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Sets of unit fractions without two members whose average is a unit fraction

Este artículo refuta una pregunta planteada por Erdős y Graham al demostrar la existencia de una constante $c>0$ tal que para todo $N$ suficientemente grande, existe un subconjunto de $\{1,\dots,N\}$ con tamaño mayor que $cN$ donde el promedio de cualesquiera dos recíprocos distintos no es una fracción unitaria, estableciendo así los límites inferiores conocidos para conjuntos de fracciones unitarias sin progresiones aritméticas de tres términos no triviales.

Autores originales: Will Sawin

Publicado 2026-07-20

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CC0 1.0

Autores originales: Will Sawin

Artículo original dedicado al dominio público bajo CC0 1.0 (http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina un mundo hecho enteramente de fracciones, pero con una regla muy estricta: cada pieza debe ser una "fracción unitaria". Eso significa que el número de arriba siempre es 1, como 1/2, 1/3 o 1/100. Matemáticos han pasado décadas jugando con estos números, planteando preguntas como: "¿Cuántos de estos podemos alinear antes de crear accidentalmente un patrón?". Un patrón famoso que buscan es una progresión aritmética, donde tres números se asientan de forma uniformemente espaciada, como 1/2, 1/3 y 1/6 (ya que 1/3 está exactamente a la mitad entre 1/2 y 1/6).

El rompecabezas específico que aborda este artículo es un poco como un juego de "nada de promedios". Si eliges dos fracciones unitarias diferentes, digamos 1/a y 1/b, y calculas su promedio (el número que está exactamente en medio de ellas), el juego pregunta: ¿Podemos construir una colección enorme de estas fracciones donde ningún par de ellas tenga un promedio que también sea una fracción unitaria? Durante mucho tiempo, dos matemáticos legendarios, Erdős y Graham, se preguntaron si tal colección podría ser verdaderamente masiva. Sospechaban que, si intentabas hacer la colección lo suficientemente grande, inevitablemente te verías obligado a incluir un par cuyo promedio sea una fracción unitaria. En otras palabras, pensaban que la regla de "nada de promedios" obligaría a que la colección fuera diminuta en comparación con el total de las fracciones disponibles.

Este artículo, escrito por Will Sawin, entra en esa arena y ofrece un giro sorprendente. El autor demuestra que Erdős y Graham estaban equivocados. Es posible construir una colección de fracciones unitarias que es sorprendentemente grande —tan grande que contiene un porcentaje constante de todos los números disponibles hasta cierto punto— sin haber creado nunca accidentalmente un par cuyo promedio sea una fracción unitaria. El artículo no solo supone; proporciona una construcción matemática rigurosa, una receta específica para construir este conjunto gigante, y demuestra que funciona para cualquier número suficientemente grande. Aunque el autor admite que la receta no es la más eficiente posible, es suficiente para destrozar la vieja creencia de que tal conjunto debe ser pequeño.

El gran robo del "Nada de Promedios"

Piensa en los números del 1 al $N$ (un número enorme) como una multitud masiva de personas. Cada persona sostiene un cartel con un número en él. Si eliges a dos personas, digamos la Persona $a$ y la Persona $b$ , ellas representan las fracciones unitarias $1/a$ y $1/b$ . El "promedio" de sus fracciones es un número especial. Si ese promedio resulta ser una fracción unitaria (como $1/c$ ), entonces $a$ y $b$ tienen "prohibido" estar en nuestro club especial juntos. El objetivo es formar el club más grande posible donde ningún par de miembros esté prohibido.

Durante mucho tiempo, la comunidad matemática pensó que este club tendría que ser diminuto. Creían que, a medida que la multitud creciera, las reglas se volverían tan estrictas que solo podrías mantener un porcentaje ínfimo de personas. Pero Will Sawin dice: "¡No tan rápido!". Él demuestra que puedes mantener una parte masiva de la multitud —específicamente, más de una fracción constante $c$ de todos— sin importar qué tan grande sea la multitud.

Cómo funciona el truco de magia

Para llevar a cabo este robo, el autor no agarra personas al azar de la multitud. Utiliza un filtro muy específico, un conjunto de reglas que actúa como un portero en un club exclusivo.

Primero, el portero expulsa a cualquiera con "demasiados factores primos pequeños". Imagina que los números primos son los bloques de construcción básicos de todos los números (como 2, 3, 5, 7). El portero dice: "Si tu número está construido con ladrillos diminutos como 2 o 3, no puedes entrar". Esto elimina a mucha gente, pero deja un número saludable de personas que están hechas de ladrillos más grandes y complejos.

Segundo, el portero revisa la "complejidad" de los números. Cuenta cuántos factores primos tiene un número (contando las repeticiones, así que $12 = 2 \times 2 \times 3$ tiene tres factores). La regla es que no puedes tener demasiados factores en comparación con lo que se espera estadísticamente para un número de tu tamaño. Es como decir: "Si eres un número de tamaño medio, no puedes estar hecho de una pila absurdamente grande de ladrillos".

La genialidad del artículo reside en demostrar que, si te ciñes a este grupo filtrado, los "pares malos" (aquellos cuyo promedio es una fracción unitaria) se vuelven increíblemente raros. El autor utiliza un truco matemático ingenioso que implica un cambio de variables —esencialmente renombrar los números para que el patrón sea más fácil de ver— para mostrar que el promedio de "pares malos" para cualquier persona individual en este grupo es muy bajo.

De hecho, la matemática muestra que para la gran mayoría de las personas en este grupo filtrado, hay casi ningún compañero con el que no puedan emparejarse. Al contar cuidadosamente estas interacciones, el autor demuestra que incluso después de eliminar a las pocas personas que sí tienen un compañero prohibido, el grupo restante sigue siendo enorme. Sigue siendo más grande que una fracción constante del total de la multitud. Todamente, sigue siendo mayor que una fracción constante del total de la multitud.

Por qué esto importa

Este resultado es importante porque responde a una pregunta que había estado abierta durante mucho tiempo. Nos dice que el universo de las fracciones unitarias es más flexible de lo que pensábamos. Puedes construir un conjunto masivo y estructurado que evite esta trampa aritmética específica.

Además, este descubrimiento tiene un efecto secundario. Si tienes un conjunto de fracciones unitarias donde no hay dos cuyo promedio sea una fracción unitaria, automáticamente tienes un conjunto que no tiene "progresiones aritméticas de tres términos" (no hay tres números igualmente espaciados). Esto mejora los récords previos de qué tan grande puede ser tal conjunto.

El autor señala cuidadosamente que, aunque esta construcción funciona y demuestra que el conjunto puede ser grande, podría no ser el conjunto más grande posible. Podría haber una receta aún mejor y más complicada esperando ser encontrada. Pero por ahora, esta prueba es la respuesta definitiva a la pregunta: No, el conjunto no tiene por qué ser pequeño. Puede ser tan grande como una porción significativa de toda la recta numérica. El club del "nada de promedios" está abierto para el negocio, y la membresía es sorprendentemente grande.

Resumen Técnico: Conjuntos de Fracciones Unitarias sin Dos Miembros Cuya Media sea una Fracción Unitaria

Planteamiento del Problema
El artículo aborda una pregunta planteada por Erdős y Graham sobre el tamaño máximo de un subconjunto $A \subseteq \{1, \dots, N\}$ que satisface una condición de divisibilidad específica. La condición es que para cualesquiera $a, b \in A$ distintos, $a+b$ no divide a $2ab$. En el contexto de las fracciones unitarias, esto es equivalente a decir que la media de cualesquiera dos fracciones unitarias distintas $1/a$ y $1/b$ no es, en sí misma, una fracción unitaria. Erdős y Graham preguntaron si tal conjunto $A$ debe tener necesariamente un tamaño $o(N)$ (es decir, si la densidad de tales conjuntos debe desvanecerse cuando $N \to \infty$ ).

Además, el artículo señala que este problema está estrechamente relacionado con la existencia de grandes conjuntos de fracciones unitarias sin progresiones aritméticas de tres términos no triviales, una cuestión planteada recientemente por Korsky.

Metodología y Construcción
El autor construye un subconjunto $A_N \subseteq \{1, \dots, N\}$ que viola la conjetura $o(N)$ , proporcionando así una respuesta negativa a la pregunta de Erdős-Graham. La construcción se basa en la función $\Omega(n)$ , que cuenta el número total de factores primos de $n$ con multiplicidad.

El conjunto $A_N$ se define como el conjunto de enteros $a \in \{1, \dots, N\}$ tales que para cualquier $b \in \{1, \dots, N\}$ con $a \neq b$ y $\Omega(b) \le \Omega(a)$ , se cumple la condición $a+b \nmid 2ab$ .

La estrategia de la prueba involucra los siguientes pasos:

Reducción a la Divisibilidad: Utilizando un cambio de variables $u = a/\gcd(a,b)$ y $v = b/\gcd(a,b)$ , se muestra que la condición $a+b \mid 2ab$ es equivalente a la existencia de enteros coprimos $u, v$ tales que $u(u+v) \mid 2a$ y $b = av/u$.
Restricción a un Conjunto "Bueno" $S$ : Para asegurar la existencia de un subconjunto grande, el autor restringe la atención a un conjunto $S$ $S$ de enteros $a$ $a$ que satisfacen tres condiciones:
- $a$ no tiene factores primos pequeños (específicamente, ningún factor primo menor que un gran parámetro $L$ ).
- $a$ no es divisible por 4.
- El número de factores primos de $a$ hasta $x$ , denotado como $\Omega(a, x)$ , no excede significativamente el promedio esperado $(1+\epsilon)\log \log x$ para cualquier $x$ .
Conteo y Promedio: El núcleo del argumento es demostrar que los elementos "malos" en $S$ $S$ (aquellos $a \in S$ $a \in S$ para los cuales existe un $b$ $b$ con $\Omega(b) \le \Omega(a)$ $Ω (b) \leq Ω (a)$ tal que $a+b \mid 2ab$ $a + b ∣ 2 ab$ ) forman una proporción pequeña de $S$ $S$ .
- El autor acota el número de pares $(u, v)$ tales que $u(u+v)$ divide a $2a$ para $a \in S$ .
- Esto implica estimar sumas de funciones multiplicativas sobre intervalos diedros. El autor utiliza un resultado de de la Bretèche y Tenenbaum sobre sumas de funciones multiplicativas no negativas para acotar el número promedio de tales pares.
Perspicacia Analítica Clave: La condición $\Omega(b) \le \Omega(a)$ (que se traduce como $\Omega(v) \le \Omega(u)$ en el cambio de variables) es crucial. Sin esta restricción, el número promedio de pares crecería como una potencia de $\log \log N$ (similar a la función $\Delta$ de Hooley). Sin embargo, con esta restricción y la exclusión de factores primos pequeños, el número promedio de pares para un $a$ dado está acotado, permitiendo que el conjunto "malo" se muestre como una fracción pequeña de $S$ .

Resultados Clave

Teorema 1: Existe una constante $c > 0$ tal que para todo $N$ suficientemente grande, el conjunto $A_N$ definido arriba tiene un tamaño $|A_N| > cN$ .
Propiedad de $A_N$ : Para cualesquiera $a, b \in A_N$ distintos, $a+b \nmid 2ab$ .
Implicación para Fracciones Unitarias: El conjunto $\{1/a : a \in A_N\}$ es un conjunto de fracciones unitarias de densidad lineal ($> cN$) tal que ninguna par de miembros distintos tienen una media que sea una fracción unitaria.
Implicación para Progresiones Aritméticas: Consecuentemente, este conjunto no contiene progresiones aritméticas de tres términos no triviales de fracciones unitarias.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma explícitamente proporcionar una respuesta negativa a la pregunta de Erdős y Graham, demostrando que los conjuntos de fracciones unitarias con la propiedad especificada pueden tener una densidad inferior positiva, contrario a la sugerencia de que deben ser $o(N)$ .

El autor señala que, si bien la construcción proporciona un límite inferior lineal, la constante $c$ no está optimizada. El artículo sugiere que el límite inferior óptimo probablemente surge de una condición más compleja que la utilizada aquí. El trabajo también mejora una construcción de Korsky respecto a las progresiones aritméticas de tres términos en fracciones unitarias.

El autor reconoce que la estrategia de la prueba fue inspirada por un cálculo de Stijn Cambie para valores pequeños de $N$ y utilizó herramientas de IA (ChatGPT) para el reconocimiento de patrones, la búsqueda de referencias y la revisión de estilo, mientras que los argumentos matemáticos rigurosos y la adaptación específica de la estrategia a la condición $\Omega(b) \le \Omega(a)$ son contribuciones del autor. El método también arroja un límite inferior para el problema relacionado de conjuntos donde $a+b \nmid ab$ (las sumas no son fracciones unitarias), aunque este límite es más débil que el límite trivial proporcionado por el conjunto de los números impares.

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