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Sets of unit fractions without two members whose average is a unit fraction

이 논문은 모든 충분히 큰 $N$ 에 대하여, 서로 다른 두 역수의 평균이 단위 분수가 되지 않는 $\{1, \dots, N\}$ 의 크기가 $cN$ 보다 큰 부분집합이 존재함을 보이는 상수 $c>0$ 의 존재를 증명함으로써 에르되시(Erdős)와 그레이엄(Graham)이 제기한 질문을 반증하며, 이를 통해 비자명한 3항 등차수열을 갖지 않는 단위 분수 집합에 대한 최선의 알려진 하한을 확립한다.

원저자: Will Sawin

게시일 2026-07-20

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원저자: Will Sawin

원본 논문은 CC0 1.0 (http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/)에 따라 공공 도메인에 제공됩니다. ✨ 이것은 아래 논문에 대한 AI 생성 설명입니다. 저자가 작성하거나 승인한 것이 아닙니다. 기술적 정확성을 위해서는 원본 논문을 참조하세요. 전체 면책 조항 읽기

모든 숫자가 분수로 이루어진 세상을 상상해 보십시오. 하지만 여기에는 매우 엄격한 규칙이 있습니다. 모든 조각은 반드시 '단위 분수'여야 한다는 것입니다. 즉, 분자가 항상 1이어야 합니다 (예: 1/2, 1/3, 1/100). 수학자들은 수십 년 동안 이 숫자들을 가지고 연구하며, "우리가 이 숫자들을 얼마나 많이 늘어놓아야 우연히 어떤 패턴을 만들게 될까?"와 같은 질문을 던져왔습니다. 그들이 찾는 유명한 패턴 중 하나는 등차수열입니다. 즉, 1/2, 1/3, 1/6처럼 세 숫자가 일정한 간격으로 놓여 있는 경우를 말합니다 (1/3은 1/2과 1/6의 정확히 중간이기 때문입니다).

이 논문이 다루는 구체적인 퍼즐은 '평균 금지' 게임과 비슷합니다. 만약 당신이 서로 다른 두 개의 단위 분수, 예를 들어 1/a와 1/b를 선택하고 그들의 평균(그 둘의 정중앙에 있는 수)을 계산한다면, 이 게임은 다음과 같이 묻습니다. "우리는 그 평균값이 또한 단위 분수가 되지 않도록 하는 거대한 단위 분수 집합을 만들 수 있을까?" 오랫동안 두 전설적인 수학자 에르되시(Erdős)와 그레이엄(Graham)은 이러한 집합이 정말로 거대해질 수 있는지 궁금해했습니다. 그들은 만약 이 집합을 충분히 크게 만들려고 시도한다면, 결국 평균이 단위 분수인 한 쌍을 포함하게 될 것이라고 생각했습니다. 다시 말해, 그들은 '평균 금지' 규칙이 집합을 전체 가용 분수들에 비해 아주 작게 만들 것이라고 믿었습니다.

윌 새윈(Will Sawin)이 쓴 이 논문은 이 영역에 발을 들여놓으며 놀라운 반전을 선사합니다. 저자는 에르데시와 그레이엄이 틀렸음을 증명합니다. 우리는 단위 분수들의 거대한 집합을 구축할 수 있으며, 이 집합은 놀라울 정도로 커서 특정 지점까지의 모든 가용 숫자 중 일정한 비율을 차지할 수 있습니다. 이 과정에서 결코 두 수의 평균이 단위 분수가 되는 일이 발생하지 않습니다. 저자는 단순히 추측하는 것에 그치지 않고, 엄밀한 수학적 구성을 제시합니다. 즉, 이 거대한 집합을 만들기 위한 구체적인 레시피를 제공하고, 이것이 충분히 큰 임의의 수에 대해 작동함을 증명합니다. 비록 저자가 자신의 레시피가 절대적으로 가장 효율적인 것은 아니라고 인정하지만, 이는 해당 집합이 작아야만 한다는 기존의 믿음을 깨뜨리기에는 충분합니다.

위대한 "평균 금지" 강탈 사건

1부터 아주 큰 수 $N$ 까지의 숫자들을 거대한 군중이라고 생각해 보십시오. 각 사람은 자신의 번호가 적힌 표지판을 들고 있습니다. 만약 당신이 사람 $a$ 와 사람 $b$ 를 뽑는다면, 그들은 단위 분수 1/a와 1/b를 나타냅니다. 이들의 '평균'은 특별한 숫자입니다. 만약 그 평균이 단위 분수(예: 1/c)가 된다면, $a$ 와 $b$ 는 우리만의 특별한 클럽에 함께 들어오는 것이 '금지'됩니다. 목표는 서로 금지된 관계가 없는 가장 큰 클럽을 만드는 것입니다.

오랫동안 수학계는 이 클럽이 매우 작아야 할 것이라고 생각했습니다. 군중이 커짐에 따라 규칙이 너무 엄격해져서, 아주 미미한 비율의 사람들만을 남겨두게 될 것이라고 믿었습니다. 하지만 윌 새윈은 "그렇지 않습니다!"라고 말합니다. 그는 우리가 군중의 거대한 덩어리, 즉 전체 인원의 고정된 비율 이상을 유지할 수 있음을 보여줍니다. 아무리 군중이 커지더라도 말입니다.

마술의 원리

이 강탈을 성공시키기 위해, 저자는 군중에서 무작위로 사람을 뽑지 않습니다. 그는 독점 클럽의 문지기 역할을 하는 매우 구체적인 필터, 즉 일련의 규칙을 사용합니다.

첫째, 문지기는 "너무 작은 소인수(prime factors)를 가진" 사람들을 쫓아냅니다. 소수를 모든 숫자의 기본 벽돌(예: 2, 3, 5, 7)이라고 상상해 보십시오. 문지기는 이렇게 말합니다. "당신의 숫자가 2나 3 같은 작은 벽돌들로 만들어졌다면, 들어올 수 없습니다." 이 단계는 많은 군중을 제거하지만, 더 크고 복잡한 벽돌들로 만들어진 건강한 숫자의 사람들을 남겨둡니다.

둘째, 문지기는 숫자의 "복잡성"을 확인합니다. 그는 숫자가 가진 소인수의 개수를 셉니다 (중복을 포함하여, 예: $12 = 2 \times 2 \times 3$ 은 세 개의 인수를 가집니다). 규칙은 숫자의 크기에 비해 너무 많은 인수를 가져서는 안 된다는 것입니다. 이는 마치 "당신이 중간 크기의 숫자라면, 터무니없이 많은 양의 벽돌 더미로 만들어져서는 안 된다"라고 말하는 것과 같습니다.

이 논문의 천재성은 이 필터링된 그룹을 고수할 경우, "나쁜 쌍"(그 평균이 단위 분수인 쌍)이 믿을 수 없을 정도로 희귀해진다는 것을 증명하는 데 있습니다. 저자는 변수 변환이라는 영리한 수학적 기법을 사용합니다. 즉, 패턴을 더 쉽게 보기 위해 숫자의 이름을 바꾸는 것입니다. 이를 통해 이 그룹 내의 어떤 단일 인원이라도 가질 수 있는 '나쁜 쌍'의 평균적인 수가 매우 낮다는 것을 보여줍니다.

실제로 수학적 결과에 따르면, 이 필터링된 그룹의 대다수에게는 그들과 짝을 이룰 수 없는 파트너가 거의 존재하지 않습니다. 이러한 상호작용을 주의 깊게 계산함으로써, 저자는 금지된 파트너를 가진 소수의 사람들을 제외하더라도 남은 그룹이 여전히 거대하다는 것을 증명합니다. 이 그룹은 전체 군중의 고정된 비율보다 여전히 큽니다.

이것이 중요한 이유

이 결과는 오랫동안 열려 있던 질문에 답을 내놓았다는 점에서 매우 중요합니다. 이는 단위 분수의 세계가 우리가 생각했던 것보다 훨씬 더 유연하다는 것을 알려줍니다. 당신은 특정한 산술적 함정을 피하면서도 거대하고 구조적인 집합을 구축할 수 있습니다.

나아가, 이 발견은 부수적인 효과를 가집니다. 만약 두 수의 평균이 단위 분수가 되지 않는 단위 분수 집합을 가지고 있다면, 당신은 자동으로 "3개 항의 등차수열"(세 숫자가 일정한 간격으로 놓이는 경우)이 없는 집합을 갖게 됩니다. 이는 그러한 집합이 얼마나 커질 수 있는지에 대한 이전의 기록들을 경신합니다.

저자는 자신의 구성 방식이 작동하고 집합이 커질 수 있음을 증명하지만, 이것이 가능한 '가장 큰' 집합은 아닐 수도 있다고 신중하게 언급합니다. 더 나은, 더 복잡한 레시피가 어딘가에 기다리고 있을지도 모릅니다. 하지만 현재로서는, 이 증명이 질문에 대한 결정적인 답변입니다. 즉, 그 집합은 반드시 작아야만 하는 것이 아닙니다. 그것은 전체 숫자 선의 상당한 조각만큼이나 커질 수 있습니다. "평균 금지" 클럽은 영업 중이며, 그 회원 수는 놀라울 정도로 많습니다.

기술 요약: 두 원소의 평균이 단위 분수가 되지 않는 단위 분수 집합

문제 정의
본 논문은 특정 약수 조건을 만족하는 부분집합 $A \subseteq \{1, \dots, N\}$ 의 최대 크기에 관한 에르되시(Erdős)와 그레이엄(Graham)의 질문을 다룹니다. 해당 조건은 임의의 서로 다른 $a, b \in A$ 에 대하여, $a+b$ 가 $2ab $를 나누지 않는 것입니다. 단위 분수의 맥락에서 이는 임의의 서로 다른 두 단위 분수$ 1/a $와$ 1/b $의 평균이 다시 단위 분수가 되지 않는 것과 동치입니다. 에르되시와 그레이엄은 이러한 집합$ A $의 크기가 반드시$ o(N) $이어야 하는지(즉, 이러한 집합의 밀도가$ N \to \infty$일 때 0으로 수렴해야 하는지)를 물었습니다.

또한, 본 논문은 이 문제가 최근 코스키(Korsky)에 의해 제기된, 비자명한 3-항 산술 급수(three-term arithmetic progressions)를 포함하지 않는 거대한 단위 분수 집합의 존재 문제와 밀접하게 연관되어 있음을 언급합니다.

방법론 및 구성
저자는 $o(N)$ 추측을 위반하는 부분집합 $A_N \subseteq \{1, \dots, N\}$ 를 구성함으로써, 에르되시-그레이엄 질문에 대한 부정적인 답변을 제공합니다. 이 구성은 $n$ 의 총 소인수의 개수(중복도 포함)를 세는 함수인 $\Omega(n)$ 에 기반합니다.

집합 $A_N$ 은 $a \in \{1, \dots, N\}$ 중, $a \neq b$ 이고 $\Omega(b) \le \Omega(a)$ 인 모든 $b \in \{1, \dots, N\}$ 에 대하여 $a+b \nmid 2ab$ 를 만족하는 정수 $a$ 들의 집합으로 정의됩니다.

증명 전략은 다음 단계들을 포함합니다:

약수로의 환원: 변수 변환 $u = a/\gcd(a,b)$ 및 $v = b/\gcd(a,b)$ 를 사용하여, $a+b \mid 2ab$ 라는 조건이 서로 소인 정수 $u, v$ 가 존재하여 $u(u+v) \mid 2a$ 이고 $b = av/u$를 만족하는 것과 동치임을 보입니다.
"좋은" 집합 $S$ 로의 제한: 거대한 부분집합의 존재를 보장하기 위해, 저자는 다음 세 가지 조건을 만족하는 정수 $a$ $a$ 의 집합 $S$ $S$ 에 주목합니다:
- $a$ 는 작은 소인수를 갖지 않습니다 (구체적으로, 큰 매개변수 $L$ 보다 작은 소인수를 갖지 않음).
- $a$ 는 4로 나누어지지 않습니다.
- $x$ 까지의 $a$ 의 소인수 개수인 $\Omega(a, x)$ 가 임의의 $x$ 에 대해 기대 평균값인 $(1+\epsilon)\log \log x$ 를 크게 초과하지 않습니다.
계수 및 평균화: 핵심 논거는 $S$ $S$ 내의 "나쁜" 원소들(즉, $\Omega(b) \le \Omega(a)$ $Ω (b) \leq Ω (a)$ 인 $b \in \{1, \dots, N\}$ $b \in {1, \dots, N}$ 가 존재하여 $a+b \mid 2ab$ $a + b ∣ 2 ab$ 를 만족하는 $a \in S$ $a \in S$ )이 $S$ $S$ 에서 차지하는 비율이 매우 작음을 보이는 것입니다.
- 저자는 $a \in S$ 에 대하여 $u(u+v)$ 가 $2a$ 를 나누는 쌍 $(u, v)$ 의 개수를 제한합니다.
- 이는 dyadic interval 상에서의 곱셈적 함수의 합을 추정하는 것을 포함합니다. 저자는 $a \in S$ 에 대한 그러한 쌍들의 평균 개수를 제한하기 위해, 비음수 곱셈적 함수의 합에 관한 드 라 브레테슈(de la Bretèche)와 테넨바움(Tenenbaum)의 결과를 활용합니다.
핵심 해석적 통찰: $\Omega(b) \le \Omega(a)$ 조건(변수 변환 시 $\Omega(v) \le \Omega(u)$ 로 변환됨)이 결정적입니다. 이 제한이 없다면, 쌍의 평균 개수는 호올리(Hooley)의 $\Delta$ 함수와 유사하게 $\log \log N$ 의 거듭제곱 형태로 증가할 것입니다. 그러나 이 제한과 작은 소인수의 제외 덕분에, 주어진 $a$ 에 대한 쌍의 평균 개수는 유계(bounded)가 되며, 이를 통해 "나쁜" 집합이 $S$ 의 작은 분율임을 보일 수 있습니다.

주요 결과

정리 1: 충분히 큰 모든 $N$ 에 대하여, 위에서 정의된 집합 $A_N$ 의 크기는 $|A_N| > cN$ 을 만족하는 상수 $c > 0$ 가 존재한다.
$A_N$ 의 성질: 서로 다른 $a, b \in A_N$ 에 대하여, $a+b \nmid 2ab$ 이다.
단위 분수에 대한 함의: 집합 $\{1/a : a \in A_N\}$ 은 선형 밀도($> cN$)를 가지며, 임의의 서로 다른 두 원소의 평균이 단위 분수가 되지 않는 단위 분수 집합이다.
산술 급수에 대한 함의: 결과적으로, 이 집합은 단위 분수의 비자명한 3-항 산술 급수를 포함하지 않는다.

의의 및 주장
본 논문은 에르되시와 그레이엄의 질문에 대해 부정적인 답변을 제공한다고 명시적으로 주장하며, 특정 성질을 가진 단위 분수 집합이 $o(N)$ 이어야 한다는 추측과 달리 양의 하한 밀도를 가질 수 있음을 입증합니다.

저자는 이 구성이 선형 하한을 제공하지만, 상수 $c$ 가 최적화된 것은 아니라고 언급합니다. 저자는 최적의 하한이 여기서 사용된 것보다 더 복잡한 조건으로부터 나올 가능성이 높다고 제안합니다. 또한 이 작업은 단위 분수의 3-항 산술 급수에 관한 코스키의 구성을 개선합니다.

저자는 본 증명 전략이 작은 $N$ 에 대한 스타인(Stijn) 캄비(Cambie)의 계산에서 영감을 얻었으며, 패턴 인식, 참조 검색 및 교정 작업을 위해 AI 도구(ChatGPT)를 활용했음을 밝힙니다. 다만, 엄밀한 수학적 논증과 $\Omega(b) \le \Omega(a)$ 조건에 대한 전략의 구체적인 적용은 저자의 기여입니다. 이 방법은 $a+b \nmid ab$ (합이 단위 분수가 아님)인 관련 문제에 대해서도 하한을 제공하지만, 홀수 집합이 제공하는 자명한 하한보다는 약한 결과를 냅니다.

위대한 "평균 금지" 강탈 사건

마술의 원리

이것이 중요한 이유

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