Joint extreme values of $L$-functions on and off the critical line

技术摘要：L-函数在临界线上及临界线外的联合极值

问题陈述
本文旨在解决建立一组不同原初 L-函数同时取大值（极值）的存在性问题。具体而言，它研究了来自 $GL(1)$和$GL(2)$类的$H$个不同原初 L-函数是否能在临界线（$\sigma = 1/2$）上的同一点$t$ 处同时达到巨大的模值。Heap 和 Li 先前的工作无条件地建立了 $H=2$ 和 $H=3$ 时的此类结果，但对于 $H > 3$，他们的结果依赖于广义黎曼猜想（GRH）的假设。此外，虽然关于临界线外（$\sigma > 1/2$）L-函数的结果已经存在，但它们通常要求强假设，或者产生于不同的点 $t_h$ 而非单一的同时点 $t$。本文旨在为任意数量的 $GL(1)$和$GL(2)$ L-函数在临界线上的联合极值提供无条件结果，并在零密度估计的条件下将这些发现扩展到临界线外的区域。

方法论
所采用的主要分析工具是 共振法（resonance method），该方法最初由 Soundararajan 引入。核心策略是构造一个“共振器”狄利克雷多项式 $R(s)$，旨在放大目标 L-函数的值。

1. 在临界线上（$\sigma = 1/2$）：

   • 证明依赖于建立涉及 L-函数乘积与共振器的扭曲矩积分的下界，以及同一积分被各个 L-函数乘积扭曲后的上界。
   • 一项关键创新是对黎曼 $\zeta$-函数分数矩的 Heath-Brown 方法 进行了改编。作者利用 Heath-Brown 技术的一个变体来获得扭曲分数矩的精确下界，而不是假设 GRH 来控制 L-函数的零点。
   • 这种方法使作者能够避免假设关于次数小于三的 L-函数零点分布的信息。该方法涉及将 L-函数乘积分解为短狄利克雷多项式近似和一个误差项，然后应用 Gabriel 凸性定理来控制差异。
   • 证明利用赫尔德不等式（Hölder's inequality）将联合矩解耦为单个矩，并利用已知的 $GL(1)$和$GL(2)$ L-函数二阶矩的精确上界。

2. 在临界线外（$\sigma > 1/2$）：

   • 方法论转向利用 零密度估计。作者确定了 L-函数不为零的“无零”水平带。
   • 在这些带内，只要零密度估计增长得足够慢（具体为 $o(T^{1-\alpha})$），L-函数就可以用短狄利克雷多项式近似，而无需 GRH。
   • 证明采用了由 Hilberdink 和 Voronin 构造的共振器。
   • 对于处理非同时值（不同的 $t_h$）的定理 1.3，本文利用涉及 Fejér 核和 定量克罗内克定理（quantitative Kronecker theorem）的卷积公式。一项技术改进使得克罗内克定理可以直接应用于每个 L-函数的不相交素数集，从而在构造同时点的具体过程中绕过了对狄利克雷系数正交性（条件 1.1）的需求。

主要贡献与结果

• 定理 1.1（临界线上无条件的联合极值）：

  • 本文证明了对于来自类 $S_0$（包含黎曼 $\zeta$-函数、原初狄利克雷 L-函数和 $GL(2)$尖点形式）的任意$H$个不同原初 L-函数，存在一个$t \in [T, 2T]$ 使得：
    $$\max_{t \in [T, 2T]} \min_{h \le H} |L_h(1/2 + it)| \ge \exp\left( \sqrt{\frac{D \log T}{H(H-1) \log \log T}} \right)$$
  • 该结果对任意 $H$ 都是 无条件 的，消除了 Heap 和 Li 在 $H > 3$ 时所需的 GRH 假设。
  • 如果所有函数都是狄利克雷 L-函数，常数 $D$ 可取 $D < 1/2$。对于一般的 $GL(2)$形式，$D < \frac{1/2 - \theta}{3 + \theta}$，其中$\theta$ 是朝向拉马努金猜想的界限。
  • 该界限比条件性的 Heap-Li 界限略弱，因子为 $1/\sqrt{H-1}$，但这是针对任意 $H$ 的第一个无条件结果。

• 定理 1.2（临界线外的联合极值）：

  • 在假设拉马努金猜想和特定零密度估计（$\sum N_{L_h}(\sigma_0, T) = o(T^{1-\alpha})$）的情况下，本文确立了对于 $\sigma \in (\sigma_0, 1)$，存在一个 $t \in [T, 2T]$ 使得 L-函数能同时达到大小为 $\exp\left( D (\log T)^{1-\sigma} / \log \log T \right)$ 的大值（或其倒数的小值）。
  • 该结果无条件地涵盖了 $GL(2)$ 全纯尖点形式，并改进了 Mahatab、Pańkowski 和 Vatwani 的先前工作，确保这些值出现在单一 $t$ 处，而非一系列邻近的 $t_h$。

• 定理 1.3（一般类的非同时极值）：

  • 对于更广泛的 L-函数类 $S$（不要求拉马努金猜想或多项式欧拉乘积），本文证明了存在 $t_1, \dots, t_H$（其中 $|t_h - t_g|$ 很小），使得 L-函数达到大值。
  • 这推广了 Inoue 和 Li 的结果，并在更弱的假设下恢复了他们对狄利克雷 L-函数的发现。

意义与主张
本文声称是对 Heap 和 Li 关于临界线上联合极值一般结果的 无条件改进。通过引入 Heath-Brown 分数矩方法的变体，作者成功地在处理超过三个 L-函数时绕过了对广义黎曼猜想的需求。

作者指出，虽然定理 1.1 中的下界略小于条件性界限（由于分母中的 $H(H-1)$ 项而非 $H$），但消除 GRH 假设是主要成就。本文还强调，对常数 $D$ 的限制以及界限中 $H$ 的特定幂次，是无条件控制扭曲分数矩的局限性的直接后果。

关于临界线外的结果，本文声称部分恢复了 Inoue 和 Li 的结果，并总体上改进了 Mahatab 等人的工作，证明了在零密度估计下，可以在单一 $t$ 点找到同时的大值，而无需 GRH 的全部强度。这项工作被呈现为将共振法严谨地扩展到 L-函数元组，填补了单函数极值理论与联合分布理论之间的空白。