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Sets of unit fractions without two members whose average is a unit fraction

Cet article infirme une question posée par Erdős et Graham en prouvant l'existence d'une constante $c>0$ telle que pour tout $N$ suffisamment grand, il existe un sous-ensemble de $\{1,\dots,N\}$ de taille supérieure à $cN$ dont la moyenne de deux réciproques distinctes n'est pas une fraction unitaire, établissant ainsi les meilleures bornes inférieures connues pour les ensembles de fractions unitaires sans progressions arithmétiques de trois termes non triviales.

Auteurs originaux : Will Sawin

Publié 2026-07-20

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Auteurs originaux : Will Sawin

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Imaginez un monde entièrement composé de fractions. Mais avec une règle très stricte : chaque morceau doit être une « fraction unitaire ». Cela signifie que le chiffre du haut est toujours 1, comme 1/2, 1/3 ou 1/100. Des mathématiciens ont passé des décennies à jouer avec ces nombres, en posant des questions telles que : « Combien de ces fractions pouvons-nous aligner avant de créer accidentellement une suite ? » Une structure célèbre qu'ils recherchent est une progression arithmétique, où trois nombres sont espacés de manière régulière, comme 1/2, 1/3 et 1/6 (puisque 1/3 est exactement à mi-chemin entre 1/2 et 1/6).

Le casse-tête spécifique que traite cet article est un peu comme un jeu de « pas de moyenne ». Si vous choisissez deux fractions unitaires différentes, disons 1/a et 1/b, et que vous calculez leur moyenne (le nombre situé exactement au milieu d'elles), le jeu demande : Pouvons-nous construire une vaste collection de ces fractions où aucune des paires n'a une moyenne qui soit également une fraction unitaire ? Pendant longtemps, deux mathématiciens légendaires, Erdős et Graham, se sont demandé si une telle collection pouvait être véritablement massive. Ils soupçonnaient que si vous essayiez de rendre la collection assez grande, vous seriez inévitablement forcé d'inclure une paire dont la moyenne est une fraction unitaire. En d'autres termes, ils pensaient que la règle du « pas de moyenne » forcerait la collection à être minuscule par rapport au nombre total de fractions disponibles.

Cet article, écrit par Will Sawin, entre dans cette arène et apporte un rebondissement surprenant. L'auteur prouve qu'Erdős et Graham avaient tort. Il est possible de construire une collection de fractions unitaires qui est étonnamment grande — si grande qu'elle contient un pourcentage constant de tous les nombres disponibles jusqu'à un certain point — sans jamais créer accidentellement une paire dont la moyenne est une fraction unitaire. L'article ne se contente pas de deviner ; il fournit une construction mathématique rigoureuse, une recette spécifique pour construire ce grand ensemble, et prouve qu'elle fonctionne pour tout nombre suffisamment grand. Bien que l'auteur admette que la recette n'est pas la plus efficace possible, elle est suffisante pour briser la vieille croyance selon laquelle un tel ensemble devrait être petit.

Le grand braquage du « Pas de Moyenne »

Imaginez les nombres de 1 à un nombre énorme $N$ comme une foule immense de personnes. Chaque personne tient une pancarte avec un nombre dessus. Si vous choisissez deux personnes, disons la Personne $a$ et la Personne $b$ , elles représentent les fractions unitaires $1/a$ et $1/b$ . La « moyenne » de leurs fractions est un nombre spécial. Si cette moyenne s'avère être une fraction unitaire (comme $1/c$ ), alors $a$ et $b$ sont « bannis » de notre club spécial. Le but est de former le plus grand club possible où aucune paire de membres n'est bannie.

Pendant longtemps, la communauté mathématique a pensé que ce club devrait être minuscule. Elle croyait qu'à mesure que la foule grandirait, les règles deviendraient si strictes que vous ne pourriez garder qu'un pourcentage infime de personnes. Mais Will Sawin dit : « Pas si vite ! » Il montre que vous pouvez en réalité garder une part massive de la foule — spécifiquement, plus d'une fraction constante $c$ de tout le monde, peu importe la taille de la foule.

Comment fonctionne le tour de magie

Pour réussir ce braquage, l'auteur ne choisit pas des personnes au hasard dans la foule. Il utilise un filtre très spécifique, un ensemble de règles qui agit comme un videur à l'entrée d'un club exclusif.

D'abord, le videur expulse toute personne possédant « trop de petits facteurs premiers ». Imaginez les nombres premiers comme les briques de base de tous les nombres (comme 2, 3, 5, 7). Le videur dit : « Si votre nombre est construit avec de petites briques comme 2 ou 3, vous ne pouvez pas entrer. » Cela élimine une grande partie de la foule, mais laisse un nombre substantiel de personnes construites avec des briques plus grandes et plus complexes.

Ensuite, le videur vérifie la « complexité » des nombres. Il compte combien de facteurs premiers un nombre possède (en comptant les répétitions, donc $12 = 2 \times 2 \times 3$ possède trois facteurs). La règle est que vous ne pouvez pas avoir trop de facteurs par rapport à ce qui est statistiquement attendu pour un nombre de votre taille. C'est comme dire : « Si vous êtes un nombre de taille moyenne, vous ne pouvez pas être constitué d'un tas de briques absurdement grand. »

Le génie de l'article réside dans la preuve que si vous respectez ce groupe filtré, les « mauvaises paires » (celles dont la moyenne est une fraction unitaire) deviennent incroyablement rares. L'auteur utilise une astuce mathématique habile impliquant un changement de variables — essentiellement renommer les nombres pour rendre le motif plus facile à voir — pour montrer que le nombre moyen de « mauvaises paires » pour n'importe quelle personne de ce groupe est très bas.

En fait, les mathématiques montrent que pour la grande majorité des personnes de ce groupe filtré, il y a presque aucun partenaire avec lequel elles ne peuvent pas être associées. En comptant soigneusement ces interactions, l'auteur prouve que même après avoir retiré les quelques personnes qui possèdent un partenaire interdit, le groupe restant est toujours immense. Il est toujours plus grand qu'une fraction constante de la foule totale.

Pourquoi cela importe

Ce résultat est important car il répond à une question qui était restée ouverte pendant longtemps. Il nous dit que l'univers des fractions unitaires est plus flexible que nous ne le pensions. On peut construire un ensemble massif et structuré qui évite ce piège arithmétique spécifique.

De plus, cette découverte a un effet secondaire. Si vous avez un ensemble de fractions unitaires où aucune paire n'a une moyenne qui est une fraction unitaire, vous avez automatiquement un ensemble sans « progressions arithmétiques de trois termes » (pas de trois nombres équidistants). Cela améliore les records précédents sur la taille de tels ensembles.

L'auteur note avec prudence que bien que cette construction fonctionne et prouve que l'ensemble peut être grand, elle n'est peut-être pas la recette la plus grande possible. Il pourrait exister une recette encore meilleure et plus complexe en attente d'être découverte. Mais pour l'instant, cette preuve est la réponse définitive à la question : Non, l'ensemble n'a pas besoin d'être petit. Il peut être aussi vaste qu'une tranche significative de toute la droite numérique. Le club du « pas de moyenne » est ouvert pour les affaires, et son adhésion est étonnamment nombreuse.

Résumé technique : Ensembles de fractions unitaires sans deux membres dont la moyenne est une fraction unitaire

Énoncé du problème
L'article traite d'une question posée par Erdős et Graham concernant la taille maximale d'un sous-ensemble $A \subseteq \{1, \dots, N\}$ satisfaisant une condition de divisibilité spécifique. La condition est que pour tout $a, b \in A$ distincts, la somme $a+b$ ne divise pas $2ab$. Dans le contexte des fractions unitaires, cela équivaut à dire que la moyenne de deux fractions unitaires $1/a$ et $1/b$ distinctes n'est pas elle-même une fraction unitaire. Erdős et Graham se demandaient si un tel ensemble $A$ doit nécessairement être de taille $o(N)$ (c'est-à-dire si la densité de tels ensembles doit tendre vers zéro quand $N \to \infty$ ).

De plus, l'article note que ce problème est étroitement lié à l'existence de grands ensembles de fractions unitaires sans progressions arithmétiques de trois termes non triviales, une question récemment soulevée par Korsky.

Méthodologie et construction
L'auteur construit un sous-ensemble $A_N \subseteq \{1, \dots, N\}$ qui contredit la conjecture $o(N)$ , fournissant ainsi une réponse négative à la question d'Erdős-Graham. La construction repose sur la fonction $\Omega(n)$ , qui compte le nombre total de facteurs premiers de $n$ avec multiplicité.

L'ensemble $A_N$ est défini comme l'ensemble des entiers $a \in \{1, \dots, N\}$ tels que pour tout $b \in \{1, \dots, N\}$ avec $a \neq b$ et $\Omega(b) \le \Omega(a)$ , la condition $a+b \nmid 2ab$ est respectée.

La stratégie de preuve comprend les étapes suivantes :

Réduction à la divisibilité : En utilisant un changement de variables $u = a/\gcd(a,b)$ et $v = b/\gcd(a,b)$ , la condition $a+b \mid 2ab$ est montrée comme étant équivalente à l'existence d'entiers premiers entre eux $u, v$ tels que $u(u+v) \mid 2a$ et $b = av/u$.
Restriction à un ensemble « bon » $S$ : Pour garantir l'existence d'un grand sous-ensemble, l'auteur restreint l'attention à un ensemble $S$ $S$ d'entiers $a$ $a$ qui satisfont trois conditions :
- $a$ n'a pas de petits facteurs premiers (spécifiquement, aucun facteur premier inférieur à un grand paramètre $L$ ).
- $a$ n'est pas divisible par 4.
- Le nombre de facteurs premiers de $a$ jusqu'à $x$ , noté $\Omega(a, x)$ , n'excède pas de manière significative la moyenne attendue $(1+\epsilon)\log \log x$ pour tout $x$ .
Comptage et moyennage : Le cœur de l'argument consiste à montrer que les éléments « mauvais » de $S$ $S$ (ceux $a \in S$ $a \in S$ pour lesquels il existe un $b$ $b$ avec $\Omega(b) \le \Omega(a)$ $Ω (b) \leq Ω (a)$ tel que $a+b \mid 2ab$ $a + b ∣ 2 ab$ ) constituent une faible proportion de $S$ $S$ .
- L'auteur borne le nombre de paires $(u, v)$ telles que $u(u+v)$ divise $2a$ pour $a \in S$ .
- Cela implique l'estimation de sommes de fonctions multiplicatives sur des intervalles dyadiques. L'auteur utilise un résultat de de la Bretèche et Tenenbaum concernant les sommes de fonctions multiplicatives non négatives pour borner le nombre moyen de telles paires.
Intuition analytique clé : La condition $\Omega(b) \le \Omega(a)$ (qui se traduit par $\Omega(v) \le \Omega(u)$ dans le changement de variables) est cruciale. Sans cette restriction, le nombre moyen de paires croîtrait comme une puissance de $\log \log N$ (similairement à la fonction $\Delta$ de Hooley). Cependant, avec cette restriction et l'exclusion des petits facteurs premiers, le nombre moyen de paires pour un $a$ donné est borné, permettant de démontrer que l'ensemble des éléments « mauvais » est une faible fraction de $S$ .

Résultats clés

Théorème 1 : Il existe une constante $c > 0$ telle que pour tout $N$ suffisamment grand, l'ensemble $A_N$ défini ci-dessus a pour taille $|A_N| > cN$ .
Propriété de $A_N$ : Pour tout $a, b \in A_N$ distincts, $a+b \nmid 2ab$ .
Implication pour les fractions unitaires : L'ensemble $\{1/a : a \in A_N\}$ est un ensemble de fractions unitaires de densité linéaire ($> cN$) tel qu'aucune paire de membres distincts n'a une moyenne qui soit une fraction unitaire.
Implication pour les progressions arithmétiques : Par conséquent, cet ensemble ne contient aucune progression arithmétique de trois termes non triviale de fractions unitaires.

Signification et affirmations
L'article affirme explicitement fournir une réponse négative à la question d'Erdős et Graham, démontant le fait que les ensembles de fractions unitaires possédant la propriété spécifiée doivent être $o(N)$ .

L'auteur note que bien que la construction fournisse une borne inférieure linéaire, la constante $c$ n'est pas optimisée. L'article suggère que la borne inférieure optimale provient probablement d'une condition plus complexe que celle utilisée ici. Le travail améliore également une construction de Korsky concernant les progressions arithmétiques de trois termes dans les fractions unitaires.

L'auteur reconnaît que la stratégie de preuve a été inspirée par un calcul de Stijn Cambie pour de petites valeurs de $N$ et a utilisé des outils d'IA (ChatGPT) pour la reconnaissance de formes, la recherche de références et la relecture, tandis que les arguments mathématiques rigoureux et l'adaptation spécifique de la stratégie à la condition $\Omega(b) \le \Omega(a)$ sont la contribution de l'auteur. La méthode fournit également une borne inférieure pour le problème connexe des ensembles où $a+b \nmid ab$ (les sommes ne sont pas des fractions unitaires), bien que cette borne soit plus faible que la borne triviale fournie par l'ensemble des nombres impairs.

Le grand braquage du « Pas de Moyenne »

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