Joint extreme values of $L$-functions on and off the critical line

Resumo Técnico: Valores Extremos Conjuntos de Funções L na e Fora da Linha Crítica

Enunciação do Problema
O artigo aborda o problema de estabelecer a existência de valores grandes simultâneos (valores extremos) para uma tupla de funções $L$ primitivas distintas. Especificamente, investiga-se se $H$ funções $L$ primitivas distintas das classes $GL(1)$e$GL(2)$ podem atingir simultaneamente magnitudes grandes no mesmo ponto $t$ na linha crítica ($\sigma = 1/2$). Trabalhos anteriores de Heap e Li estabeleceram tais resultados para $H=2$ e $H=3$ incondicionalmente, mas para $H > 3$, seus resultados dependiam da hipótese de Riemann Generalizada (GRH). Além disso, embora existissem resultados para funções $L$ fora da linha crítica (onde $\sigma > 1/2$), eles frequentemente exigiam suposições fortes ou produziam valores em pontos distintos $t_h$ em vez de um único $t$ simultâneo. O artigo visa fornecer resultados incondicionais para valores extremos conjuntos na linha crítica para qualquer número de funções $L$ de $GL(1)$e$GL(2)$ e estender essas descobertas à região fora da linha crítica sob estimativas de densidade de zeros.

Metodologia
A principal ferramenta analítica empregada é o método de ressonância, originalmente introduzido por Soundararajan. A estratégia central envolve a construção de um polinômio de Dirichlet "ressonador" $R(s)$ projetado para amplificar os valores das funções $L$ alvo.

1. Na Linha Crítica ($\sigma = 1/2$):

   • A prova baseia-se em estabelecer um limite inferior para uma integral de momento torcida envolvendo o produto das funções $L$ e o ressonador, e um limite superior para a mesma integral torcida pelo produto das funções $L$ individuais.
   • Uma inovação chave é a adaptação do método de Heath-Brown para momentos fracionários da função zeta de Riemann. Em vez de assumir a GRH para controlar os zeros das funções $L$, o autor utiliza uma variação da técnica de Heath-Brown para obter limites inferiores agudos para momentos fracionários torcidos.
   • Essa abordagem permite ao autor evitar assumir informações sobre a distribuição de zeros de funções $L$ com grau menor que três. O método envolve dividir o produto da função $L$ em uma aproximação de polinômio de Dirichlet curto e um termo de erro, aplicando então o teorema de convexidade de Gabriel para controlar a diferença.
   • A prova utiliza a desigualdade de Hölder para desacoplar o momento conjunto em momentos individuais, aproveitando limites superiores agudos conhecidos para os segundos momentos de funções $L$ de $GL(1)$e$GL(2)$.

2. Fora da Linha Crítica ($\sigma > 1/2$):

   • A metodologia muda para utilizar estimativas de densidade de zeros. O autor identifica faixas horizontais "livres de zeros" onde as funções $L$ não se anulam.
   • Dentro dessas faixas, as funções $L$ podem ser aproximadas por polinômios de Dirichlet curtos sem a necessidade da GRH, desde que as estimativas de densidade de zeros cresçam suficientemente lentamente (especificamente $o(T^{1-\alpha})$).
   • A prova emprega um ressonador construído por Hilberdink e Voronin.
   • Para o Teorema 1.3, que trata de valores não simultâneos ($t_h$ distintos), o artigo utiliza uma fórmula de convolução envolvendo o núcleo de Fejér e o teorema quantitativo de Kronecker. Um refinamento técnico permite a aplicação do teorema de Kronecker diretamente a conjuntos disjuntos de primos para cada função $L$, contornando assim a necessidade da ortogonalidade dos coeficientes de Dirichlet (condição 1.1) na construção específica dos pontos simultâneos.

Contribuições e Resultados Chave

• Teorema 1.1 (Extremos Conjuntos Incondicionais na Linha Crítica):

  • O artigo prova que para quaisquer $H$ funções $L$ primitivas distintas da classe $S_0$ (contendo a função zeta de Riemann, funções $L$ de Dirichlet primitivas e formas de cuspide $GL(2)$), existe um $t \in [T, 2T]$ tal que:
    $$\max_{t \in [T, 2T]} \min_{h \le H} |L_h(1/2 + it)| \ge \exp\left( \sqrt{\frac{D \log T}{H(H-1) \log \log T}} \right)$$
  • Este resultado é incondicional para qualquer $H$, removendo a suposição de GRH exigida por Heap e Li para $H > 3$.
  • A constante $D$ é admissível para $D < 1/2$ se todas as funções forem funções $L$ de Dirichlet. Para formas gerais $GL(2)$, $D < \frac{1/2 - \theta}{3 + \theta}$, onde $\theta$ é o limite em direção à Hipótese de Ramanujan.
  • O limite é ligeiramente mais fraco que o limite condicional de Heap-Li por um fator de $1/\sqrt{H-1}$, mas é o primeiro resultado incondicional para $H$ arbitrário.

• Teorema 1.2 (Extremos Conjuntos Fora da Linha Crítica):

  • Sob a suposição da Hipótese de Ramanujan e estimativas específicas de densidade de zeros ($\sum N_{L_h}(\sigma_0, T) = o(T^{1-\alpha})$), o artigo estabelece que para $\sigma \in (\sigma_0, 1)$, existe um $t \in [T, 2T]$ tal que as funções $L$ podem atingir simultaneamente valores grandes (ou valores pequenos para o recíproco) de tamanho $\exp\left( D (\log T)^{1-\sigma} / \log \log T \right)$.
  • Este resultado cobre incondicionalmente formas de cuspide holomorfas $GL(2)$ e melhora trabalhos anteriores de Mahatab, Pańkowski e Vatwani, garantindo que os valores ocorram em um único $t$ em vez de uma coleção de $t_h$ próximos.

• Teorema 1.3 (Extremos Não Simultâneos para Classes Gerais):

  • Para uma classe mais ampla $S$ de funções $L$ (sem exigir a Hipótese de Ramanujan ou produtos de Euler polinomiais), o artigo prova a existência de $t_1, \dots, t_H$ (onde $|t_h - t_g|$ é pequeno) tais que as funções $L$ atingem valores grandes.
  • Isso generaliza resultados de Inoue e Li e recupera suas descobertas para funções $L$ de Dirichlet sob suposições mais fracas.

Significado e Alegações
O artigo alega ser uma melhoria incondicional do resultado geral de Heap e Li sobre valores extremos conjuntos na linha crítica. Ao introduzir uma variação do método de Heath-Brown para momentos fracionários, o autor contorna com sucesso a necessidade da Hipótese de Riemann Generalizada ao lidar com mais de três funções $L$.

O autor observa que, embora o limite inferior no Teorema 1.1 seja ligeiramente menor que o limite condicional (devido ao termo $H(H-1)$ no denominador versus $H$), a remoção da suposição de GRH é a principal conquista. O artigo também destaca que a restrição na constante $D$ e a potência específica de $H$ no limite são consequências diretas das limitações no controle dos momentos fracionários torcidos incondicionalmente.

Em relação aos resultados fora da linha crítica, o artigo alega recuperar parcialmente resultados de Inoue e Li e geralmente melhorar o trabalho de Mahatab et al., demonstrando que valores grandes simultâneos podem ser encontrados em um único ponto $t$ sob estimativas de densidade de zeros, sem exigir a força total da GRH. O trabalho é apresentado como uma extensão rigorosa do método de ressonância a tuplas de funções $L$, preenchendo a lacuna entre a teoria de valores extremos de função única e a teoria de distribuição conjunta.