Joint extreme values of $L$-functions on and off the critical line

技術的概要：臨界線上および臨界線外の L 関数の同時極値

問題提起
本論文は、異なる原始 L 関数の組に対する同時的な大値（極値）の存在確立の問題に取り組む。具体的には、$GL(1)$および$GL(2)$のクラスに属する$H$個の異なる原始 L 関数が、臨界線（$\sigma = 1/2$）上の同じ点$t$において同時に大きな絶対値をとり得るかどうかを調査する。Heap と Li による先行研究は、$H=2$および$H=3$の場合に無条件でそのような結果を確立したが、$H > 3$の場合、その結果は一般化されたリーマン予想（GRH）の仮定に依存していた。さらに、臨界線外（$\sigma > 1/2$）の L 関数に関する結果は存在したが、それらはしばしば強い仮定を必要とするか、あるいは単一の同時的な$t$ではなく、異なる点$t_h$における値を導出するものであった。本論文は、任意の数の$GL(1)$および$GL(2)$の L 関数に対する臨界線上の同時極値の無条件な結果を提供し、さらに零点密度評価の下でこれらの知見を臨界線外の領域へ拡張することを目的としている。

手法
用いられる主要な解析的ツールは、Soundararajan によって最初に導入された共振法である。中核的な戦略は、対象となる L 関数の値を増幅するように設計された「共振器」ディリクレ多項式$R(s)$を構成することである。

1. 臨界線上（$\sigma = 1/2$）:

   • 証明は、L 関数の積と共振器を含むねじれたモーメント積分の下限を確立すること、および個々の L 関数の積でねじれた同じ積分の上限を確立することに基づいている。
   • 重要な革新は、リーマンゼータ関数の分数次モーメントに対するHeath-Brown の手法の適用である。L 関数の零点を制御するために GRH を仮定する代わりに、著者は Heath-Brown の手法の変種を用いて、ねじれた分数次モーメントに対する鋭い下限を得る。
   • このアプローチにより、著者は次数が 3 未満の L 関数の零点分布に関する情報を仮定せずに済ませることができる。手法には、L 関数の積を短いディリクレ多項式近似と誤差項に分割し、Gabriel の凸性定理を適用してその差を制御することが含まれる。
   • 証明は、Hölder の不等式を用いて結合モーメントを個々のモーメントに分離し、$GL(1)$および$GL(2)$の L 関数の 2 次モーメントに対する既知の鋭い上限を利用する。

2. 臨界線外（$\sigma > 1/2$）:

   • 手法は零点密度評価の利用へと移行する。著者は、L 関数が消滅しない「零点なし」の水平帯域を特定する。
   • これらの帯域内では、零点密度評価が十分に緩やかに増加する場合（具体的には$o(T^{1-\alpha})$）、GRH を必要とせずに、L 関数を短いディリクレ多項式で近似することができる。
   • 証明には、Hilberdink と Voronin によって構成された共振器が用いられる。
   • 同時的でない値（異なる$t_h$）を扱う定理 1.3 については、Fejér カーネルと定量的 Kronecker 定理を含む畳み込み公式が利用される。技術的な改良により、Kronecker の定理を各 L 関数に対する素数の互いに素な集合に直接適用することが可能となり、それによって同時点の特定の構成においてディリクレ係数の直交性（条件 1.1）を必要としないようにしている。

主要な貢献と結果

• 定理 1.1（臨界線上の無条件な同時極値）:

  • 本論文は、$S_0$クラス（リーマンゼータ関数、原始ディリクレ L 関数、および$GL(2)$の尖点形式を含む）からなる任意の$H$個の異なる原始 L 関数に対して、$t \in [T, 2T]$が存在し、次を満たすことを証明する：
    $$\max_{t \in [T, 2T]} \min_{h \le H} |L_h(1/2 + it)| \ge \exp\left( \sqrt{\frac{D \log T}{H(H-1) \log \log T}} \right)$$
  • この結果は、$H > 3$に対して Heap と Li によって必要とされた GRH の仮定を排除し、任意の$H$に対して無条件である。
  • 定数$D$は、すべての関数がディリクレ L 関数である場合、$D < 1/2$に対して許容される。一般的な$GL(2)$形式の場合、$D < \frac{1/2 - \theta}{3 + \theta}$であり、ここで$\theta$はラマヌジャン予想への上限である。
  • この上限は、Heap-Li の条件付き上限よりも$1/\sqrt{H-1}$の因子分だけわずかに弱いものであるが、任意の$H$に対する最初の無条件な結果である。

• 定理 1.2（臨界線外の同時極値）:

  • ラマヌジャン予想および特定の零点密度評価（$\sum N_{L_h}(\sigma_0, T) = o(T^{1-\alpha})$）を仮定して、$\sigma \in (\sigma_0, 1)$に対して、$t \in [T, 2T]$が存在し、L 関数が同時に大きさ$\exp\left( D (\log T)^{1-\sigma} / \log \log T \right)$の大値（または逆数に対する小値）をとり得ることが確立される。
  • この結果は無条件に$GL(2)$の正則尖点形式を扱い、値が近接する$t_h$の集合ではなく単一の$t$で生じることを保証することで、Mahatab、Pańkowski、および Vatwani による先行研究を改善する。

• 定理 1.3（一般クラスに対する同時的でない極値）:

  • ラマヌジャン予想や多項式オイラー積を必要としない、より広範な L 関数のクラス$S$に対して、$t_1, \dots, t_H$（ここで$|t_h - t_g|$は小さい）が存在し、L 関数が大値をとり得ることが証明される。
  • これは Inoue と Li による結果を一般化し、より弱い仮定の下でディリクレ L 関数に関する彼らの知見を回復する。

意義と主張
本論文は、臨界線上の同時極値に関する Heap と Li の一般結果の無条件な改善であると主張している。分数次モーメントに対する Heath-Brown の手法の変種を導入することにより、著者は 3 つを超える L 関数を扱う際に一般化されたリーマン予想の必要性を回避することに成功した。

著者は、定理 1.1 の下限が分母における$H(H-1)$項と$H$の違いにより、条件付き上限よりもわずかに小さいものの、GRH の仮定を排除することが主要な成果であると指摘している。また、定数$D$の制限と、上限における$H$の特定の冪は、無条件にねじれた分数次モーメントを制御することの限界に直接起因するものであるとも強調している。

臨界線外の結果に関しては、本論文は Inoue と Li の結果を部分的に回復し、零点密度評価の下で GRH の完全な強さを必要とせずに単一の点$t$で同時的な大値が見つかることを示すことで、Mahatab らの作業を一般的に改善すると主張している。この作業は、共振法を L 関数の組へと厳密に拡張するものとして提示され、単一関数の極値理論と結合分布理論の間のギャップを埋めるものである。