Hybrid VQE-CVQE algorithm using diabatic state preparation

Technische Samenvatting: Hybride VQE-CVQE Algoritme Gebruikmakend van Diabatische Toestandsvoorbereiding

Probleemstelling
Huidige quantumcomputing-algoritmen kampen met een dichotomie tussen algoritmen die ontworpen zijn voor Noisy Intermediate-Scale Quantum (NISQ) apparaten en algoritmen die Fault-Tolerant Quantum (FTQ) computers vereisen. Algoritmen zoals Quantum Phase Estimation en Adiabatische Toestandsvoorbereiding vereisen precieze, diepe circuits die alleen haalbaar zijn op FTQ-hardware, welke nog niet beschikbaar is. Daartegenover staan nabije algoritmen zoals de Variational Quantum Eigensolver (VQE) en de Cascaded Variational Quantum Eigensolver (CVQE), die werken op NISQ-apparaten maar vaak moeite hebben met het schalen bij toenemende probleemgroottes vanwege de beperkingen van hun variationele ansatzes. De auteurs beogen deze kloof te overbruggen door een hybride algoritme voor te stellen dat effectief functioneert over verschillende stadia van de ontwikkeling van quantumhardware, van huidige ruisgevoelige apparaten tot toekomstige foutgecorrigeerde systemen.

Methodologie
De voorgestelde methode is een hybride VQE-CVQE algoritme dat gebruikmaakt van diabatische toestandsvoorbereiding om een "begeleidende toestand" (guiding state) te genereren. Het proces, afgebeeld in Figuur 1 en gedetailleerd in Tabel I, verloopt als volgt:

1. Initialisatie: Het quantumregister wordt geïnitialiseerd naar de grondtoestand $|\Phi_0\rangle$ van een eenvoudig, bekend model-Hamiltoniaan $\hat{H}_0$.
2. Diabatische Evolutie: Een geparametriseerde unitaire operator $\hat{U}(N_\tau, \Delta\tau)$ wordt toegepast op het register. Deze operator evolueert het systeem van $\hat{H}_0$ naar de doel-Hamiltoniaan $\hat{H}$ over $N_\tau$ tijdstappen van duur $\Delta\tau$. De evolutie wordt beheerst door een tijdsafhankelijke Hamiltoniaan $\hat{H}(\tau) = (1 - \frac{\tau}{T})\hat{H}_0 + \frac{\tau}{T}\hat{H}$, waarbij $T = N_\tau \Delta\tau$. In tegenstelling tot adiabatische voorbereiding, die vereist dat $N_\tau \to \infty$, maakt deze methode gebruik van zeer gediscretiseerde evolutie (kleine $N_\tau$, grote $\Delta\tau$) om een begeleidende toestand $|\Psi_0\rangle$ te produceren die de juiste subspace benadert.
3. Meting en Subspace-constructie: De begeleidende toestand wordt gemeten in de computationele basis om een verzameling basisstoestanden $B_0$ te genereren. Om te waarborgen dat de subspace de noodzakelijke fysica bevat, wordt de doel-Hamiltoniaan $\hat{H}$ toegepast op $B_0$ om een gekoppelde verzameling $B_1$ te genereren. De uiteindelijke basisverzameling is $B = B_0 \cup B_1$.
4. Klassieke Optimalisatie: De systeem-Hamiltoniaan wordt geprojecteerd op de subspace $V = \text{span}(B)$ om een effectieve Hamiltoniaan $\hat{H}_B$ te vormen. De grondtoestandsenergie $E_B$ wordt verkregen door $\hat{H}_B$ klassiek te diagonaliseren.
5. Variationele Loop: De parameters $N_\tau$ en $\Delta\tau$ dienen als variationele parameters. Het algoritme scant deze parameters om $E_B$ te minimaliseren.

Belangrijkste Bijdragen

• Hybride Architectuur: Het artikel introduceert een methode die de variationele aard van VQE (het optimaliseren van circuitparameters) combineert met de subspace-expansie van CVQE (klassieke diagonalisatie van een geprojecteerde Hamiltoniaan).
• Diabatische Begeleidende Toestand: In plaats van complexe, diepe ansatzes (zoals Unitary Coupled Cluster), gebruikt het algoritme een eenvoudige, sterk gediscretiseerde diabatische evolutie om een begeleidende toestand te genereren. Deze aanpak benadert expliciet de adiabatische toestandsvoorbereiding, maar blijft behapbaar voor circuits met een korte diepte.
• Hardware-agnostisch: Het algoritme is ontworpen om algemeen te zijn, werkend op huidige NISQ-apparaten, intermediaire-schaal computers met hoge coherentie maar zonder foutcorrectie, en toekomstige FTQ-computers.
• Meetefficiëntie: De auteurs vergelijken twee methoden voor het verzamelen van metingsshots: één die rotaties voor elke Pauli-string omvat (standaard VQE), en één die direct in de computationele basis meet gevolgd door de toepassing van de Hamiltoniaan. Zij demonstreren dat de directe meetmethode (gebruikt in hun simulaties) aanzienlijk efficiënter is voor $k$-lokale Hamiltonia true, waarbij minder circuits nodig zijn ondanks de potentieel grotere behoefte aan shots om cutoff-drempels te compenseren.

Resultaten
De auteurs hebben het algoritme gevalideerd via klassieke simulaties en uitvoering op quantumhardware:

• 8-Orbitaal Systeem (Klassieke Simulatie): Voor een systeem met $Q=8$ orbitalen en $N_e=4$ elektronen bereikte het algoritme energieën binnen de chemische nauwkeurigheid. De resultaten identificeerden drie verschillende regimes gebaseerd op het aantal tijdstappen ($N_\tau$):
  • Klein Regime: De begeleidende toestand is slecht, maar de subspace-extractie levert een goede benadering voor specifieke variationele parameters.
  • Medium Regime: De begeleidende toestand blijft een slechte benadering van de exacte grondtoestand, maar de subspace-energie $E_B$ is bijna onafhankelijk van de parameters, waardoor CVQE een goede oplossing kan vinden zonder uitgebreide optimalisatie.
  • Groot Regime: Adiabatische voorbereiding wordt effectief bereikt, wat een hoogwaardige begeleidende toestand oplevert.
• 50-Energieniveau Systeem (IBM Brisbane): Het algoritme werd uitgevoerd op de IBM Brisbane quantumcomputer voor een systeem met $Q=50$ en $N_e=25$. De volledige Fock-ruimte dimensie is $\approx 1.3 \times 10^{14}$, ver voorbij de mogelijkheden van klassieke diagonalisatie. Het algoritme maakte gebruik van een subspace van slechts 2.000–2.500 toestanden.
  • De resultaten toonden kleine energie-fouten ($\Delta E$) over diverse energie-afstanden $\Delta\mu$, zelfs met een gate-foutpercentage van 1,9%.
  • In tegenstelling tot foutvrije simulaties die suggereren dat de fout toeneemt naarmate $\Delta\tau \to 0$, lieten de resultaten op de ruisige hardware zien dat $N_\tau = 1$ (een enkele tijdstap) de optimale resultaten leverde. De auteurs schrijven dit toe aan het feit dat hardware-ruis effectief kleine, niet-nul rotaties toepast, waardoor diepere circuits (hogere $N_\tau$) nadelig worden door de accumulatie van gate-fouten.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt dat dit hybride VQE-CVQE algoritme een robuust pad biedt voor quantumsimulatie door de evolutie van quantumhardware heen:

• Voor Huidige NISQ-apparaten: Het minimaliseren van de circuitdiepte is cruciaal. Het algoritme presteert het best met $N_\tau = 1$, waarbij geen variationele parameterupdate nodig is, omdat de ruisvloer de voordelen van diepere circuits voorkomt.
• Voor Nabije tot Middellange Termijn: Naarmate de coherentie verbetert, zou het updaten van de variationele parameters ($N_\tau, \Delta\tau$) de energie verder kunnen optimaliseren.
• Voor Toekomstige FTQ-apparaten: De methode gaat van nature over naar directe adiabatische toestandsvoorbereiding zonder dat er extra optimalisatiestappen nodig zijn.

De auteurs benadrukken dat het vermogen van het algoritme om nauwkeurige resultaten te produceren met een kleine subspace-dimensie (relatief ten opzichte van de volledige Hilbertruimte) en de veerkracht tegen fluctuaties in de waarschijnlijkheidsverdeling, het een praktische kandidaat maakt voor directe toepassing op beschikbare hardware, terwijl het ook schaalbaar blijft voor toekomstige fouttolerante systemen.