Hybrid VQE-CVQE algorithm using diabatic state preparation

技術要約：非断熱状態準備を用いたハイブリッドVQE-CVQEアルゴリズム

問題提起
現在の量子コンピューティング・アルゴリズムは、NISQ（Noisy Intermediate-Scale Quantum）デバイス向けに設計されたものと、FTQ（Fault-Tolerant Quantum）コンピュータを必要とするものとの間で二極化しています。量子位相推定や断熱状態準備のようなアルゴリズムは、正確で深い回路を必要とし、これらはまだ利用可能ではないFTQハードウェアでのみ実行可能です。対照的に、VQE（Variational Quantum Eigensolver）やCVQE（Cascaded Variational Quantum Eigensolver）のような近年のアルゴリズムは、NISQデバイス上で動作しますが、変分アンザッツの限界により、問題サイズの増大に伴うスケーリングに苦慮することがよくあります。著者らは、現在のノイズのあるデバイスから将来のエラー訂正システムに至るまで、異なる量子ハードウェアの開発段階を横断して効果的に機能するハイブリッドアルゴリズムを提案することで、このギャップを埋めることを目的としています。

手法
提案手法は、「ガイディング状態（guiding state）」を生成するために**非断熱状態準備（diabatic state preparation）**を利用するハイブリッドVQE-CVQEアルゴリズムです。プロセスは図1および表Iに示されている通り、以下の手順で行われます。

1. 初期化: 量子レジスタを、単純で既知のモデルハミルトニアン $\hat{H}_0$ の基底状態 $|\Phi_0\rangle$ に初期化します。
2. 非断熱発展: パラメータ化されたユニタリ演算子 $\hat{U}(N_\tau, \Delta\tau)$ をレジスタに適用します。この演算子は、$N_\tau$ 個の時間ステップ（各ステップの長さ $\Delta\tau$）にわたって、システムを $\hat{H}_0$ からターゲットとなるハミルトニアン $\hat{H}$ へと進化させます。この発展は、時間依存ハミルトニアン $\hat{H}(\tau) = (1 - \frac{\tau}{T})\hat{H}_0 + \frac{\tau}{T}\hat{H}$ によって制御されます（ここで $T = N_\tau \Delta\tau$）。$N_\tau \to \infty$ を必要とする断熱的な準備とは異なり、この手法は高度に離散化された発展（小さな $N_\tau$、大きな $\Delta\tau$）を採用することで、適切な部分空間を近似するガイディング状態 $|\Psi_0\rangle$ を生成します。
3. 測定および部分空間の構築: ガイディング状態を計算基底で測定し、一連の基底状態 $B_0$ を生成します。部分空間が物理的に必要な性質を捉えることを確実にするため、ターゲットハミルトニアン $\hat{H}$ を $B_0$ に作用させて、結合された集合 $B_1$ を生成します。最終的な基底集合は $B = B_0 \cup B_1$ となります。
4. 古典的最適化: システムハミルトニアンを部分空間 $V = \text{span}(B)$ に投影し、有効ハミルトニアン $\hat{H}_B$ を形成します。基底状態エネルギー $E_B$ は、古典コンピュータ上で $\hat{H}_B$ を対角化することによって得られます。
5. 変分ループ: パラメータ $N_\tau$ および $\Delta\tau$ は変分パラメータとして機能します。アルゴリズムはこれらのパラメータを走査し、$E_B$ を最小化します。

主な貢献

• ハイブリッド・アーキテクチャ: 本論文は、変分的な性質を持つVQE（回路パラメータの最適化）と、CVQE（投影されたハミルトニアンの古典的な対角化）を組み合わせた手法を導入しています。
• 非断熱ガイディング状態: 複雑で深いアンザッツ（Unitary Coupled Clusterなど）の代わりに、本アルゴリズムは、単純で高度に離散化された非断熱発展を用いてガイディング状態を生成します。このアプローチは断熱的な状態準備を明示的に近似していますが、短深度の回路として実行可能です。
• ハードウェア非依存性: アルゴリズムは汎用的に設計されており、現在のNISQデバイス、エラー訂正はないがコヒーレンスが高い中間規模のコンピュータ、そして将来のFTQコンピュータのすべてで機能します。
• 測定効率: 著者らは、測定ショットの収集に関する2つの手法（標準的なVQEにおける各パウリ文字列に対する回転を用いる方法と、計算基底で直接測定した後にハミルトニアンを適用する方法）を比較しています。彼らは、直接測定法（彼らのシミュレーションで使用）が、$k$-局所ハミルトニアンに対して非常に効率的であり、カットオフ閾値によるショット数の増加の可能性はあるものの、より少ない回路数で済むことを示しています。

結果
著者らは、古典シミュレーションと量子ハードウェアでの実行を通じてアルゴリズムを検証しました。

• 8軌道系（古典シミュレーション）: $Q=8$ 軌道、$N_e=4$ 電子のシステムにおいて、アルゴリズムは化学的精度（chemical accuracy）の範囲内でエネルギーを達成しました。結果として、時間ステップ数（$N_\tau$）に基づいた3つの明確な領域が特定されました。
  • 小領域 (Small Regime): ガイディング状態は不十分ですが、特定の変分パラメータに対して部分空間抽出が良好な近似を与えます。
  • 中領域 (Medium Regime): ガイディング状態は厳密な基底状態の近似としては不十分なままですが、部分空間エネルギー $E_B$ はパラメータに対してほぼ独立しており、広範な最適化なしにCVQEが良好な解を見つけることができます。
  • 大領域 (Large Regime): 断熱的な準備が効果的に達成され、高品質なガイディング状態が得られます。
• 50エネルギー準位系（IBM Brisbane）: アルゴミズムは、$Q=50$、$N_e=25$ のシステムに対してIBM Brisbane量子コンピュータ上で実行されました。全フォック空間の次元は約 $1.3 \times 10^{14}$ であり、古典的な対角化能力を遥かに超えています。アルゴリズムは、わずか2,000〜2,500の状態からなる部分空間を利用しました。
  • 結果は、ゲートエラー率が1.9%である場合でも、様々なエネルギー間隔 $\Delta\mu$ に対して小さなエネルギー誤差（$\Delta E$）を示しました。
  • ノイズのないシミュレーションでは $\Delta\tau \to 0$ に伴いエラーが増加することを示唆しているのに対し、ノイズのあるハードウェアの結果では、$N_\tau = 1$（単一の時間ステップ）が最適な結果をもたらしました。著者らは、この理由を、ハードウェアノイズが実質的に小さな非ゼロの回転を適用しており、それゆえに回路が深くなる（高い $N_\tau$）と蓄積されたゲートエラーにより有害になるためであると考えています。

意義と主張
本論文は、このハイブリッドVQE-CVQEアルゴリズムが、量子ハードウェアの進化過程におけるロバストな経路を提供すると主張しています。

• 現在のNISQデバイス向け: 回路の深さを最小限に抑えることが重要です。アルゴリズムは $N_\tau = 1$ で最もよく機能します。このとき、ノイズフロアが深い回路の利点を妨げるため、変分パラメータの更新は必要ありません。
• 次期〜中期向け: コヒーレンスが向上するにつれ、変分パラメータ（$N_\tau, \Delta\tau$）を更新することで、エネルギーをさらに最適化できる可能性があります。
• 将来のFTQデバイス向け: この手法は、追加の最適化ステップを必要とせずに、直接的な断熱状態準備へと自然に移行します。

著者らは、このアルゴリズムが（全ヒルベルト空間と比較して）小さな部分空間次元で正確な結果を生み出す能力と、確率分布の変動に対する耐性を持っていることから、将来のフォールトトレラントなシステムへのスケーラビリティを維持しつつ、現在利用可能なハードウェアへの即時適用に向けた実用的な候補であることを強調しています。