Hybrid VQE-CVQE algorithm using diabatic state preparation

Technische Zusammenfassung: Hybrider VQE-CVQE-Algorithmus unter Verwendung diabatischer Zustandspräparation

Problemstellung
Aktuelle Quantenalgorithmen stehen vor einem Dilemma zwischen solchen, die für Noisy Intermediate-Scale Quantum (NISQ)-Geräte entwickelt wurden, und solchen, die fehlertolerante Quantencomputer (FTQ) erfordern. Algorithmen wie die Quantenphasenabschätzung (Quantum Phase Estimation) und die adiabatische Zustandspräparation erfordern präzise, tiefere Schaltkreise, die nur auf FTQ-Hardware realisierbar sind, welche jedoch noch nicht verfügbar ist. Umgekehrt operieren Near-Term-Algorithmen wie der Variational Quantum Eigensolver (VQE) und der Cascaded Variational Quantum Eigensolver (CVQE) auf NISQ-Geräten, kämpfen jedoch oft mit der Skalierbarkeit bei zunehmender Problemgröße aufgrund der Limitationen ihrer variablen Ansatzes (Ansatzes). Die Autoren zielen darauf ab, diese Lücke durch einen hybriden Algorithmus zu schließen, der effektiv über verschiedene Stadien der Hardwareentwicklung hinweg funktioniert – von aktuellen verrauschten Geräten bis hin zu zukünftigen fehlertoleranten Systemen.

Methodik
Die vorgeschlagene Methode ist ein hybrider VQE-CVQE-Algorithmus, der die diabatische Zustandspräparation nutzt, um einen „Leitzustand“ (Guiding State) zu generieren. Der Prozess, der in Abbildung 1 dargestellt und in Tabelle I detailliert beschrieben wird, verläuft wie folgt:

1. Initialisierung: Das Quantenregister wird in den Grundzustand $|\Phi_0\rangle$ eines einfachen, bekannten Modell-Hamiltonoperators $\hat{H}_0$ initialisiert.
2. Diabatische Evolution: Ein parametrisierter unitarischer Operator $\hat{U}(N_\tau, \Delta\tau)$ wird auf das Register angewendet. Dieser Operator entwickelt das System von $\hat{H}_0$ zu $\hat{H}$ über $N_\tau$ Zeitschritte der Dauer $\Delta\tau$. Die Entwicklung wird durch einen zeitabhängigen Hamiltonoperator $\hat{H}(\tau) = (1 - \frac{\tau}{T})\hat{H}_0 + \frac{\tau}{T}\hat{H}$ gesteuert, wobei $T = N_\tau \Delta\tau$. Im Gegensatz zur adiabatischen Präparation, die $N_\tau \to \infty$ erfordert, verwendet diese Methode eine hochgradig diskretisierte Evolution (kleines $N_\tau$, großes $\Delta\tau$), um einen Leitzustand $|\Psi_0\rangle$ zu erzeugen, der den korrekten Subraum approximiert.
3. Messung und Subraumkonstruktion: Der Leitzustand wird in der Rechenbasis gemessen, um eine Menge von Basiszuständen $B_0$ zu generieren. Um sicherzustellen, dass der Subraum die notwendige Physik erfasst, wird der Ziel-Hamiltonoperator $\hat{H}$ auf $B_0$ angewendet, um eine gekoppelte Menge $B_1$ zu erzeugen. Die endgültige Basismenge ist $B = B_0 \cup B_1$.
4. Klassische Optimierung: Der System-Hamiltonoperator wird auf den Subraum $V = \text{span}(B)$ projiziert, um einen effektiven Hamiltonoperator $\hat{H}_B$ zu bilden. Die Grundzustandsenergie $E_B$ wird durch Diagonalisierung von $\hat{H}_B$ auf einem klassischen Computer ermittelt.
5. Variationelle Schleife: Die Parameter $N_\tau$ und $\Delta\tau$ dienen als variable Parameter. Der Algorithmus scannt diese Parameter, um $E_B$ zu minimieren.

Wesentliche Beiträge

• Hybride Architektur: Die Arbeit führt eine Methode ein, die die variable Natur von VQE (Optimierung von Schaltkreisparametern) mit der Subraum-Expansion von CVQE (klassische Diagonalisierung eines projizierten Hamiltonoperators) kombiniert.
• Diabatischer Leitzustand: Anstelle komplexer, tiefer Ansatzes (wie Unitary Coupled Cluster) verwendet der Algorithmus eine einfache, hochgradig diskretisierte diabatische Evolution, um einen Leitzustand zu erzeugen. Dieser Ansatz approximiert explizit die adiabatische Zustandspräparation, bleibt jedoch mit kurzen Schaltkreistiefen handhabbar.
• Hardware-Agnostik: Der Algorithmus ist allgemein konzipiert und funktioniert auf aktuellen NISQ-Geräten, intermediären Computern mit hoher Kohärenz aber ohne Fehlerkorrektur sowie auf zukünftigen FTQ-Computern.
• Effizienz der Messung: Die Autoren vergleichen zwei Methoden zur Erfassung von Messschüssen (Measurement Shots): eine, die Rotationen für jeden Pauli-String beinhaltet (Standard-VQE), und eine, die direkt in der Rechenbasis misst, gefolgt von einer Anwendung des Hamiltonoperators. Sie zeigen, dass die direkte Messmethode (die in ihren Simulationen verwendet wurde) für $k$-lokale Hamiltonoperatoren signifikant effizienter ist und weniger Schaltkreise benötigt, obwohl sie potenziell mehr Schüsse benötigt, um Cutoff-Schwellenwerte zu kompensieren.

Ergebnisse
Die Autoren validierten den Algorithmus durch klassische Simulationen und die Ausführung auf Quantenhardware:

• 8-Orbital-System (Klassische Simulation): Für ein System mit $Q=8$ Orbitalen und $N_e=4$ Elektronen erreichte der Algorithmus Energien innerhalb der chemischen Genauigkeit. Die Ergebnisse identifizierten drei distinkte Regime basierend auf der Anzahl der Zeitschritte ($N_\tau$):
  • Kleines Regime: Der Leitzustand ist schlecht, aber die Subraum-Extraktion liefert eine gute Approximation für spezifische variable Parameter.
  • Mittleres Regime: Der Leitzustand bleibt eine schlechte Approximation des exakten Grundzustands, dennoch ist die Subraum-Energie $E_B$ nahezu unabhängig von den Parametern, was es CVQE ermöglicht, eine gute Lösung ohne extensive Optimierung zu finden.
  • Großes Regime: Die adiabatische Präparation wird effektiv erreicht, was einen hochwertigen Leitzustand liefert.
• 50-Energieniveaus-System (IBM Brisbane): Der Algorithmus wurde auf dem IBM Brisbane Quantencomputer für ein System mit $Q=50$ und $N_e=25$ ausgeführt. Die volle Fock-Raum-Dimension beträgt $\approx 1,3 \times 10^{14}$, was weit über die Fähigkeiten der klassischen Diagonalisierung hinausgeht. Der Algorithmus nutzte einen Subraum von nur 2.000–2.500 Zuständen.
  • Die Ergebnisse zeigten geringe Energiefehler ($\Delta E$) über verschiedene Energieradien $\Delta\mu$ hinweg, selbst bei einer Gate-Fehlerrate von 1,9 %.
  • Im Gegensatz zu rauschfreien Simulationen, die nahelegen, dass der Fehler steigt, wenn $\Delta\tau \to 0$, zeigten die Ergebnisse der verrauschten Hardware, dass $N_\tau = 1$ (ein einziger Zeitschritt) die optimalen Ergebnisse lieferte. Die Autoren führen dies darauf zurück, dass das Hardware-Rauschen effektiv kleine, nicht-null Rotationen anwendet, wodurch tiefere Schaltkreise (höheres $N_\tau$) aufgrund akkumulierter Gate-Fehler nachteilig werden.

Bedeutung und Ansprüche
Die Arbeit behauptet, dass dieser hybride VQE-CVQE-Algorithmus einen robusten Pfad für die Quantensimulation über die Entwicklung der Hardware hinweg bietet:

• Für aktuelle NISQ-Geräte: Die Minimierung der Schaltkreistiefe ist entscheidend. Der Algorithmus arbeitet am besten mit $N_\tau = 1$, wobei keine Aktualisierung der variablen Parameter notwendig ist, da das Rauschniveau den Nutzen tieferer Schaltkreise verhindert.
• Für die mittelfristige Zukunft: Mit verbesserter Kohärenz könnte die Aktualisierung der variablen Parameter ($N_\tau, \Delta\tau$) die Energie weiter optimieren.
• Für zukünftige FTQ-Geräte: Die Methode geht natürlich in eine direkte adiabatische Zustandspräparation über, ohne zusätzliche Optimierungsschritte zu erfordern.

Die Autoren betonen, dass die Fähigkeit des Algorithmus, genaue Ergebnisse mit einer kleinen Subraumdimension (relativ zum vollen Hilbert-Raum) zu liefern, und seine Resilienz gegenüber Fluktuationen der Wahrscheinlichkeitsverteilung ihn zu einem praktischen Kandidaten für die unmittelbare Anwendung auf verfügbarer Hardware macht, während er gleichzeitig für zukünftige fehlertolerante Systeme skalierbar bleibt.