Free mutual information and higher-point OTOCs

양자 물리학이라는 거대하고 보이지 않는 풍경 속에서, 과학자들은 카오스(혼돈)가 어떻게 전개되는지 이해하기 위해 오랫동안 노력해 왔습니다. 고전적인 세계에서 카오스는 상상하기 쉽습니다. 물 한 잔에 잉크 한 방울을 떨어뜨리는 장면을 상상해 보십시오. 처음에는 잉크가 작고 뚜렷한 점의 형태를 띱니다. 물이 소용돌이치면서 잉크는 퍼져 나가고, 결국은 잉크 방울이 어디서 시작되었는지 알 수 없을 정도로 유리잔 전체를 채우게 됩니다. 이러한 확산은 미세한 시작점의 차이가 완전히 다른 결과로 이어지는 카오스적 시스템의 특징입니다. 그러나 양자 세계에서 상황은 훨씬 더 추상적입니다. 그곳에는 물리적인 물이나 잉크가 존재하지 않습니다. 대신, 카오스는 특정 입자나 성질에 대한 정보가 복잡한 연결망 속에서 어떻게 뒤섞이고 숨겨지는가로 설명됩니다. 수년간 물리학자들은 이 뒤섞임(scrambling)을 측정하기 위해 '4점 상관 함수(four-point correlation)'라고 알려진 특정 도구를 사용해 왔습니다. 이 도구는 초기 양자 성질이 물리적 공간을 따라 얼마나 성장하고 퍼졌는지를 알려주는데, 이는 마치 잉크가 얼마나 멀리 이동했는지를 추적하는 것과 같습니다. 하지만 이 도구에는 사각지대가 있습니다. 이 도구는 잉크가 유리잔 전체로 퍼졌다는 것은 알려줄 수 있지만, 잉크가 물의 가능한 모든 구성 속으로 진정으로 혼합되었는지, 아니면 단지 매우 구조적이고 예측 가능한 패턴으로 퍼져 있는 것인지는 알려주지 못합니다.

슈레야 바르단(Shreya Vardhan)과 진자오 왕(Jinzhao Wang) 연구원이 발표한 새로운 연구는 이 양자 카오스를 측정하는 더 날카롭고 민감한 방법을 소개합니다. 그들은 '자유 상호 정보량(free mutual information)'이라는 새로운 양을 개발했습니다. 이것을 양자 성질이 물리적 공간을 통해 얼마나 멀리 이동했는지를 측정하는 척도가 아니라, 그 성질이 가질 수 있는 가능한 모든 형태의 우주를 얼마나 철저하게 탐색했는지를 측정하는 척도로 생각하십시오. 양자 시스템에서 하나의 성질은 방대한 수의 서로 다른 형태로 진화할 수 있습니다. 진정한 카오스 시스템에서 이 성질은 결국 이 추상적인 공간의 구석구석까지 헤매 들어가, 시작 지점으로부터 완전히 알아볼 수 없는 상태가 되어야 합니다. 연구진은 기존의 방법들이 물리적 공간을 가로지르는 성질의 확산은 감지할 수 있었지만, 그 성질이 이 추상적인 공간의 작고 고도로 질서 정연한 구석에 갇혀 있을 때는 이를 감지하지 못한다는 것을 발견했습니다. 새로운 척도인 자유 상호 정보량은 이 추상적인 공간을 위한 고해Resolution 현미경처럼 작동하여, 시스템이 진정으로 카오스적인지 아니면 단지 카오스인 척하고 있는지를 밝혀냅니다.

이 새로운 척도를 테스트하기 위해 연구팀은 무작위적인 카오스 모델부터 질서 정연하고 예측 가능한 것으로 알려진 시스템에 이르기까지 다양한 양자 시스템에 이를 적용했습니다. 무작위 회로 및 특정 원자 스핀 체인과 같은 카오스 시스템에서, 연구진은 자유 상호 정보량이 매우 높은 값에서 시작하여 시간이 지남에 따라 꾸준히 감소하는 것을 관 관찰했습니다. 이 하락은 양자 성질이 가능성의 전체 공간을 채우기 위해 성공적으로 퍼져 나가고 있음을 의미하며, 이를 '에르고로디시티(ergodicity, 에르고드성)'라고 합니다. 결정적으로, 연구진은 개별 구성 요소의 측정값이 격렬하고 불규칙한 변동을 보일 때조차도 이 감소가 매끄럽고 일관되게 일어난다는 것을 발견했습니다. 이는 시스템이 과거의 기억을 성공적으로 잃어버리고 최대한으로 뒤섞이고 있음을 시사합니다.

이 연구는 또한 이 새로운 척도와 '고차 상관 함수(higher-point correlations)'라고 불리는 일련의 더 복잡한 계산 사이의 깊은 연관성을 밝혀냈습니다. 이전에도 물리학자들은 카오스의 단면을 보기 위해 이 복잡한 숫자들을 계산해 왔지만, 이들을 하나의 의미 있는 그림으로 결합할 명확한 방법을 갖추지 못했습니다. 연구진은 새로운 자유 상호 정보량을 이 모든 고차 상관 함수들의 가중치 합과 연결하는 정밀한 수학적 규칙을 발견했습니다. 이 발견은 이 복잡한 숫자들에 명확한 물리적 의미를 부여합니다. 즉, 이 숫자들은 시스템이 완전히 무작위적이고 상관관계가 없는 상태에 얼마나 가까워졌는지를 집합적으로 정량화합니다. 연구는 카오스 시스템에서 이러한 고차 숫자들이 특정한 보편적 패턴에 따라 붕괴하며, 이를 통해 전체적인 카오스의 척도가 꾸준히 성장한다는 것을 보여주었습니다.

가장 놀라운 결과는 이 새로운 척도를 카오스가 아닌 것으로 알려진 시스템에 적용했을 때 나타났습니다. 연구진은 자유롭게 움직이는 입자로 이루어진 시스템과 엄격하고 예측 가능한 규칙을 따르는 시스템을 조사했습니다. 이러한 경우, 기존의 방법들은 양자 성질이 물리적 공간을 가로질러 퍼지고 있다고 보여주어 카오스적인 것처럼 암시했습니다. 그러나 새로운 자유 상호 정보량은 높은 값에 머물러 있었는데, 이는 성질이 여전히 추상적인 공간의 작고 구조적인 영역에 갇혀 있음을 나타냈습니다. 그것은 물리적 세계에서는 퍼지고 있었지만, 더 근본적인 가능성의 공간에서는 그렇지 않았던 것입니다. 이러한 구분은 매우 중요합니다. 이는 어떤 시스템이 겉으로는 카오스적으로 보일 수 있지만, 그 핵심은 질서 정연하고 예측 가능하다는 것을 증명합니다. 연구진은 또한 이러한 비카오스적 시스템에서 복잡한 상관관계가 매끄럽게 붕괴하는 대신 격렬하게 진동하며, 이로 인해 전체 카오스 척도가 안정되지는 않고 위아득락하게 된다는 것을 발견했습니다.

이러한 서로 다른 행동들을 비교함으로써, 연구팀은 새로운 척도가 지난 10년 동안 사용된 방법들보다 양자 카오스에 대한 훨씬 더 신뢰할 수 있는 진단 도구임을 확립했습니다. 이 척도는 시스템이 정보를 진정으로 뒤섞고 있는지, 아니면 단지 구조적인 방식으로 정보를 옮기고 있는지를 구별할 수 있습니다. 이 연구는 일반적인 카오스 시스템에서 양자 정보의 확산이 특정한 방식으로 발생하는 보편적인 특징임을 확인해 줍니다. 또한 진정한 무작위성으로 가는 길은 항상 매끄러운 것은 아니며, 이 새로운 더 포괄적인 척도의 관점에서 볼 때만 이해될 수 있는 복잡한 진동 단계를 포함할 수 있다는 점을 강조합니다. 이 연구는 양자 지형에 대한 더 명확한 지도를 제공하여, 과학자들이 시스템이 진정으로 카오스적이라는 것이 무엇을 의미하는지 정확히 이해하도록 돕습니다.