Joint extreme values of $L$-functions on and off the critical line

기술적 요약: 임계선 위와 밖에서의 L-함수들의 결합 극값

문제 제기
본 논문은 서로 다른 $H$개의 원시 $L$-함수 튜플에 대한 동시적인 큰 값 (극값) 의 존재성을 확립하는 문제를 다룬다. 구체적으로, $GL(1)$및$GL(2)$클래스에서 선택된$H$개의 서로 다른 원시$L$-함수가 임계선 ($\sigma = 1/2$) 위의 동일한 점$t$에서 동시에 큰 크기를 달성할 수 있는지 여부를 조사한다. Heap 과 Li 의 이전 연구는 $H=2$ 및 $H=3$에 대해 무조건적으로 이러한 결과를 확립했으나, $H > 3$인 경우 그 결과는 일반화된 리만 가설 (GRH) 을 가정해야 했다. 또한, 임계선 밖 ($\sigma > 1/2$) 의 $L$-함수에 대한 결과들은 존재했으나, 종종 강력한 가정을 요구하거나 단일 동시 $t$가 아닌 서로 다른 점 $t_h$에서의 값들을 산출했다. 본 논문은 $GL(1)$및$GL(2)$ $L$-함수의 임의 개수에 대해 임계선에서의 결합 극값에 대한 무조건적 결과를 제공하고, 영점 밀도 추정치 하에서 이러한 발견을 임계선 밖 영역으로 확장하는 것을 목표로 한다.

방법론
주요 분석 도구는 Soundararajan 이 처음 도입한 **공진법 (resonance method)**이다. 핵심 전략은 대상 $L$-함수들의 값을 증폭하도록 설계된 "공진기 (resonator)" 디리클레 다항식 $R(s)$를 구성하는 것이다.

1. 임계선 위 ($\sigma = 1/2$):

   • 증명에는 $L$-함수들의 곱과 공진기가 포함된 꼬임 모멘트 적분에 대한 하한과, 개별 $L$-함수들의 곱으로 꼬인 동일한 적분에 대한 상한을 확립하는 것이 의존된다.
   • 주요 혁신은 리만 제타함수의 분수 모멘트에 대한 Heath-Brown 의 방법을 적용하는 것이다. $L$-함수들의 제로 (영점) 를 제어하기 위해 GRH 를 가정하는 대신, 저자는 Heath-Brown 의 기법을 변형하여 꼬인 분수 모멘트에 대한 날카로운 하한을 얻는다.
   • 이 접근법은 차수가 3 미만인 $L$-함수들의 제로 분포에 대한 정보를 가정하지 않고도 저자가 증명할 수 있게 한다. 이 방법은 $L$-함수 곱을 짧은 디리클레 다항식 근사와 오차항으로 분할한 후, 차이를 제어하기 위해 Gabriel 의 볼록성 정리를 적용한다.
   • 증명은 Hölder 부등식을 사용하여 결합 모멘트를 개별 모멘트로 분리하며, $GL(1)$및$GL(2)$ $L$-함수들의 2 차 모멘트에 대한 알려진 날카로운 상한을 활용한다.

2. 임계선 밖 ($\sigma > 1/2$):

   • 방법론은 영점 밀도 추정치를 활용하는 방향으로 전환된다. 저자는 $L$-함수들이 소거되지 않는 "영점 없는" 수평 띠를 식별한다.
   • 이러한 띠 내에서 $L$-함수들은 GRH 가 필요 없이 짧은 디리클레 다항식으로 근사될 수 있으며, 단 영점 밀도 추정치가 충분히 느리게 증가해야 한다 (구체적으로 $o(T^{1-\alpha})$).
   • 증명은 Hilberdink 와 Voronin 이 구성한 공진기를 사용한다.
   • 비동시적 값 (서로 다른 $t_h$) 을 다루는 Theorem 1.3 에 대해, 논문은 Fejér 핵과 **정량적 크로네커 정리 (quantitative Kronecker theorem)**를 포함하는 합성곱 공식을 활용한다. 기술적 정교화를 통해 각 $L$-함수에 대해 서로소인 소수 집합에 크로네커 정리를 직접 적용할 수 있게 하여, 동시 점들의 특정 구성에서 디리클레 계수의 직교성 (조건 1.1) 이 필요하지 않도록 한다.

주요 기여 및 결과

• Theorem 1.1 (임계선 위 무조건적 결합 극값):

  • 논문은 $S_0$ 클래스 (리만 제타함수, 원시 디리클레 $L$-함수, $GL(2)$ cusp forms 포함) 에서의 임의의 $H$개 서로 다른 원시 $L$-함수에 대해, $t \in [T, 2T]$인 $t$가 존재하여 다음을 만족함을 증명한다:
    $$\max_{t \in [T, 2T]} \min_{h \le H} |L_h(1/2 + it)| \ge \exp\left( \sqrt{\frac{D \log T}{H(H-1) \log \log T}} \right)$$
  • 이 결과는 $H > 3$에 대해 Heap 과 Li 가 필요로 했던 GRH 가정을 제거하고, 모든 $H$에 대해 무조건적이다.
  • 상수 $D$는 모든 함수가 디리클레 $L$-함수인 경우 $D < 1/2$에 대해 허용 가능하다. 일반적인 $GL(2)$형식의 경우,$D < \frac{1/2 - \theta}{3 + \theta}$이며, 여기서$\theta$는 라마누잔 가설에 대한 상한이다.
  • 이 상한은 Heap-Li 의 조건부 상한보다 $1/\sqrt{H-1}$ 인자만큼 약간 약하지만, 임의의 $H$에 대한 첫 번째 무조건적 결과이다.

• Theorem 1.2 (임계선 밖의 결합 극값):

  • 라마누잔 가설과 특정 영점 밀도 추정치 ($\sum N_{L_h}(\sigma_0, T) = o(T^{1-\alpha})$) 를 가정하여, $\sigma \in (\sigma_0, 1)$에 대해 $t \in [T, 2T]$인 $t$가 존재하여 $L$-함수들이 $\exp\left( D (\log T)^{1-\sigma} / \log \log T \right)$ 크기의 큰 값 (또는 역수의 작은 값) 을 동시에 달성함을 확립한다.
  • 이 결과는 무조건적으로 $GL(2)$ 정형 cusp forms 을 다루며, 값이 근처의 $t_h$가 아닌 단일 $t$에서 발생하도록 보장함으로써 Mahatab, Pańkowski, Vatwani 의 이전 연구를 개선한다.

• Theorem 1.3 (일반 클래스를 위한 비동시적 극값):

  • 라마누잔 가설이나 다항식 오일러 곱을 요구하지 않는 더 넓은 클래스 $S$의 $L$-함수에 대해, 논문은 $t_1, \dots, t_H$ (여기서 $|t_h - t_g|$는 작음) 의 존재성을 증명하며, 이때 $L$-함수들이 큰 값을 달성함을 보인다.
  • 이는 Inoue 와 Li 의 결과를 일반화하여 더 약한 가정 하에서 디리클레 $L$-함수에 대한 그들의 발견을 회복한다.

의의 및 주장
본 논문은 임계선 위의 결합 극값에 관한 Heap 과 Li 의 일반적 결과에 대한 무조건적 개선을 주장한다. 분수 모멘트에 대한 Heath-Brown 의 방법 변형을 도입함으로써, 저자는 3 개 이상의 $L$-함수를 다룰 때 일반화된 리만 가설 (GRH) 의 필요성을 우회하는 데 성공했다.

저자는 Theorem 1.1 의 하한이 분모의 $H(H-1)$ 항 대 $H$로 인해 조건부 상한보다 약간 작지만, GRH 가정의 제거가 주요 성과라고 지적한다. 또한, 상수 $D$에 대한 제한과 상한 내의 $H$의 특정 거듭제곱은 무조건적으로 꼬인 분수 모멘트를 제어하는 데 있는 한계의 직접적인 결과임을 강조한다.

임계선 밖 결과에 관해, 논문은 Inoue 와 Li 의 결과를 부분적으로 회복하며, GRH 의 완전한 강도를 요구하지 않고 영점 밀도 추정치 하에서 단일 점 $t$에서 동시 큰 값을 찾을 수 있음을 보여줌으로써 Mahatab 외의 연구를 일반적으로 개선한다고 주장한다. 이 작업은 단일 함수 극값 이론과 결합 분포 이론 사이의 간극을 메우는 $L$-함수 튜플에 대한 공진법의 엄밀한 확장으로 제시된다.