा प्रदान करते हैं, लेकिन वे अनिर्धारित सैंपलिंग फ्रेम और संभावित चयन पूर्वाग्रह (selection bias) से ग्रस्त होते हैं। इन डेटा स्रोतों को एकीकृत करने के लिए एक प्रमुख दृष्टिकोण में एक गैर-संभाव्यता नमूने (नमूना B) से परिणाम डेटा (outcome data) और एक संभाव्यता नमूने (नमूना A) से सहचर डेटा (covariate data) का उपयोग करना शामिल है।

यद्यपि इन डेटा एकीकरण के लिए द्वि-सुदृढ़ (Doubly Robust - DR) अनुमानक स्थापित किए जा चुके हैं—जो इनवर्स प्रोबेबिलिटी वेटिंग (IPW) और मास इम्प्यूटेशन (MI) को जोड़ते हैं—एक विशिष्ट अंतराल बना हुआ है: इन DR अनुमानकों को केवल संभाव्यता नमूने के परिणाम डेटा से प्राप्त मानक हॉरविट्ज़-थॉम्पसन (HT) या हाजेक (Hajek) अनुमानक के साथ इष्टतम रूप से कैसे संयोजित किया जाए। पूर्व के कार्य, जैसे कि गाओ और यांग (2023), ने इस संयोजन को संबोधित किया लेकिन वे इस धारणा पर निर्भर थे कि चयन और परिणाम दोनों मॉडल सही ढंग से निर्दिष्ट (correctly specified) हैं और मुख्य रूप से विशिष्ट DR अनुमानक सूत्रीकरणों पर केंद्रित थे। इसके अतिरिक्त, मौजूदा विधियों में डोमेन (उप-जनसंख्या) अनुमान और मॉडल गलत-निर्दिष्ट होने की स्थिति में सुदृढ़ विचरण अनुमान (robust variance estimation) के लिए सामान्यीकरण का अभाव था।

कार्यप्रणाली
लेखक एक संभाव्यता नमूने (नमूना A) और एक गैर-संभाव्यता नमूने (नमूना B) से डेटा को एकीकृत करके एक विशिष्ट डोमेन (उप-जनसंख्या) में परिणाम $Y$ के माध्य का अनुमान लगाने के लिए एक ढांचा प्रस्तावित करते हैं।

1. DR अनुमानकों का सामान्यीकरण:
   यह शोधपत्र पहले प्रस्तावित DR अनुमानकों (विशेष रूप से चेन एट अल., 2020 द्वारा $\hat{\mu}_{DR1}$ और $\hat{\mu}_{DR2}$) को डोमेन अनुमान को संभालने के लिए विस्तारित करता है।

   • $\hat{\mu}_{DR1}$ और $\hat{\mu}_{DR2}$: ये अनुमानक केवल नमूना B से परिणाम डेटा का उपयोग करते हैं। लेखक एक हाजेक-शैली का संस्करण ($\hat{\mu}_{KH2}$) पेश करते हैं जिसे डोमेन आकार ($N_s$) को पूर्व-निर्धारित रूप से ज्ञात करने की आवश्यकता नहीं होती है।
   • न्युसेंस मॉडल (Nuisance Models): यह विधि एक चयन मॉडल (नमूना B में शामिल होने की संभावना के लिए) और एक परिणाम मॉडल (सहचरों के दिए पर $Y$ के सशर्त प्रत्याशा के लिए) का उपयोग करती है। ये अनुमानक "द्वि-सुदृढ़" (doubly robust) हैं, जिसका अर्थ है कि यदि या तो चयन मॉडल या परिणाम मॉडल सही ढंग से निर्दिष्ट है, तो वे सुसंगत (consistent) रहते हैं।
   • विचरण अनुमान (Variance Estimation): लेखक डिज़ाइन-आधारित और मॉडल-डिज़ाइन-आधारित निष्कर्षों के तहत इन अनुमानकों के लिए स्पर्शोन्मुखी विचरण सूत्र (asymptotic variance formulae) व्युत्पन्न करते हैं। महत्वपूर्ण रूप से, वे ऐसे विचरण अनुमानक प्रदान करते हैं जो तब भी वैध (दोहरा सुदृढ़) रहते हैं जब एक न्युसेंस मॉडल गलत-निर्दिष्ट हो।

2. अनुमानकों का कुशल संयोजन:
   मुख्य योगदान एक संयोजित अनुमानक विकसित करना है जो एक मानक HT या हाजेक अनुमानक (केवल नमूना A के परिणामों का उपयोग करते हुए) और एक DR अनुमानक (नमूना B के परिणामों और नमूना A के सहचरों का उपयोग करते हुए) को भारित (weight) करता है।

   • वेटिंग स्कीम (Weighting Scheme): रैखिक संयोजन $(1-w)\hat{\mu}_H + w\hat{\mu}_{DR}$ के विचरण को न्यूनतम करने के लिए इष्टतम भार $w$ व्युत्पन्न किया गया है। यह भार व्यक्तिगत अनुमानकों के विचरण ($V_H, V_D$) और उनके सह-विचरण (covariance, $C$) पर निर्भर करता है।
   • सह-विचरण व्युत्पत्ति: शोधपत्र HT/हाजेक अनुमानक और DR अनुमानक के बीच सह-विचरण को स्पष्ट रूप से व्युत्पन्न करता है, जो पिछले साहित्य की उस धारणा को सुधारता है जिसमें इस सह-विचरण को शून्य माना गया था। लेखक दिखाते हैं कि चूंकि दोनों अनुमानक एक ही संभाव्यता नमूना सहचर डेटा का उपयोग करते हैं, इसलिए वे सामान्यतः स्वतंत्र नहीं होते हैं।
   • सुदृढ़ता (Robustness): प्रस्तावित संयोजन IPW अनुमानकों (एक गलत-निर्दिष्ट परिणाम मॉडल के साथ DR का एक विशेष मामला) के उपयोग की अनुमति देता है और ऐसे विचरण सूत्र प्रदान करता है जिन्हें दोनों न्युसेंस मॉडलों के सही ढंग से निर्दिष्ट होने की आवश्यकता नहीं है।

3. स्पर्शोन्मुखी सापेक्ष दक्षता (Asymptotic Relative Efficiency - ARE):
   लेखक अपने घटक अनुमानकों की तुलना में संयोजित अनुमानक की ARE को व्युत्पन्न करते हैं। वे सिद्ध करते हैं कि दक्षता लाभ उनके दो घटकों के विचलनों के अनुपात और उनके बीच के सहसंबंध (जो सहचरों के परिणाम के प्रति कितने भविष्य कहने योग्य हैं, इससे संचालित होता है) पर निर्भर करता है।

प्रमुख परिणाम

• सैद्धांतिक दक्षता: शोधपत्र सिद्ध करता है कि अपने दो घटकों में से अधिक कुशल घटक की तुलना में संयोजित अनुमानक की सापेक्ष दक्षता तब अधिकतम होती है जब दोनों घटकों का विचरण समान होता है। हालांकि, यह लाभ सीमित है; संयोजित अनुमानक अपने सबसे अच्छे एकल घटक अनुमानक से दोगुना (200%) से अधिक कुशल नहीं हो सकता है।
• सिमुलेशन अध्ययन: परिणाम वितरण, नमूना आकार और सैंपलिंग डिज़ाइन (36 परिदृश्यों में भिन्न) को शामिल करते हुए एक सिमुलेशन अध्ययन आयोजित किया गया था।
  • दक्षता लाभ: संयोजित अनुमानकों ($\hat{\mu}_{HT,PL1}$ और $\hat{\mu}_{Haj,PL2}$) ने लगातार अपने व्यक्तिगत घटकों से बेहतर प्रदर्शन किया। लाभ तब सबसे अधिक स्पष्ट थे जब घटक अनुमानकों के विचरण समान थे (अर्थात, जब नमूना A और नमूना B के आकार तुलनीय थे)।
  • मॉडल गलत-निर्धारण (Model Misspecification): संयेदित अनुमानकों ने परिणाम मॉडल के गलत-निर्दिष्ट होने पर भी सुदृढ़ता बनाए रखी, जिससे DR ढांचे के सैद्धांतिक गुणों की पुष्टि हुई।
  • विचरण अनुमान: प्रस्तावित विचरण अनुमानकों ने ऐसे मानक त्रुटियां (standard errors) प्रदान कीं जो अनुभवजन्य मानक त्रुटियों के बहुत करीब थीं (अनुपात 0.94 से 1.05 के बीच)। 95% विश्वास अंतराल (confidence intervals) का कवरेज आम तौर पर नाममात्र स्तर (93%–96.5%) के करीब था, जिसमें बहुत छोटे नमूना B आकार वाले परिदृश्यों में मामूली कम-कवरेज देखा गया।
  • KH बनाम PL: किम-हाज़िज़ा (KH) विधि और मैक्सिमम स्यूडो लाइकलीहुड (PL) विधि ने समान परिणाम दिए, हालांकि छोटे नमूनों में KH विधि को कभी-कभी अभिसरण (convergence) संबंधी समस्याओं का सामना करना पड़ा।

महत्व और दावे
शोधपत्र यह दावा करता है कि वह सर्वेक्षण पद्धति के एक सीमित ध्यान क्षेत्र को संबोधित करता है: संभाव्यता और गैर-सं संभाव्यता दोनों नमूनों से परिणाम डेटा का कुशल एकीकरण। इसका प्राथमिक महत्व निम्नलिखित में निहित है:

1. सामान्यीकरण: डोमेन अनुमान के लिए DR अनुमानकों का विस्तार करना और एक हाजेक-शैली का संस्करण ($\hat{\mu}_{KH2}$) पेश करना जो ज्ञात डोमेन आकारों के बिना कार्य करता है।
2. सुदृढ़ संयोजन: HT/Hajek और DR अनुमानकों को संयोजित करने के लिए एक कठोर ढांचा प्रदान करना जो उनके सह-विचरण को ध्यान में रखता है और मॉडल गलत-निर्धारण के तहत भी वैध रहता है।
3. व्यावहारिक उपयोगिता: सिमुलेशन के माध्यम से यह प्रदर्शित करना कि संयोजित दृष्टिकोण दक्षता के मूर्त लाभ प्रदान करता है, विशेष रूप से तब जब दोनों डेटा स्रोत पूरक जानकारी प्रदान करते हैं (अर्थात, जब उनके व्यक्तिगत विचरण तुलनीय होते हैं)।

लेखक विनम्रतापूर्वक नोट करते हैं कि हालांकि उन्होंने गाओ और यांग द्वारा सुझाए गए अनुसार अनुमानकों के बीच निरंतरता के लिए प्री-टेस्टिंग का अन्वेषण नहीं किया है, फिर भी उनका ढांचा सैद्धांतिक रूप से ऐसे दृष्टिकोणों को समायोजित करने के लिए विस्तारित किया जा सकता है। वे यह भी पहचानते हैं कि उनके विचरण अनुमानकों के विरुद्ध बूटस्ट्रैप-आधारित सन्निकटन (approximations) के खिलाफ भविष्य के अन्वेषण की आवश्यकता है।