🔢 mathematics

Sets of unit fractions without two members whose average is a unit fraction

Dit artikel weerlegt een door Erdős en Graham gestelde vraag door het bestaan aan te tonen van een constante $c>0$ waarvoor er voor alle voldoende grote $N$ een deelverzameling van $\{1,\dots,N\}$ bestaat met een grootte groter dan $cN$ , waarbij het gemiddelde van twee verschillende reciproke waarden geen eenheidstaal is, waarmee daarmee de best bekende ondergrenzen worden vastgesteld voor verzamelingen van eenheidstaal zonder niet-triviale drie-term rekenkundige progressies.

Oorspronkelijke auteurs: Will Sawin

Gepubliceerd 2026-07-20

📖 6 min leestijd🧠 Diepgaand

CC0 1.0

Oorspronkelijke auteurs: Will Sawin

Oorspronkelijk artikel vrijgegeven aan het publieke domein onder CC0 1.0 (http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Stel je een wereld voor die volledig uit breuken bestaat, maar met een zeer strikte regel: elk deelstuk moet een "eenheidsfractie" zijn. Dat betekent dat de bovenkant altijd 1 is, zoals 1/2, 1/3 of 1/100. Wiskundigen besteden al decennia aan het spelen met deze getallen en stellen vragen als: "Hoeveel van deze kunnen we op een rij zetten voordat we per ongeluk een patroon creëren?" Een beroemd patroon waar ze naar zoeken, is een rekenkundige progressie, waarbij drie getallen gelijkmatig verdeeld liggen, zoals 1/2, 1/3 en 1/6 (omdat 1/3 precies halverwege 1/2 en 1/6 ligt).

De specifieke puzzel die dit artikel aanpakt, is een beetje als een spel van "geen gemiddelden". Als je twee verschillende eenheidsfracties kiest, zeg 1/a en 1/b, en je berekent hun gemiddelde (het getal dat precies in het midden van hen ligt), vraagt het spel: Kunnen we een enorme collectie van deze fracties bouwen waarbij geen enkele van de paren een gemiddelde heeft dat ook een eenheidsfractie is? Een tijdlang vroegen twee legendarische wiskundigen, Erdős en Graham, zich af of zo'n collectie echt enorm kon zijn. Ze vermoedden dat als je de collectie groot genoeg zou maken, je onvermijdelijk gedwongen zou worden om een paar op te nemen waarvan het gemiddelde een eenheidsfractie is. Met andere woorden, ze dachten dat de "geen-gemiddelde"-regel de collectie klein zou dwingen in vergelijking met het totaal aantal beschikbare fracties.

Dit artikel, geschreven door Will Sawin, stapt dit toneel op en levert een verrassende wending. De auteur bewijst dat Erdős en Graham ongelijk hadden. Het is mogelijk om een collectie eenheidsfracties te bouwen die verrassend groot is—zo groot zelfs dat het een constant percentage van alle beschikbare getallen tot een bepaald punt bevat—zonder ooit per ongeluk een paar te creëren waarvan het gemiddelde een eenheidsfractie is. Het artikel gokt niet alleen; het biedt een rigoureuze wiskundige constructie, een specifiek recept voor het bouwen van deze enorme verzameling, en bewijst dat het werkt voor elk voldoende groot getal. Hoewel de auteur toegeeft dat het recept niet het absoluut meest efficiënte is dat mogelijk is, is het genoeg om de oude overtuiging te verbrijzelen dat een dergelijke verzameling klein moet zijn.

De Grote "Geen-Gemiddelde" Roofoverval

Denk aan de getallen van 1 tot een enorm getal $N$ als een enorme menigte mensen. Elke persoon houdt een bordje vast met een getal erop. Als je twee mensen kiest, zeg Persoon $a$ en Persoon $b$ , vertegenwoordigen zij de eenheidsfracties $1/a$ en $1/b$ . Het "gemiddelde" van hun fracties is een speciaal getal. Als dat gemiddelde een eenheidsfractie blijkt te zijn (zoals $1/c$ ), dan zijn $a$ en $b$ "verboden" om samen in onze speciale club te zitten. Het doel is om de grootste mogelijke club te vormen waar geen twee leden verboden zijn.

Een lange tijd dacht de wiskundige gemeenschap dat deze club klein zou moeten zijn. Ze geloofden dat naarmate de menigte groeide, de regels zo streng zouden worden dat je slechts een verwaarloosbaar klein percentage van de mensen kon houden. Maar Will Sawin zegt: "Wacht eens even!" Hij laat zien dat je eigenlijk een enorm deel van de menigte kunt behouden—specifiek, meer dan een vast percentage $c$ van iedereen, ongeacht hoe groot de menigte ook wordt.

Hoe de Goocheltruc Werkt

Om deze roofoverval te volbrengen, pakt de auteur niet zomaar willekeurige mensen uit de menigte. Hij gebruikt een zeer specifieke filter, een set regels die werkt als een uitsmijter bij een exclusieve club.

Eerst zet de uitsmijter iedereen eruit met "te veel kleine priemfactoren". Stel je voor dat priemgetallen de basisbouwstenen van alle getallen zijn (zoals 2, 3, 5, 7). De uitsmijter zegt: "Als jouw getal is gebouwd van kleine bakstenen zoals 2 of 3, mag je niet binnenkomen." Dit verwijdert een groot deel van de menigte, maar laat een gezond aantal mensen over die gemaakt zijn van grotere, complexere bakstenen.

Ten tweede controleert de uitsmijter de "complexiteit" van de getallen. Hij telt hoeveel priemfactoren een getal heeft (waarbij herhalingen worden meegeteld, dus $12 = 2 \times 2 \times 3$ heeft drie factoren). De regel is dat je niet te veel factoren mag hebben vergeleken met wat statistisch verwacht wordt voor een getal van jouw omvang. Het is alsof je zegt: "Als je een middelgroot getal bent, kun je niet gemaakt zijn van een absurd grote stapel bakstenen."

Het genie van het artikel ligt in het bewijs dat als je je aan deze gefilterde groep houdt, de "slechte paren" (de paren waarvan het gemiddelde een eenheidsfractie is) ongelooflijk zeldzaam worden. De auteur gebruikt een slimme wiskundige truc waarbij een verandering van variabelen wordt gebruikt—eigenlijk de getallen hernoemen om het patroon gemakkelijker zichtbaar te maken—om aan te tonen dat het gemiddelde aantal "slechte paren" voor elke individuele persoon in deze groep erg laag is.

Sterker nog, de wiskunde laat zien dat voor de overgrote meerderheid van de mensen in deze gefilterde groep, er bijna geen partners zijn waarmee ze niet gekoppeld kunnen worden. Door deze interacties zorgvuldig te tellen, bewijst de auteur dat zelfs nadat de weinige mensen die wél een verboden partner hebben zijn verwijderd, de resterende groep nog steeds enorm is. Het is nog steeds groter dan een constante fractie van de totale menigte.

Waarom Dit Ertoe Doet

Dit resultaat is een grote zaak omdat het een vraag beantwoordt die een lange tijd open heeft gestaan. Het vertelt ons dat het universum van eenheidsfracties flexibeler is dan we dachten. Je kunt een enorme, gestructureerde verzameling bouien die deze specifieke rekenkundige valstrik vermijdt.

Bovendien heeft deze ontdekking een bijeffect. Als je een verzameling eenheidsfracties hebt waarbij geen twee een gemiddelde hebben dat een eenheidsfractie is, heb je automatisch een verzameling met geen "drie-termige rekenkundige progressies" (geen drie getallen die gelijkmatig verdeeld liggen). Dit verbetert eerdere records voor hoe groot een dergelijke verzameling kan zijn.

De auteur merkt er zorgvuldig bij op dat hoewel deze constructie werkt en bewijst dat de verzameling groot kan zijn, het misschien niet de grootste mogelijke verzameling is. Er zou een nog beter, complexer recept aanwezig kunnen zijn dat nog gevonden moet worden. Maar voor nu is dit bewijs het definitieve antwoord op de vraag: Nee, de verzameling hoeft niet klein te zijn. Het kan net zo groot zijn als een aanzienlijk deel van de gehele getallenlijn. De "geen-gemiddelde"-club is geopend voor zaken, en de lidmaatschapslijst is verrassend lang.

Technische Samenvatting: Verzamelingen van eenheidshulpen waarvan geen twee leden een gemiddelde hebben dat een eenheidshulp is

Probleemstelling
Het artikel behandelt een vraag gesteld door Erdős en Graham over de maximale grootte van een deelverzameling $A \subseteq \{1, \dots, N\}$ die voldoet aan een specifieke deelbaarheidsvoorwaarde. De voorwaarde is dat voor elke verschillende $a, b \in A$ , de som $a+b$ niet $2ab$ deelt. In de context van eenheidshulpen is dit equivalent aan de stelling dat het gemiddelde van twee verschillende eenheidshulpen $1/a$ en $1/b$ niet zelf een eenheidshulp is. Erdős en Graham vroegen zich af of een dergelijke verzameling $A$ noodzakelijkerwijs een grootte $o(N)$ moet hebben (dat wil zeggen, of de dichtheid van dergelijke verzamelingen moet verdwijnen als $N \to \infty$ ).

Daarnaast merkt het artikel op dat dit probleem nauw verwant is aan het bestaan van grote verzamelingen eenheidshulpen zonder niet-triviale drie-term rekenkundige progressies, een vraag die recentelijk door Korsky is opgeworpen.

Methodologie en Constructie
De auteur construeert een deelverzameling $A_N \subseteq \{1, \dots, N\}$ die de $o(N)$ -conjectuur weerlegt, en biedt daarmee een negatief antwoord op de Erdős-Graham vraag. De constructie berust op de functie $\Omega(n)$ , die het totaal aantal priemfactoren van $n$ met veelvoudigheid telt.

De verzameling $A_N$ wordt gedefinieerd als de verzameling gehele getallen $a \in \{1, \dots, N\}$ waarvoor geldt dat voor elke $b \in \{1, \dots, N\}$ met $a \neq b$ en $\Omega(b) \le \Omega(a)$ , de voorwaarde $a+b \nmid 2ab$ standhoudt.

De bewijsstrategie omvat de volgende stappen:

Reductie naar Deelbaarheid: Door gebruik te maken van een verandering van variabelen $u = a/\gcd(a,b)$ en $v = b/\gcd(a,b)$ , wordt getoond dat de voorwaarde $a+b \mid 2ab$ equivalent is aan de existentie van coprimen gehele getallen $u, v$ zodanig dat $u(u+v) \mid 2a$ en $b = av/u$.
Restrictie tot een "Goede" Verzameling $S$ : Om een grote deelverzameling te garanderen, beperkt de auteur de aandacht tot een verzameling $S$ $S$ van gehele getallen $a$ $a$ die aan drie voorwaarden voldoen:
- $a$ heeft geen kleine priemfactoren (specifiek, geen priemfactoren kleiner dan een grote parameter $L$ ).
- $a$ is niet deelbaar door 4.
- Het aantal priemfactoren van $a$ tot $x$ , aangeduid met $\Omega(a, x)$ , overschrijdt de verwachte gemiddelde waarde $(1+\epsilon)\log \log x$ voor enige $x$ niet significant.
Tellen en Middelen: De kern van het argument is om aan te tonen dat de "slechte" elementen in $S$ $S$ (die $a \in S$ $a \in S$ waarvoor er een $b$ $b$ bestaat met $\Omega(b) \le \Omega(a)$ $Ω (b) \leq Ω (a)$ zodat $a+b \mid 2ab$ $a + b ∣ 2 ab$ ) een klein deel van $S$ $S$ vormen.
- De auteur begrenst het aantal paren $(u, v)$ zodanig dat $u(u+v)$ een deler is van $2a$ voor $a \in S$ .
- Dit omvat het schatten van sommen van multiplicatieve functies over dyadische intervallen. De auteur maakt gebruik van een resultaat van de la Bretèche en Tenenbaum betreffende sommen van niet-negatieve multiplicatieve functies om het gemiddelde aantal dergelijke paren te begrenzen.
Cruciale Analytische Inzicht: De voorwaarde $\Omega(b) \le \Omega(a)$ (wat vertaalt naar $\Omega(v) \le \Omega(u)$ in de verandering van variabelen) is cruciaal. Zonder deze restrictie zou het gemiddelde aantal paren groeien als een macht van $\log \log N$ (vergelijkbaar met de $\Delta$ -functie van Hooley). Echter, met deze restrictie en de uitsluiting van kleine priemfactoren, is het gemiddelde aantal paren voor een gegeven $a$ begrensd, waardoor kan worden aangetoond dat de "slechte" verzameling een klein fractie van $S$ vormt.

Belangrijkste Resultaten

Stelling 1: Er bestaat een constante $c > 0$ zodanig dat voor alle voldoende grote $N$ , de verzameling $A_N$ zoals hierboven gedefinieerd een grootte $|A_N| > cN$ heeft.
Eigenschap van $A_N$ : Voor elke verschillende $a, b \in A_N$ geldt $a+b \nmid 2ab$ .
Implicatie voor Eenheidshulpen: De verzameling $\{1/a : a \in A_N\}$ is een verzameling eenheidshulpen van lineaire dichtheid ($> cN$) waarvoor geen twee verschillende leden een gemiddelde hebben dat een eenheidshulp is.
Implicatie voor Rekenkundige Progressies: Bijgevolg bevat deze verzameling geen niet-triviale drie-term rekenkundige progressies van eenheidshulpen.

Betekenis en Claims
Het artikel beweert expliciet een negatief antwoord te geven op de vraag van Erdős en Graham, door aan te tonen dat verzamelingen van eenheidshulpen met de gespecificeerde eigenschap een positieve lagere dichtheid kunnen hebben, in tegenstelling tot de suggestie dat ze $o(N)$ moeten zijn.

De auteur merkt op dat hoewel de constructie een lineaire ondergrens biedt, de constante $c$ niet geoptimaliseerd is. Het artikel suggereert dat de optimale ondergrens waarschijnlijk voortkomt uit een complexere voorwaarde dan de voor deze constructie gebruikte. Het werk verbetert ook een constructie van Korsky betreffende drie-term rekenkundige progressies in eenheidshulpen.

De auteur erkent dat de bewijsstrategie geïnspireerd is door een berekening van Stijn Cambie voor kleine $N$ en gebruik heeft gemaakt van AI-tools (ChatGPT) voor patroonherkenning, het zoeken naar referenties en het controleren van de tekst, terwijl de rigoureuze wiskundige argumenten en de specifieke aanpassing van de strategie aan de $\Omega(b) \le \Omega(a)$ voorwaarde een bijdrage van de auteur zijn. De methode levert ook een ondergrens op voor het gerelateerde probleem van verzamelingen waar $a+b \nmid ab$ (sommen zijn geen eenheidshulpen), hoewel deze grens zwakker is dan de triviale grens die wordt geboden door de verzameling oneven getallen.

De Grote "Geen-Gemiddelde" Roofoverval

Hoe de Goocheltruc Werkt

Waarom Dit Ertoe Doet

Technische Samenvatting: Verzamelingen van eenheidshulpen waarvan geen twee leden een gemiddelde hebben dat een eenheidshulp is

Meer zoals dit