Fock-space fragmentation in quenches of disordered interacting fermions

Planteamiento del Problema

El artículo aborda el debate continuo sobre la existencia y la naturaleza de la fase de Localización de Muchos Cuerpos (MBL, por sus siglas en inglés) en modelos genéricos de fermiones interactuantes desordenados. Mientras que los estudios numéricos y experimentales utilizan la decaimiento del desequilibrio de carga como un indicador primario de la termalización, no existe un consenso sobre si la MBL existe realmente en el límite termodinámico. Un desafío importante es la dificultad de acceder al doble límite de tiempos de observación largos y tamaños de sistema grandes.

Estudios previos han identificado fenómenos transitorios intrigantes en el régimen de desorden débil a moderado ($W \lesssim W_c$), incluyendo:

1. Un cambio cualitativo en el comportamiento de relajación de acelerado a desacelerado a medida que el desorden aumenta.
2. Drásticas fluctuaciones de muestra a muestra en la relajación del desequilibrio, donde los conjuntos contienen tanto muestras perfectamente termalizantes como muestras altamente aislantes.

Los autores pretenden identificar un mecanismo geométrico dentro del espacio de Fock que subyace a estos fenómenos de transición (crossover) de tamaño finito y tiempo finito, centrándose específicamente en el régimen de desorden moderado a fuerte ($W \gtrsim t_{hop}$).

Metodología

Los autores investigan un modelo paradigmático de fermiones sin espín desordenados en una red 1D descrita por el Hamiltoniano $\hat{H} = \hat{T} + \hat{V} + \hat{U}$, donde $\hat{T}$ es el término de salto cinético, $\hat{V}$ es la interacción de vecino más cercano, y $\hat{U}$ representa potenciales locales aleatorios extraídos de una distribución uniforme $[-W, W]$. La fuerza de la interacción está fijada en $V = t_{hop}$.

Pasos Metodológicos Clave:

• Perspectiva del Espacio de Fock: El análisis adopta una representación del espacio de Fock donde los estados base $|b\rangle$ son autoestados de los números de ocupación locales. En el régimen donde la energía potencial domina, la base de ocupación de sitios es la elección natural.
• Protocolo de Quench: El sistema se inicializa en un estado Néel ($|1010\dots\rangle$) y evoluciona bajo el Hamiltoniano. La evolución temporal conserva la energía inicial $E_{in}$ y todos los momentos del Hamiltoniano.
• Capa de Energía Potencial: Los autores definen una "capa de energía potencial" como el subconjunto de estados base de Fock $|b\rangle$ que satisfacen $|E_{in} - E_b| \lesssim \alpha \Delta_{in}$, donde $E_b$ es la energía potencial del estado base y $\Delta_{in}$ es la varianza de energía del estado inicial. Esta capa representa la región de configuración accesible energéticamente.
• Estadísticas de Clústeres: Se analiza la conectividad de los estados dentro de la capa. Los estados se consideran conectados si están vinculados por el término de salto $\hat{T}$. Los autores estudian el tamaño del clúster conectado que contiene al estado inicial ($N_{csh}$) en relación con la masa total de la capa ($N_{sh}$).
• Herramientas Numéricas: La propagación temporal se realiza utilizando la técnica de expansión de Chebyshev. El observable principal es el desequilibrio de subred $I(t)$. Los tamaños de sistema varían hasta $L=28$, con un análisis extensivo de las estadísticas de muestra a muestra.

Contribuciones Clave y Resultados

1. Interpretación Geométrica de las Fluctuaciones de Muestra a Muestra
El artículo demuestra que las grandes fluctuaciones en la relajación del desequilibrio observadas a desorden moderado son una manifestación directa de las fluctuaciones en la "masa" (número de estados, $N_{sh}$) de la capa de energía potencial.

• A desorden moderado ($W \approx 1.5$), la energía del estado inicial $E_{in}$ fluctúa significativamente respecto a la distribución de las energías de la capa.
• En consecuencia, la fracción del espacio de Fock total ocupada por la capa ($N_{sh}/N_{FS}$) varía drásticamente entre muestras. Algunas muestras tienen una masa de capa grande (lo que conduce a la termalización), mientras que otras tienen una masa pequeña (lo que conduce a un comportamiento aislante).

2. Identificación de la Fragmentación del Espacio de Fock
Los autores identifican un fenómeno denominado "fragmentación de la capa". A medida que el desorden aumenta más allá de un umbral ($W \approx 3.5 - 4$), la capa de energía potencial se rompe en clústeres desconectados (fragmentos).

• Desorden Débil/Moderado: La capa es típicamente de una sola conexión ($N_{csh}/N_{sh} \approx 1$).
• Desorden Fuerte: El estado inicial queda confinado a un fragmento pequeño ($N_{csh}/N_{sh} \ll 1$), desconectado de la mayoría de la capa.
• Esta fragmentación restringe la región directamente conectada disponible para el estado inicial. La relajación más allá de este fragmento requiere el acoplamiento de diferentes fragmentos, lo que los autores argumentan que conduce al "creep" o dinámica lenta observada.

3. Flujo de Retorno (Turn-Around Flow) y Escalamiento de Tamaño Finito
Un hallazgo crítico es el comportamiento de la transición de fragmentación con el tamaño del sistema.

• Los autores observan un "flujo de retorno" en el sentido del grupo de renormalización (RG). Para un desorden dado $W$, a medida que el tamaño del sistema $L$ aumenta, la razón $N_{csh}/N_{sh}$ disminuye inicialmente (sugiriendo fragmentación), pero eventualmente retorna y aumenta (sugiriendo reconexión/ergodicidad) a tamaños $L$ muy grandes.
• Esto implica que la fase "fragmentada" observada en sistemas finitos es transitoria. El flujo hacia un punto fijo fragmentado es interrumpido por el crecimiento de las resonancias de muchos cuerpos (aumento de la conectividad) en escalas más grandes.
• Al extrapolar la posición del pico de la varianza de $N_{csh}/N_{sh}$, los autores proporcionan una estimación heurística para la escala de fuerte fragmentación $W_{frag} \approx 5$; sin embargo, enfatizan que el desorden crítico para la verdadera transición MBL puede diferir debido a efectos de túnel cuántico no capturados por este análisis geométrico.

4. Distinción de la Percolación y la MBL
El artículo aclara que la fragmentación de la capa es una propiedad geométrica del grafo del espacio de Fock y es distinta de la transición MBL.

• A diferencia de la percolación en grafos regulares aleatorios (RRGs) donde la conectividad es fija, el grafo del espacio de Fock aquí tiene una conectividad que crece con el tamaño del sistema, y las energías están fuertemente correlacionadas.
• La fragmentación restringe la dinámica pero no la impide; se requiere el efecto túnel cuántico entre fragmentos y efectos de interferencia (fuera del alcance de esta construcción geométrica) para determinar las verdaderas propiedades de localización.

Significado y Afirmaciones

Los autores afirman que su trabajo ofrece una nueva perspectiva geométrica sobre la dinámica de los sistemas desordenados e interactuantes:

• Mecanismo para la Dinámica Lenta: Proponen que la fragmentación de la capa proporciona un mecanismo geométrico que contribuye a la ralentización de la relajación en tiempos finitos (creep) observada en estudios numéricos y experimentales.
• Explicación de las Fluctuaciones: El concepto explica por qué las fluctuaciones de muestra a muestra son grandes a desorden moderado (fluctuaciones en la masa de la capa) y por qué parecen suprimidas a desorden más fuerte (la capa se fragmenta, y la distribución de los tamaños de los fragmentos que albergan al estado inicial se estrecha).
• Estimaciones Heurísticas: Aunque no proporcionan una prueba rigurosa de MBL, el análisis ofrece una estimación heurística de la escala de desorden donde la fragmentación se vuelve dominante ($W_{frag} \approx 5$) y destaca la existencia de un régimen de flujo de retorno.
• Advertencia: Los autores declaran explícitamente que la fragmentación no es un diagnóstico de MBL. El problema completo de la MBL involucra una competencia entre la localización en un esqueleto fragmentado y la deslocalización vía efecto túnel; la escala de fragmentación geométrica $W_{frag}$ no debe confundirse con el desorden crítico $W_{MBL}$.

En resumen, el artículo sostiene que la compleja fenomenología de la relajación en sistemas desordenados, particularmente la ralentización transitoria y las fluctuaciones, puede entenderse a través de la lente de la geometría y la conectividad de la capa de energía potencial en el espacio de Fock, independientemente del destino final del sistema en el límite termodinámico.