Hybrid VQE-CVQE algorithm using diabatic state preparation

Résumé Technique : Algorithme Hybride VQE-CVQE utilisant la Préparation d'État Diabatique

Énoncé du Problème
Les algorithmes de calcul quantique actuels sont confrontés à une dichotomie entre ceux conçus pour les dispositifs de l'ère NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum) et ceux nécessitant des ordinateurs quantiques tolérants aux fautes (FTQ - Fault-Tolerant Quantum). Des algorithmes tels que l'Estimation de Phase Quantique et la Préparation d'État Adiabatique nécessitent des circuits de grande profondeur et de haute précision, réalisables uniquement sur du matériel FTQ, qui n'est pas encore disponible. À l'inverse, les algorithmes de l'ère proche comme le VQE (Variational Quantum Eigensolver) et le CVQE (Cascaded Variational Quantum Eigensolver) fonctionnent sur des dispositifs NISQ mais peinent souvent à passer à l'échelle avec l'augmentation de la taille des problèmes en raison des limitations de leurs ansatz variationnels. Les auteurs visent à combler ce fossé en proposant un algorithme hybride capable de fonctionner efficacement à travers les différentes étapes du développement du matériel quantique, des dispositifs bruités actuels aux futurs systèmes à correction d'erreurs.

Méthodologie
La méthode proposée est un algorithme hybride VQE-CVQE qui utilise la préparation d'état diabatique pour générer un « état directeur » (guiding state). Le processus, illustré par la Figure 1 et détaillé dans le Tableau I, se déroule comme suit :

1. Initialisation : Le registre quantique est initialisé à l'état fondamental $|\Phi_0\rangle$ d'un hamiltonien de modèle simple et connu $\hat{H}_0$.
2. Évolution Diabatique : Un opérateur unitaire paramétré $\hat{U}(N_\tau, \Delta\tau)$ est appliqué au registre. Cet opérateur fait évoluer le système de $\hat{H}_0$ vers l'hamiltonien cible $\hat{H}$ sur $N_\tau$ étapes de temps de durée $\Delta\tau$. L'évolution est régie par un hamiltonien dépendant du temps $\hat{H}(\tau) = (1 - \frac{\tau}{T})\hat{H}_0 + \frac{\tau}{T}\hat{H}$, où $T = N_\tau \Delta\tau$. Contrairement à la préparation adiabatique, qui nécessite $N_\tau \to \infty$, cette méthode emploie une évolution hautement discrétisée (petit $N_\tau$, grand $\Delta\tau$) pour produire un état directeur $|\Psi_0\rangle$ qui approxime le sous-espace correct.
3. Mesure et Construction du Sous-espace : L'état directeur est mesuré dans la base computationnelle pour générer un ensemble d'états de base $B_0$. Pour garantir que le sous-espace capture la physique nécessaire, l'hamiltonien cible $\hat{H}$ est appliqué à $B_0$ pour générer un ensemble couplé $B_1$. L'ensemble de base final est $B = B_0 \cup B_1$.
4. Optimisation Classique : L'hamiltonien du système est projeté sur le sous-espace $V = \text{span}(B)$ pour former un hamiltonien effectif $\hat{H}_B$. L'énergie de l'état fondamental $E_B$ est obtenue en diagonalisant $\hat{H}_B$ sur un ordinateur classique.
5. Boucle Variationnelle : Les paramètres $N_\tau$ et $\Delta\tau$ servent de paramètres variationnels. L'algorithme balaie ces paramètres pour minimiser $E_B$.

Contributions Clés

• Architecture Hybride : Le document introduit une méthode qui combine la nature variationnelle du VQE (optimisation des paramètres du circuit) avec l'expansion de sous-espace du CVQE (diagonalisation classique d'un hamiltonien projeté).
• État Directeur Diabatique : Au lieu d'ansatz complexes et profonds (comme l'Unitary Coupled Cluster), l'algorithme utilise une évolution diabatique simple et hautement discrétisée pour générer un état directeur. Cette approche approxime explicitement la préparation d'état adiabatique tout en restant traitable pour des circuits de faible profondeur.
• Agnosticisme Matériel : L'algorithme est conçu pour être général, fonctionnant sur les dispositifs NISQ actuels, les ordinateurs à échelle intermédiaire avec une cohérence élevée mais sans correction d'erreurs, ainsi que sur les futurs systèmes FTQ.
• Efficacité de Mesure : Les auteurs comparent deux méthodes pour collecter les mesures (shots) : l'une impliquant des rotations pour chaque chaîne de Pauli (VQE standard) et l'autre mesurant directement dans la base computationnelle suivie de l'application de l'hamiltonien. Ils démontrent que la méthode de mesure directe (utilisée dans leurs simulations) est nettement plus efficace pour les hamiltoniens $k$-locaux, nécessitant moins de circuits malgré la nécessité potentielle de plus de mesures pour compenser les seuils de coupure.

Résultats
Les auteurs ont validé l'algorithme via des simulations classiques et une exécution sur matériel quantique :

• Système à 8 orbitales (Simulation Classique) : Pour un système avec $Q=8$ orbitales et $N_e=4$ électrons, l'algorithme a atteint des énergies très proches de la précision chimique. Les résultats ont identifié trois régimes distincts basés sur le nombre d'étapes de temps ($N_\tau$) :
  • Petit Régime : L'état directeur est médiocre, mais l'extraction du sous-espace produit une bonne approximation pour des paramètres variationnels spécifiques.
  • Moyen Régime : L'état directeur reste une mauvaise approximation de l'état fondamental exact, pourtant l'énergie du sous-espace $E_B$ est presque indépendante des paramètres, permettant au CVQE de trouver une bonne solution sans optimisation étendue.
  • Grand Régime : La préparation adiabatique est effectivement réalisée, produisant un état directeur de haute qualité.
• Système à 50 niveaux d'énergie (IBM Brisbane) : L'algorithme a été exécuté sur l'ordinateur quantique IBM Brisbane pour un système avec $Q=50$ et $N_e=25$. La dimension complète de l'espace de Fock est d'environ $1,3 \times 10^{14}$, dépassant largement les capacités de diagonalisation classique. L'algorithme a utilisé un sous-espace de seulement 2 000 à 2 500 états.
  • Les résultats ont montré de faibles erreurs d'énergie ($\Delta E$) à travers diverses espacements d'énergie $\Delta\mu$, même avec un taux d'erreur de porte de 1,9 %.
  • Contrairement aux simulations sans bruit qui suggèrent que l'erreur augmente lorsque $\Delta\tau \to 0$, les résultats sur le matériel bruité ont montré que $N_\tau = 1$ (une seule étape de temps) fournissait les meilleurs résultats. Les auteurs attribuent cela au fait que le bruit matériel applique effectivement de petites rotations non nulles, rendant les circuits plus profonds (plus grand $N_\tau$) préjudiciables en raison de l'accumulation des erreurs de porte.

Signification et Revendications
Le document affirme que cet algorithme hybride VQE-CVQE offre une voie robuste pour la simulation quantique à travers l'évolution du matériel quantique :

• Pour les dispositifs NISQ actuels : Minimiser la profondeur du circuit est critique. L'algorithme fonctionne de manière optimale avec $N_\tau = 1$, où aucune mise à jour de paramètre variationnel n'est nécessaire, car le plancher de bruit empêche les bénéfices de circuits plus profonds.
• Pour le moyen terme : À mesure que la cohérence s'améliore, la mise à jour des paramètres variationnels ($N_\tau, \Delta\tau$) pourrait permettre d'optimiser davantage l'énergie.
• Pour les dispositifs FTQ futurs : La méthode se transitionne naturellement vers une préparation d'état adiabatique directe sans nécessiter d'étapes d'optimisation supplémentaires.

Les auteurs soulignent que la capacité de l'algorithme à produire des résultats précis avec une petite dimension de sous-espace (relativement à l'espace de Hilbert complet) et sa résilience aux fluctuations de la distribution de probabilité en font un candidat pratique pour une application immédiate sur le matériel disponible, tout en restant évolutif pour les futurs systèmes tolérants aux fautes.