Fock-space fragmentation in quenches of disordered interacting fermions

문제 제기

본 논문은 무질서한 상호작용 페르미온 모델에서 다체 국소화(Many-Body Localization, MBL) 상의 존재 여부와 그 본질에 관한 지속적인 논쟁을 다룬다. 수치적 및 실험적 연구들은 전하 불균형 붕괴(charge imbalance decay)를 열화(thermalization)의 주요 지표로 활용하고 있으나, 열역학적 극한에서 MBL이 실제로 존재하는지에 대해서는 합의가 이루어지지 않았다. 주요 과제는 긴 관찰 시간과 큰 시스템 크기라는 이중 극한(double limit)에 접근하기 어렵다는 점이다.

이전 연구들은 약한-중간 정도의 무질서 영역($W \lesssim W_c$)에서 나타나는 흥미로운 과도 현상들을 확인하였다:

1. 무질서가 증가함에 따라 완화(relaxation) 거동이 가속화된 상태에서 감속된 상태로 변화하는 질적인 변화.
2. 불균형 완화 과정에서 나타나는 극심한 샘플 간 변동성(sample-to-sample fluctuations), 즉 앙상블 내에 완벽하게 열화되는 샘플과 매우 절연체적인 샘블이 공존하는 현상.

저자들은 이러한 유한 크기 및 유한 시간 교차 현상의 기저에 있는 포크 공간(Fock space) 내의 기하학적 메커니즘을 규명하고자 하며, 특히 중간 내지 강한 무질서 영역($W \gtrsim t_{hop}$)에 초점을 맞춘다.

방법론

저자들은 해밀토니안 $\hat{H} = \hat{T} + \hat{V} + \hat{U}$로 기술되는 1차원 격자 위의 무질서한 스핀 없는 페르미온에 대한 전형적인 모델을 조사한다. 여기서 $\hat{T}$는 운동 호핑(kinetic hopping) 항이고, $\hat{V}$는 인접한 이웃 간 상호작용이며, $\hat{U}$는 균일 분포 $[-W, W]$에서 추출된 무작위 온사이트 퍼텐셜을 나타낸다. 상호작용 세기는 $V = t_{hop}$으로 고정된다.

주요 방법론적 단계:

• 포크 공간 관점: 분석은 국소 점유수의 고유상태인 기저 상태 $|b\rangle$를 채택하는 포크 공간 표현법을 사용한다. 퍼텐셜 에너지가 지배적인 영역에서는 사이트 점유수 기저가 자연스러운 선택이다.
• 퀜치 프로토콜(Quench Protocol): 시스템은 닐 상태(Néel state, $|1010\dots\rangle$)에서 초기화되어 해밀토니안에 따라 진화한다. 시간 진화는 초기 에너지 $E_{in}$과 해밀토니안의 모든 모멘트를 보존한다.
• 퍼텐셜 에너지 쉘(Potential-Energy Shell): 저자들은 "퍼텐셜 에너지 쉘"을 $|E_{in} - E_b| \lesssim \alpha \Delta_{in}$을 만족하는 포크 공간 기저 상태 $|b\rangle$의 부분 집합으로 정의한다. 여기서 $E_b$는 기저 상태의 퍼텐셜 에너지이고, $\Delta_{in}$은 초기 상태의 에너지 분산이며, $\alpha$는 현상론적 파라미터(1/2로 설정)이다. 이 쉘은 구성 공간(configuration space) 내에서 에너지적으로 접근 가능한 영역을 나타낸다.
• 클러스터 통계: 쉘 내 상태들의 연결성(connectivity)을 분석한다. 상태들은 호핑 항 $\hat{T}$에 의해 연결될 때 연결된 것으로 간주된다. 저자들은 초기 상태를 포함하는 연결된 클러스터의 크기($N_{csh}$)를 전체 쉘의 질량($N_{sh}$)에 대비하여 연구한다.
• 수치 도구: 체비셰프 전개(Chebyshev expansion) 기법을 사용하여 시간 전파를 수행한다. 주요 관측량은 서브래티스 불균형(sublattice imbalance) $I(t)$이다. 시스템 크기는 최대 $L=28$까지이며, 샘플 간 통계에 대한 광범위한 분석이 수행된다.

주요 기여 및 결과

1. 샘플 간 변동의 기하학적 해석
본 논문은 중간 정도의 무질서에서 관찰되는 불균형 완화의 큰 변동성이 퍼텐셜 에너지 쉘의 "질량"(상태의 수, $N_{sh}$)의 변동에서 비롯된 직접적인 발현임을 입증한다.

• 중간 정도의 무질서($W \approx 1.5$)에서, 초기 상태 에너지 $E_{in}$은 쉘 에너지의 분포에 대해 크게 요동친다.
• 결과적으로, 전체 포크 공간 중 쉘이 차지하는 비율($N_{sh}/N_{FS}$)은 샘플마다 크게 달라진다. 어떤 샘플은 큰 쉘 질량을 가져 열화를 일으키는 반면, 다른 샘플은 작은 질량을 가져 절연체적 거동을 보인다.

2. 포크 공간 파편화(Fragmentation)의 식별 무질서가 임계치를 넘어 증가함에 따라($W \approx 3.5 - 4$), 퍼텐셜 에너지 쉘이 서로 끊어진 클러스터(파편)들로 부서지는 "쉘 파편화" 현상을 식별한다.

• 약/중간 무질서: 쉘은 일반적으로 단일 연결 상태이다 ($N_{csh}/N_{sh} \approx 1$).
• 강한 무질서: 초기 상태가 작은 파편에 갇히게 되어, 대부분의 쉘과 단절된다 ($N_{csh}/N_{sh} \ll 1$).
• 이러한 파편화는 초기 상태가 접근할 수 있는 직접적으로 연결된 영역을 제한한다. 이 파편을 넘어선 완화는 서로 다른 파편들 사이의 결합을 필요로 하며, 저자들은 이것이 관찰된 "크리프(creep)" 또는 느린 역학의 원인이라고 주장한다.

3. 턴어라운드 플로우(Turn-Around Flow) 및 유한 크기 스케일링
파편화 전이의 시스템 크기에 따른 거동은 핵심적인 발견이다.

• 저자들은 재규격화 군(RG) 관점에서의 "턴어라운드 플로우"를 관찰한다. 주어진 무질서 $W$에 대해, 시스템 크기 $L$이 증가함에 따라 $N_{csh}/N_{sh}$ 비율은 처음에 감소(파편화 암시)하다가, 매우 큰 $L$에서는 결국 다시 증가(재연결/에르고디시티 암시)한다.
• 이는 유한 크기 시스템에서 관찰되는 "파편화된" 상이 과도적임을 의미한다. 파편화된 고정점으로 향하는 흐름은 더 큰 규모에서 다체 공명(many-body resonances)의 성장(연결성 증가)에 의해 차단된다.
• $N_{csh}/N_{sh}$의 분산 피크 위치를 외삽함으로써, 저자들은 강한 파편화 척도인 $W_{frag} \approx 5$에 대한 휴리스틱한 추정치를 제공한다. 그러나 저자들은 이 기하학적 분석이 포착하지 못하는 양자 터널링 효과로 인해 실제 MBL 전이의 임계 무질서와는 다를 수 있음을 강조한다.

4. 퍼콜레이션(Percolation) 및 MBL과의 구별
본 논문은 쉘 파편화가 포크 공간 그래프의 기하학적 특성이며, MBL 전이와는 구별됨을 명확히 한다.

• 연결성이 고정된 무작위 정규 그래프(RRG) 상의 퍼콜레이션과 달리, 여기서의 포크 공간 그래프는 시스템 크기에 따라 연결성이 성장하며 에너지가 강하게 상관되어 있다.
• 파편화는 역학을 제한하지만 완전히 차단하지는 않는다. 파편 사이의 양자 터널링과 간섭 효과(이 기하학적 구성의 범위를 벗어남)가 진정한 국소화 특성을 결정하는 데 필요하다.

의의 및 주장

저자들은 자신들의 연구가 무질서한 상호작용 계의 역학에 대해 새로운 기하학적 관점을 제공한다고 주장한다:

• 느린 역학의 메커니즘: 이들은 쉘 파편화가 수치적 및 실험적 연구에서 관찰되는 유한 시간 완화 지연(크리프)에 기여하는 기하학적 메커즘을 제공한다고 제안한다.
• 변동성에 대한 설명: 이 개념는 왜 중간 정도의 무질서에서 샘플 간 변동이 큰지(쉘 질량의 변동), 그리고 왜 더 강한 무질서에서 변동이 억제되는지(쉘이 파편화되어 초기 상태를 담고 있는 파편 크기의 분포가 좁아짐)를 설명한다.
• 휴리스틱 추정: 엄밀한 증명을 제공하는 것은 아니지만, 파편화가 지배적이 되는 무질서 척도($W_{frag} \approx 5$)에 대한 휴리스틱한 추정치를 제공하며 턴어라운드 플로우 영역의 존재를 강조한다.
• 주의사항: 저자들은 파편화가 MBL의 진단 도구가 아님을 명시적으로 밝힌다. 완전한 MBL 문제는 파편화된 백본(backbone) 상의 국소화와 터널링을 통한 비국소화 사이의 경쟁을 포함한다. 기하학적 파편화 척도 $W_{frag}$를 MBL 임계 무질서 $W_{MBL}$과 혼동해서는 안 된다.

요약하자면, 본 논문은 무질서한 계에서의 완화에 나타나는 복잡한 현상들, 특히 과도적인 지연과 변동성은 열역학적 극한에서의 궁극적인 운명과는 독립적으로, 포크 공간 내 퍼텐셜 에너지 쉘의 기하학 및 연결성의 관점을 통해 이해될 수 있다고 주장한다.