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Sets of unit fractions without two members whose average is a unit fraction

Este artigo refuta uma questão formulada por Erdős e Graham ao provar a existência de uma constante $c>0$ tal que, para todo $N$ suficientemente grande, existe um subconjunto de $\{1,\dots,N\}$ com tamanho superior a $cN$ onde a média de quaisquer dois recíprocos distintos não é uma fração unitária, estabelecendo assim os limites inferiores conhecidos para conjuntos de frações unitárias sem progressões aritméticas de três termos não triviais.

Autores originais: Will Sawin

Publicado 2026-07-20

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CC0 1.0

Autores originais: Will Sawin

Artigo original dedicado ao domínio público sob CC0 1.0 (http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/). ✨ Esta é uma explicação gerada por IA do artigo abaixo. Não foi escrita nem endossada pelos autores. Para precisão técnica, consulte o artigo original. Ler aviso legal completo

Imagine um mundo feito inteiramente de frações, mas com uma regra muito estrita: cada peça deve ser uma "fração unitária". Isso significa que o número de cima é sempre 1, como 1/2, 1/3 ou 1/100. Matemáticos passaram décadas brincando com esses números, fazendo perguntas como: "Quantos podemos alinhar antes de acidentalmente criar um padrão?" Um padrão famoso que eles procuram é uma progressão aritmética, onde três números ficam espaçados uniformemente, como 1/2, 1/3 e 1/6 (já que 1/3 está exatamente no meio de 1/2 e 1/6).

O enigma específico que este artigo aborda é um pouco como um jogo de "sem médias". Se você escolher duas frações unitárias diferentes, digamos 1/a e 1/b, e calcular a média delas (o número exatamente no meio delas), o jogo pergunta: Podemos construir uma grande coleção dessas frações onde nenhum dos pares tenha uma média que também seja uma fração unitária? Por muito tempo, dois matemáticos lendários, Erdős e Graham, imaginaram se tal coleção poderia ser verdadeiramente massiva. Eles suspeitavam que, se você tentasse fazer a coleção grande o suficiente, inevitavelmente seria forçado a incluir um par cuja média também seja uma fração unitária. Em outras palavras, eles pensavam que a regra do "sem média" forçaria a coleção a ser minúscula em comparação ao total de frações disponíveis.

Este artigo, escrito por Will Sawin, entra nesse campo e entrega uma reviravolta surpreendente. O autor prova que Erdős e Graham estavam errados. É possível construir uma coleção de frações unitárias que é surpreendentemente grande — tão grande que contém uma porcentagem constante de todos os números disponíveis até um certo ponto — sem nunca acidentalmente criar um par cuja média seja uma fração unitária. O artigo não apenas supõe; ele fornece uma construção matemática rigorosa, uma receita específica para construir esse conjunto gigante, e prova que isso funciona para qualquer número suficientemente grande. Embora o autor admita que a receita não é a mais eficiente possível, é o suficiente para despedaçar a antiga crença de que tal conjunto deveria ser pequeno.

O Grande Assalto do "Sem Média"

Pense nos números de 1 a um número enorme $N$ como uma multidão massiva de pessoas. Cada pessoa segura uma placa com um número nela. Se você escolher duas pessoas, digamos a Pessoa $a$ e a Pessoa $b$ , elas representam as frações unitárias $1/a$ e $1/b$ . A "média" de suas frações é um número especial. Se essa média resultar em uma fração unitária (como $1/c$ ), então $a$ e $b$ são "banidos" de estarem em nosso clube especial juntos. O objetivo é formar o maior clube possível onde nenhum par de membros seja banido.

Por muito tempo, a comunidade matemática pensou que este clube teria que ser minúsculo. Eles acreditavam que, conforme a multidão crescesse, as regras ficariam tão estritas que você só conseguiria manter uma porcentagem ínfima de pessoas. Mas Will Sawin diz: "Não tão rápido!" Ele mostra que você pode manter uma parte massiva da multidão — especificamente, mais de uma porcentagem fixa $c$ de todos — não importa o quão grande a multidão se torne.

Como o Truque de Mágica Funciona

Para realizar este assalto, o autor não apenas pega pessoas aleatórias da multidão. Ele usa um filtro muito específico, um conjunto de regras que atua como um segurança em um clube exclusivo.

Primeiro, o segurança expulsa qualquer um com "muitos fatores primos pequenos". Imagine que os números primos são os blocos de construção básicos de todos os números (como 2, 3, 5, 7). O segurança diz: "Se você é construído com tijolos minúsculos como 2 ou 3, você não pode entrar". Isso remove uma boa parte da multidão, mas deixa um número saudável de pessoas que são feitas de tijolos maiores e mais complexos.

Segundo, o segurança verifica a "complexidade" dos números. Ele conta quantos fatores primos um número possui (contando repetições, então $12 = 2 \times 2 \times 3$ tem três fatores). A regra é que você não pode ter tantos fatores em comparação com o que é esperado estatisticamente para um número do seu tamanho. É como dizer: "Se você é um número de tamanho médio, não pode ser feito de uma pilha absurdamente grande de tijolos".

A genialidade do artigo reside em provar que, se você aderir a este grupo filtrado, os "pares ruins" (aqueles cuja média é uma fração unitária) tornam-se incrivelmente raros. O autor utiliza um truque matemático astuto envolvendo uma mudança de variáveis — essencialmente, renomeando os números para tornar o padrão mais fácil de ver — para mostrar que a média de "pares ruins" para qualquer pessoa individual neste grupo é muito baixa.

De fato, a matemática mostra que, para a vasta maioria das pessoas neste grupo filtrado, há quase nenhum parceiro com o qual elas não possam se parear. Ao contar cuidadosamente essas interações, o autor prova que, mesmo após remover as poucas pessoas que possuem um parceiro proibido, o grupo restante ainda é enorme. Ele ainda é maior do que uma fração constante do total da multidão.

Por Que Isso Importa

Este resultado é importante porque responde a uma pergunta que estava aberta há muito tempo. Ele nos diz que o universo das frações unitárias é mais flexível do que pensávamos. Você pode construir um conjunto massivo e estruturado que evita essa armadilha aritmética específica.

Além disso, esta descoberta tem um efeito colateral. Se você tem um conjunto de frações unitárias onde nenhum par tem uma média que seja uma fração unitária, você automaticamente tem um conjunto que não possui "progressões aritméticas de três termos" (não há três números igualmente espaçados). Isso melhora os recordes anteriores de quão grande tal um conjunto pode ser.

O autor observa cuidadosamente que, embora esta construção funcione e prove que o conjunto pode ser grande, ela pode não ser o conjunto maior possível. Pode haver uma receita ainda melhor e mais complicada à espera de ser encontrada. Mas, por enquanto, esta prova é a resposta definitiva para a questão: Não, o conjunto não precisa ser pequeno. Ele pode ser tão grande quanto uma fatia significativa de toda a linha numérica. O clube do "sem média" está aberto para negócios, e sua adesão é surpreendentemente grande.

Resumo Técnico: Conjuntos de Frações Unitárias Sem Dois Membros Cuja Média é uma Fração Unitária

Enunciado do Problema
O artigo aborda uma questão proposta por Erdős e Graham sobre o tamanho máximo de um subconjunto $A \subseteq \{1, \dots, N\}$ que satisfaz uma condição de divisibilidade específica. A condição é que, para quaisquer $a, b \in A$ distintos, $a+b$ não divide $2ab$. No contexto de frações unitárias, isso é equivalente a afirmar que a média de quaisquer duas frações unitárias distintas $1/a$ e $1/b$ não é, ela própria, uma fração unitária. Erdős e Graham questionaram se tal conjunto $A$ deve necessariamente ter tamanho $o(N)$ (ou seja, se a densidade de tais conjuntos deve desaparecer quando $N \to \infty$ ).

Adicionalmente, o artigo observa que este problema está intimamente relacionado à existência de grandes conjuntos de frações unitárias sem progressões aritméticas triviais de três termos, uma questão levantada recentemente por Korsky.

Metodologia e Construção
O autor constrói um subconjunto $A_N \subseteq \{1, \dots, N\}$ que viola a conjectura $o(N)$ , fornecendo assim uma resposta negativa à questão de Erdős-Graham. A construção baseia-se na função $\Omega(n)$ , que conta o número total de fatores primos de $n$ com multiplicidade.

O conjunto $A_N$ é definido como o conjunto de inteiros $a \in \{1, \dots, N\}$ tais que, para qualquer $b \in \{1, \dots, N\}$ com $a \neq b$ e $\Omega(b) \le \Omega(a)$ , a condição $a+b \nmid 2ab$ se mantém.

A estratégia de prova envolve as seguintes etapas:

Redução à Divisibilidade: Utilizando uma mudança de variáveis $u = a/\gcd(a,b)$ e $v = b/\gcd(a,b)$ , a condição $a+b \mid 2ab$ é mostrada como equivalente à existência de inteiros coprimos $u, v$ tais que $u(u+v) \mid 2a$ e $b = av/u$.
Restrição a um Conjunto "Bom" $S$ : Para garantir a existência de um grande subconjunto, o autor restringe a atenção a um conjunto $S$ $S$ de inteiros $a$ $a$ que satisfazem três condições:
- $a$ não possui pequenos fatores primos (especificamente, nenhum fator primo menor que um grande parâmetro $L$ ).
- $a$ não é divisível por 4.
- O número de fatores primos de $a$ até $x$ , denotado por $\Omega(a, x)$ , não excede significativamente a média esperada $(1+\epsilon)\log \log x$ para qualquer $x$ .
Contagem e Médias: O cerne do argumento é mostrar que os elementos "maus" em $S$ $S$ (aqueles $a \in S$ $a \in S$ para os quais existe um $b$ $b$ com $\Omega(b) \le \Omega(a)$ $Ω (b) \leq Ω (a)$ tal que $a+b \mid 2ab$ $a + b ∣ 2 ab$ ) formam uma proporção pequena de $S$ $S$ .
- O autor limita o número de pares $(u, v)$ tais que $u(u+v)$ divide $2a$ para $a \in S$ .
- Isso envolve a estimativa de somas de funções multiplicativas sobre intervalos dyádicos. O autor utiliza um resultado de de la Bretèche e Tenenbaum sobre somas de funções multiplicativas não negativas para limitar a média do número de tais pares.
Insight Analítico Fundamental: A condição $\Omega(b) \le \Omega(a)$ (que se traduz em $\Omega(v) \le \Omega(u)$ na mudança de variáveis) é crucial. Sem essa restrição, a média do número de pares cresceria como uma potência de $\log \log N$ (semelhante à função $\Delta$ de Hooley). No entanto, com esta restrição e a exclusão de pequenos fatores primos, a média do número de pares para um dado $a$ é limitada, permitindo que o conjunto "mau" seja mostrado como uma pequena fração de $S$ .

Principais Resultados

Teorema 1: Existe uma constante $c > 0$ tal que, para todo $N$ suficientemente grande, o conjunto $A_N$ definido acima possui tamanho $|A_N| > cN$ .
Propriedade de $A_N$ : Para quaisquer $a, b \in A_N$ distintos, $a+b \nmid 2ab$ .
Implicação para Frações Unitárias: O conjunto $\{1/a : a \in A_N\}$ é um conjunto de frações unitárias de densidade linear ($> cN$) tal que nenhuma par de membros distintos tem uma média que seja uma fração unitária.
Implicação para Progressões Aritméticas: Consequentemente, este conjunto não contém progressões aritméticas não triviais de três termos de frações unitárias.

Significado e Alegações
O artigo afirma explicitamente fornecer uma resposta negativa à questão de Erdős e Graham, demonstrando que conjuntos de frações unitárias com a especificada propriedade podem ter densidade inferior positiva, contrariamente à sugestão de que devem ser $o(N)$ .

O autor observa que, embora a construção forneça um limite inferior linear, a constante $c$ não é otimizada. O artigo sugere que o limite inferior ótimo provavelmente advém de uma condição mais complexa do que a utilizada aqui. O trabalho também melhora uma construção de Korsky referente a progressões aritméticas de três termos em frações unitárias.

O autor reconhece que a estratégia de prova foi inspirada por um cálculo de Stijn Cambie para pequenos valores de $N$ e utilizou ferramentas de IA (ChatGPT) para reconhecimento de padrões, busca de referências e revisão, enquanto os argumentos matemáticos rigorosos e a adaptação específica da estratégia para a condição $\Omega(b) \le \Omega(a)$ são contribuições do autor. O método também produz um limite inferior para o problema relacionado de conjuntos onde $a+b \nmid ab$ (as somas não são frações unitárias), embora este limite seja mais fraco do que o limite trivial fornecido pelo conjunto dos números ímpares.

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