Joint extreme values of $L$-functions on and off the critical line

Technische Samenvatting: Gezamenlijke Extreme Waarden van L-functies Op en Buiten de Kritieke Lijn

Probleemstelling
Het artikel behandelt het probleem van het vaststellen van het bestaan van gelijktijdige grote waarden (extreme waarden) voor een tuple van verschillende primitieve $L$-functies. Specifiek wordt onderzocht of $H$ verschillende primitieve $L$-functies uit de klassen $GL(1)$ en $GL(2)$ gelijktijdig grote magnitudes kunnen bereiken op hetzelfde punt $t$ op de kritieke lijn ($\sigma = 1/2$). Eerdere werken van Heap en Li stelden dergelijke resultaten vast voor $H=2$ en $H=3$ zonder voorwaarden, maar voor $H > 3$ berustten hun resultaten op de aanname van de Algemene Riemann-hypothese (GRH). Bovendien, hoewel er resultaten bestonden voor $L$-functies buiten de kritieke lijn (waar $\sigma > 1/2$), vereisten deze vaak sterke aannames of leverden ze waarden op bij verschillende punten $t_h$ in plaats van een enkel gelijktijdig $t$. Het artikel beoogt onvoorwaardelijke resultaten te bieden voor gezamenlijke extreme waarden op de kritieke lijn voor elk aantal $GL(1)$- en $GL(2)$-$L$-functies en deze bevindingen uit te breiden naar het gebied buiten de kritieke lijn onder nul-dichtheidsschattingen.

Methodologie
Het belangrijkste analytische hulpmiddel dat wordt toegepast is de resonantie-methode, oorspronkelijk geïntroduceerd door Soundararajan. De kernstrategie omvat het construeren van een "resonator" Dirichlet-polynoom $R(s)$ dat is ontworpen om de waarden van de doel-$L$-functies te versterken.

1. Op de Kritieke Lijn ($\sigma = 1/2$):

   • Het bewijs berust op het vaststellen van een ondergrens voor een verdraaid momentintegraal dat het product van de $L$-functies en de resonator omvat, en een bovengrens voor dezelfde integraal verdraaid met het product van de individuele $L$-functies.
   • Een belangrijke innovatie is de aanpassing van de methode van Heath-Brown voor fractionele momenten van de Riemann-zetafunctie. In plaats van de GRH aan te nemen om de nulpunten van de $L$-functies te controleren, maakt de auteur gebruik van een variatie van de techniek van Heath-Brown om scherpe ondergrenzen te verkrijgen voor verdraaide fractionele momenten.
   • Deze aanpak stelt de auteur in staat om aan te nemen dat er geen informatie nodig is over de nulverdeling van $L$-functies met graad kleiner dan drie. De methode omvat het splitsen van het $L$-functieproduct in een korte Dirichlet-polynoombenadering en een foutterm, en vervolgens het toepassen van het convexiteitsstelling van Gabriel om het verschil te controleren.
   • Het bewijs maakt gebruik van de ongelijkheid van Hölder om het gezamenlijke moment te ontkoppelen in individuele momenten, waarbij gebruik wordt gemaakt van bekende scherpe bovengrenzen voor de tweede momenten van $GL(1)$- en $GL(2)$-$L$-functies.

2. Buiten de Kritieke Lijn ($\sigma > 1/2$):

   • De methodologie verschuift naar het benutten van nul-dichtheidsschattingen. De auteur identificeert "nul-vrije" horizontale stroken waar de $L$-functies niet verdwijnen.
   • Binnen deze stroken kunnen de $L$-functies worden benaderd door korte Dirichlet-polynomen zonder de GRH te vereisen, mits de nul-dichtheidsschattingen voldoende langzaam groeien (specifiek $o(T^{1-\alpha})$).
   • Het bewijs maakt gebruik van een resonator die is geconstrueerd door Hilberdink en Voronin.
   • Voor Stelling 1.3, die handelt over niet-gelijktijdige waarden (verschillende $t_h$), maakt het artikel gebruik van een convolutieformule die de Fejér-kern en de kwantitatieve stelling van Kronecker omvat. Een technische verfijning maakt het mogelijk om de stelling van Kronecker direct toe te passen op disjuncte verzamelingen van priemgetallen voor elke $L$-functie, waardoor de noodzaak van de orthogonaliteit van Dirichlet-coëfficiënten (voorwaarde 1.1) in de specifieke constructie van de gelijktijdige punten wordt omzeild.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Stelling 1.1 (Onvoorwaardelijke Gezamenlijke Extremen op de Kritieke Lijn):

  • Het artikel bewijst dat voor elke $H$ verschillende primitieve $L$-functies uit de klasse $S_0$ (waarin de Riemann-zetafunctie, primitieve Dirichlet-$L$-functies en $GL(2)$-cusp-vormen voorkomen), er een $t \in [T, 2T]$ bestaat zodanig dat:
    $$\max_{t \in [T, 2T]} \min_{h \le H} |L_h(1/2 + it)| \ge \exp\left( \sqrt{\frac{D \log T}{H(H-1) \log \log T}} \right)$$
  • Dit resultaat is onvoorwaardelijk voor elke $H$, waardoor de GRH-aanname die door Heap en Li voor $H > 3$ vereist werd, wordt verwijderd.
  • De constante $D$ is toelaatbaar voor $D < 1/2$ als alle functies Dirichlet-$L$-functies zijn. Voor algemene $GL(2)$-vormen geldt $D < \frac{1/2 - \theta}{3 + \theta}$, waarbij $\theta$ de grens is richting de Ramanujan-hypothese.
  • De grens is iets zwakker dan de voorwaardelijke Heap-Li-grens met een factor $1/\sqrt{H-1}$, maar het is het eerste onvoorwaardelijke resultaat voor willekeurige $H$.

• Stelling 1.2 (Gezamenlijke Extremen Buiten de Kritieke Lijn):

  • Onder de aanname van de Ramanujan-hypothese en specifieke nul-dichtheidsschattingen ($\sum N_{L_h}(\sigma_0, T) = o(T^{1-\alpha})$), stelt het artikel vast dat voor $\sigma \in (\sigma_0, 1)$ er een $t \in [T, 2T]$ bestaat zodanig dat de $L$-functies gelijktijdig grote waarden (of kleine waarden voor de reciproque) kunnen bereiken van de grootte $\exp\left( D (\log T)^{1-\sigma} / \log \log T \right)$.
  • Dit resultaat dekt onvoorwaardelijk $GL(2)$ holomorfe cusp-vormen en verbetert eerdere werken van Mahatab, Pańkowski en Vatwani door ervoor te zorgen dat de waarden optreden op een enkel $t$ in plaats van een verzameling nabijgelegen $t_h$.

• Stelling 1.3 (Niet-gelijktijdige Extremen voor Algemene Klassen):

  • Voor een bredere klasse $S$ van $L$-functies (zonder de Ramanujan-hypothese of polynoom Euler-producten te vereisen), bewijst het artikel het bestaan van $t_1, \dots, t_H$ (waarbij $|t_h - t_g|$ klein is) zodanig dat de $L$-functies grote waarden bereiken.
  • Dit generaliseert resultaten van Inoue en Li en herstelt hun bevindingen voor Dirichlet-$L$-functies onder zwakkere aannames.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt een onvoorwaardelijke verbetering te zijn van het algemene resultaat van Heap en Li met betrekking tot gezamenlijke extreme waarden op de kritieke lijn. Door een variatie van de methode van Heath-Brown voor fractionele momenten in te voeren, slaagt de auteur erin om de noodzaak van de Algemene Riemann-hypothese te omzeilen bij het omgaan met meer dan drie $L$-functies.

De auteur merkt op dat hoewel de ondergrens in Stelling 1.1 iets kleiner is dan de voorwaardelijke grens (vanwege de term $H(H-1)$ in de noemer versus $H$), het verwijderen van de GRH-aanname de primaire prestatie is. Het artikel benadrukt ook dat de beperking op de constante $D$ en de specifieke macht van $H$ in de grens directe gevolgen zijn van de beperkingen in het onvoorwaardelijk controleren van verdraaide fractionele momenten.

Met betrekking tot de resultaten buiten de kritieke lijn claimt het artikel resultaten van Inoue en Li gedeeltelijk te herstellen en over het algemeen het werk van Mahatab et al. te verbeteren door aan te tonen dat gelijktijdige grote waarden kunnen worden gevonden op een enkel punt $t$ onder nul-dichtheidsschattingen, zonder dat de volledige kracht van de GRH vereist is. Het werk wordt gepresenteerd als een rigoureuze uitbreiding van de resonantiemethode naar tuples van $L$-functies, waarmee de kloof wordt overbrugd tussen de theorie van extreme waarden voor een enkele functie en de theorie van gezamenlijke verdeling.