Hybrid VQE-CVQE algorithm using diabatic state preparation

기술 요약: 디아바틱 상태 준비를 이용한 하이브리드 VQE-CVQE 알고리즘

문제 정의
현재의 양자 컴퓨팅 알고리즘은 NISQ(Noisy Intermediate-Scale Quantum) 장치용 알고리즘과 FTQ(Fault-Tolergent Quantum) 컴퓨터가 요구하는 알고리즘 사이의 이분법적 문제에 직면해 있다. 양자 위상 추정(Quantum Phase Estimation) 및 단열 상태 준비(Adiabatic State Preparation)와 같은 알고리즘은 아직 실현되지 않은 FTQ 하드웨어에서만 가능한 정밀하고 긴 깊이의 회로를 필요로 한다. 반대로, VQE(Variational Quantum Eigensolver) 및 CVQE(Cascaded Variational Quantum Eigensolver)와 같은 근미래형 알고리즘은 NISQ 장치에서 작동하지만, 변분 안사츠(variational ansatzes)의 한계로 인해 문제 규모가 커짐에 따라 확장하는 데 어려움을 겪는 경우가 많다. 저자들은 현재의 노이즈가 있는 장치부터 미래의 오류 수정 시스템에 이르기까지, 다양한 양자 하드웨어 발전 단계 전반에서 효과적으로 작동하는 하이브리드 알고리즘을 제안함으로써 이 간극을 메우고자 한다.

방법론
제안된 방법은 "가이드 상태(guiding state)"를 생성하기 위해 **디아바틱 상태 준비(diabatic state preparation)**를 사용하는 하이브리드 VQE-CVQE 알고리즘이다. 그림 1에 묘사되고 표 I에 상세히 기술된 과정은 다음과 같다:

1. 초기화: 양자 레지스터를 단순하고 알려진 모델 해밀토니안 $\hat{H}_0$의 바닥 상태 $|\Phi_0\rangle$로 초기화한다.
2. 디아바틱 진화: 매개변수화된 유니터리 연산자 $\hat{U}(N_\tau, \Delta\tau)$를 레지스터에 적용한다. 이 연산자는 시스템을 $\hat{H}_0$에서 타겟 해밀토니안 $\hat{H}$로 $N_\tau$개의 시간 단계(각 단계의 지속 시간 $\Delta\tau$)에 걸쳐 진화시킨다. 진화는 시간 의존적 해밀토니안 $\hat{H}(\tau) = (1 - \frac{\tau}{T})\hat{H}_0 + \frac{\tau}{T}\hat{H}$에 의해 제어된다. 여기서 $T = N_\tau \Delta\tau$이다. $N_\tau \to \infty$를 요구하는 단열 준비와 달리, 이 방법은 매우 이산화된 진화(작은 $N_\tau$, 큰 $\Delta\tau$)를 사용하여 적절한 부분 공간(subspace)을 근사하는 가이드 상태 $|\Psi_0\rangle$를 생성한다.
3. 측정 및 부분 공간 구축: 가이드 상태를 계산 기저(computational basis)에서 측정하여 기저 상태 집합 $B_0$를 생성한다. 부분 공간이 필요한 물리적 특성을 포착하도록 보장하기 위해, 타겟 해밀토니안 $\hat{H}$를 $B_0$에 적용하여 결합된 집합 $B_1$을 생성한다. 최종 기저 집합은 $B = B_0 \cup B_1$이다.
4. 고전적 최적화: 시스템 해밀토니안을 부분 공간 $V = \text{span}(B)$에 투영하여 유효 해밀토니안 $\hat{H}_B$를 형성한다. 바닥 상태 에너지 $E_B$는 고전 컴퓨터에서 $\hat{H}_B$를 대각화함으로써 얻어진다.
5. 변분 루프: 매개변수 $N_\tau$와 $\Delta\tau$는 변분 매개변수 역할을 한다. 알고리즘은 $E_B$를 최소화하기 위해 이 매개변수들을 스캔한다.

주요 기여

• 하이브리드 아키텍처: 본 논문은 변분적 성격의 VQE(회로 매개변수 최적화)와 CVQE(투영된 해밀토니안의 고전적 대각화)의 부분 공간 확장을 결합한 방법을 도입한다.
• 디아바틱 가이드 상태: 복잡하고 깊은 안사츠(예: Unitary Coupled Cluster) 대신, 알고리즘은 단순하고 고도로 이산화된 디아바틱 진화를 사용하여 가이드 상태를 생성한다. 이 접근 방식은 단열 상태 준비를 명시적으로 근사하면서도 짧은 깊이의 회로로 실행 가능하게 유지한다.
• 하드웨어 불가지론(Hardware Agnosticism): 이 알고리즘은 현재의 NISQ 장치, 오류 수정은 없지만 결맞음(coherence)이 높은 중간 규모 컴퓨터, 그리고 미래의 FTQ 컴퓨터에서 작동할 수 있도록 설계되어 범용성을 갖는다.
• 측정 효율성: 저자들은 두 가지 측정 샷 수집 방법을 비교하였다: 각 파울리 문자열(Pauli string)에 대한 회전을 포함하는 방법(표준 VQE)과 계산 기저에서 직접 측정한 후 해밀토니안을 적용하는 방법이다. 저자들은 직접 측정 방법(시뮬레이션에 사용됨)이 $k$-국소(k-local) 해밀토니안에 대해 훨씬 더 효율적이며, 컷오프 임계값을 보상하기 위해 더 많은 샷이 필요할 수 있음에도 불구하고 더 적은 회로를 요구함을 입증하였다.

결과
저자들은 고전 시뮬레이션과 양자 하드웨어 실행을 통해 알고리즘을 검증하였다:

• 8-궤도 시스템 (고전 시뮬레이션): $Q=8$ 궤도와 $N_e=4$ 전자를 가진 시스템에 대해, 알고리즘은 화학적 정확도(chemical accuracy) 내의 에너지를 달성했다. 결과는 시간 단계 수($N_\tau$)에 따라 세 가지 뚜렷한 영역을 식별했다:
  • 작은 영역(Small Regime): 가이드 상태는 열악하지만, 부분 공간 추출이 특정 변분 매개변수에 대해 좋은 근사치를 제공한다.
  • 중간 영역(Medium Regime): 가이드 상태가 정확한 바닥 상태의 열악한 근사치임에도 불구하고, 부분 공간 에너지 $E_B$는 매개변수에 거의 독립적이어서 광범적인 최적화 없이도 CVQE가 좋은 해를 찾을 수 있게 한다.
  • 큰 영역(Large Regime): 단열 준비가 효과적으로 달성되어 고품질의 가이드 상태를 생성한다.
• 50-에너지 레벨 시스템 (IBM Brisbane): 알고리즘은 $Q=50, N_e=25$인 시스템에 대해 IBM Brisbane 양자 컴퓨터에서 실행되었다. 전체 포크 공간(Fock space) 차원은 $\approx 1.3 \times 10^{14}$로, 고전적 대각화 능력을 훨씬 초과한다. 알고리즘은 2,000~2,500개의 상태만을 가진 부분 공간을 활용했다.
  • 결과는 1.9%의 게이트 에러율에서도 다양한 에너지 간격 $\Delta\mu$에 대해 작은 에너지 오차($\Delta E$)를 보여주었다.
  • 노이즈가 없는 시뮬레이션에서는 $\Delta\tau \to 0$일 때 오차가 증가하는 것과 달리, 노이즈가 있는 하드웨어 결과에서는 $N_\tau = 1$(단일 시간 단계)이 최적의 결과를 제공했다. 저자들은 이를 하드웨어 노이즈가 효과적으로 작은 비제로(non-zero) 회전을 적용하여, 더 깊은 회로($N_\tau$가 높을 때)가 누적된 게이트 에러로 인해 오히려 해롭기 때문이라고 설명한다.

의의 및 주장
본 논문은 이 하이브리드 VQE-CVQE 알고리즘이 양자 하드웨어의 발전 과정 전반에 걸쳐 견고한 경로를 제공한다고 주장한다:

• 현재 NISQ 장치의 경우: 회로 깊이를 최소화하는 것이 핵심이다. 알고리즘은 노이즈 플로어가 깊은 회로의 이점을 막기 때문에 변분 매개변수 업데이트가 필요 없는 $N_\tau = 1$에서 가장 잘 작동한다.
• 근미래/중기적 단계의 경우: 결맞음이 개선됨에 따라, 변분 매개변수($N_\tau, \Delta\tau$)를 업데이트하여 에너지를 더욱 최적화할 수 있다.
• 미래 FTQ 장치의 경우: 이 방법은 추가적인 최적화 단계 없이 직접적인 단열 상태 준비로 자연스럽게 전환된다.

저자들은 이 알고리즘이 (전체 힐베르트 공간에 비해) 작은 부분 공간 차원만으로도 정확한 결과를 생성할 수 있고 확률 분포의 변동에 대한 탄력성을 갖추고 있어, 미래의 결함 허용 시스템으로 확장 가능한 동시에 현재 사용 가능한 하드웨어에 즉각 적용할 수 있는 실용적인 후보임을 강조한다.