Joint extreme values of $L$-functions on and off the critical line

Resumen Técnico: Valores Extremos Conjuntos de Funciones L en la Línea Crítica y Fuera de ella

Enunciado del Problema
El artículo aborda el problema de establecer la existencia de valores grandes simultáneos (valores extremos) para una tupla de funciones $L$ primitivas distintas. Específicamente, investiga si $H$ funciones $L$ primitivas distintas de las clases $GL(1)$y$GL(2)$ pueden alcanzar simultáneamente magnitudes grandes en el mismo punto $t$ sobre la línea crítica ($\sigma = 1/2$). Trabajos anteriores de Heap y Li establecieron tales resultados para $H=2$ y $H=3$ de manera incondicional, pero para $H > 3$, sus resultados dependían de la asunción de la Hipótesis de Riemann Generalizada (HRG). Además, aunque existían resultados para funciones $L$ fuera de la línea crítica (donde $\sigma > 1/2$), a menudo requerían suposiciones fuertes o producían valores en puntos distintos $t_h$ en lugar de un único $t$ simultáneo. El artículo tiene como objetivo proporcionar resultados incondicionales para valores extremos conjuntos en la línea crítica para cualquier número de funciones $L$ de $GL(1)$y$GL(2)$, y extender estos hallazgos a la región fuera de la línea crítica bajo estimaciones de densidad de ceros.

Metodología
La herramienta analítica principal empleada es el método de resonancia, introducido originalmente por Soundararajan. La estrategia central consiste en construir un polinomio de Dirichlet "resonador" $R(s)$ diseñado para amplificar los valores de las funciones $L$ objetivo.

1. En la Línea Crítica ($\sigma = 1/2$):

   • La prueba se basa en establecer una cota inferior para una integral de momento torcido que involucra el producto de las funciones $L$ y el resonador, y una cota superior para la misma integral torcida por el producto de las funciones $L$ individuales.
   • Una innovación clave es la adaptación del método de Heath-Brown para momentos fraccionarios de la función zeta de Riemann. En lugar de asumir la HRG para controlar los ceros de las funciones $L$, el autor utiliza una variación de la técnica de Heath-Brown para obtener cotas inferiores agudas para momentos fraccionales torcidos.
   • Este enfoque permite al autor evitar asumir información sobre la distribución de ceros de funciones $L$ con grado menor que tres. El método implica dividir el producto de funciones $L$ en una aproximación de polinomio de Dirichlet corto y un término de error, y luego aplicar el teorema de convexidad de Gabriel para controlar la diferencia.
   • La prueba utiliza la desigualdad de Hölder para desacoplar el momento conjunto en momentos individuales, aprovechando cotas superiores agudas conocidas para los segundos momentos de funciones $L$ de $GL(1)$y$GL(2)$.

2. Fuera de la Línea Crítica ($\sigma > 1/2$):

   • La metodología cambia a utilizar estimaciones de densidad de ceros. El autor identifica franjas horizontales "libres de ceros" donde las funciones $L$ no se anulan.
   • Dentro de estas franjas, las funciones $L$ pueden aproximarse mediante polinomios de Dirichlet cortos sin necesidad de la HRG, siempre que las estimaciones de densidad de ceros crezcan lo suficientemente lento (específicamente $o(T^{1-\alpha})$).
   • La prueba emplea un resonador construido por Hilberdink y Voronin.
   • Para el Teorema 1.3, que trata valores no simultáneos ($t_h$ distintos), el artículo utiliza una fórmula de convolución que involucra el núcleo de Fejér y el teorema cuantitativo de Kronecker. Un refinamiento técnico permite aplicar el teorema de Kronecker directamente a conjuntos disjuntos de primos para cada función $L$, evitando así la necesidad de la ortogonalidad de los coeficientes de Dirichlet (condición 1.1) en la construcción específica de los puntos simultáneos.

Contribuciones y Resultados Clave

• Teorema 1.1 (Extremos Conjuntos Incondicionales en la Línea Crítica):

  • El artículo demuestra que para cualquier $H$ funciones $L$ primitivas distintas de la clase $S_0$ (que contiene la función zeta de Riemann, funciones $L$ de Dirichlet primitivas y formas cuspidales de $GL(2)$), existe un $t \in [T, 2T]$ tal que:
    $$\max_{t \in [T, 2T]} \min_{h \le H} |L_h(1/2 + it)| \ge \exp\left( \sqrt{\frac{D \log T}{H(H-1) \log \log T}} \right)$$
  • Este resultado es incondicional para cualquier $H$, eliminando la asunción de HRG requerida por Heap y Li para $H > 3$.
  • La constante $D$ es admisible para $D < 1/2$ si todas las funciones son funciones $L$ de Dirichlet. Para formas generales de $GL(2)$, $D < \frac{1/2 - \theta}{3 + \theta}$, donde $\theta$ es la cota hacia la Hipótesis de Ramanujan.
  • La cota es ligeramente más débil que la cota condicional de Heap-Li por un factor de $1/\sqrt{H-1}$, pero es el primer resultado incondicional para $H$ arbitrario.

• Teorema 1.2 (Extremos Conjuntos Fuera de la Línea Crítica):

  • Bajo la asunción de la Hipótesis de Ramanujan y estimaciones específicas de densidad de ceros ($\sum N_{L_h}(\sigma_0, T) = o(T^{1-\alpha})$), el artículo establece que para $\sigma \in (\sigma_0, 1)$, existe un $t \in [T, 2T]$ tal que las funciones $L$ pueden alcanzar simultáneamente valores grandes (o valores pequeños para el recíproco) de tamaño $\exp\left( D (\log T)^{1-\sigma} / \log \log T \right)$.
  • Este resultado cubre incondicionalmente las formas cuspidales holomorfas de $GL(2)$ y mejora trabajos anteriores de Mahatab, Pańkowski y Vatwani al asegurar que los valores ocurren en un único $t$ en lugar de una colección de $t_h$ cercanos.

• Teorema 1.3 (Extremos No Simultáneos para Clases Generales):

  • Para una clase más amplia $S$ de funciones $L$ (sin requerir la Hipótesis de Ramanujan ni productos de Euler polinómicos), el artículo demuestra la existencia de $t_1, \dots, t_H$ (donde $|t_h - t_g|$ es pequeño) tales que las funciones $L$ alcanzan valores grandes.
  • Esto generaliza resultados de Inoue y Li y recupera sus hallazgos para funciones $L$ de Dirichlet bajo suposiciones más débiles.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma ser una mejora incondicional del resultado general de Heap y Li sobre valores extremos conjuntos en la línea crítica. Al introducir una variación del método de Heath-Brown para momentos fraccionarios, el autor logra eludir la necesidad de la Hipótesis de Riemann Generalizada al tratar con más de tres funciones $L$.

El autor señala que, aunque la cota inferior en el Teorema 1.1 es ligeramente menor que la cota condicional (debido al término $H(H-1)$ en el denominador frente a $H$), la eliminación de la asunción de HRG es el logro principal. El artículo también destaca que la restricción en la constante $D$ y la potencia específica de $H$ en la cota son consecuencias directas de las limitaciones en el control de momentos fraccionales torcidos de manera incondicional.

Con respecto a los resultados fuera de la línea crítica, el artículo afirma recuperar parcialmente resultados de Inoue y Li y mejorar generalmente el trabajo de Mahatab et al. al demostrar que valores grandes simultáneos pueden encontrarse en un único punto $t$ bajo estimaciones de densidad de ceros, sin requerir la fuerza completa de la HRG. El trabajo se presenta como una extensión rigurosa del método de resonancia a tuplas de funciones $L$, cerrando la brecha entre la teoría de valores extremos de funciones individuales y la teoría de distribuciones conjuntas.