Sets of unit fractions without two members whose average is a unit fraction

技术摘要：不存在两个成员之平均值为单位分数的一组单位分数

问题陈述
本文探讨了 Erdős 和 Graham 提出的一个关于满足特定整除条件的子集 $A \subseteq \{1, \dots, N\}$ 的最大规模问题。该条件为：对于任意不同的 $a, b \in A$，和 $a+b$ 不整除 $2ab$。在单位分数的语境下，这等价于说明对于任意两个不同的单位分数$1/a$和$1/b$，它们的平均值本身不是一个单位分数。Erdős 和 Graham 曾询问，这样的集合 $A$ 是否必然满足规模为 $o(N)$（即此类集合的密度是否会随着 $N \to \infty$ 而趋于零）。

此外，本文指出该问题与不存在非平凡三项等差数列的大规模单位分数集合密切相关，这也是 Korsky 最近提出的一个问题。

方法论与构造
作者构造了一个子集 $A_N \subseteq \{1, \dots, N\}$，该子集违反了 $o(N)$ 猜想，从而为 Erdős-Graham 问题提供了负面回答。该构造依赖于函数 $\Omega(n)$，它计算 $n$ 的所有质因子的总数（计入重数）。

集合 $A_N$ 定义为如下整数 $a \in \{1, \dots, N\}$ 的集合：对于任何满足 $a \neq b$ 且 $\Omega(b) \le \Omega(a)$ 的 $b \in \{1, \dots, N\}$，条件 $a+b \nmid 2ab$ 均成立。

证明策略包括以下步骤：

1. 归约为整除性： 通过变量代换 $u = a/\gcd(a,b)$ 和 $v = b/\gcd(a,b)$，将条件 $a+b \mid 2ab$ 证明为等价于存在互质整数 $u, v$，使得 $u(u+v) \mid 2a$ 且 $b = av/u$。
2. 限制于“良好”集合 $S$： 为了确保存在一个足够大的子集，作者将注意力限制在一个满足三个条件的整数集合 $S$ 上：
   • $a$ 没有小的质因子（具体而言，没有小于大参数 $L$ 的质因子）。
   • $a$ 不被 4 整除。
   • $a$ 在 $x$ 之内的质因子个数 $\Omega(a, x)$ 不会显著超过其期望平均值 $(1+\epsilon)\log \log x$（对于任何 $x$）。
3. 计数与平均： 核心论证在于证明 $S$ 中的“坏”元素（即那些存在 $b$ 使得 $\Omega(b) \le \Omega(a)$ 且 $a+b \mid 2ab$ 的 $a \in S$）在 $S$ 中所占比例很小。
   • 作者通过估计满足 $u(u+v)$ 整除 $2a$ 的对数 $(u, v)$ 来进行计算，其中 $a \in S$。
   • 这涉及对二进区间上乘性函数的求和估计。作者利用了 de la Bretèche 和 Tenenbaum 关于非负乘性函数之和的结果，来界定此类对数的平均数量。
4. 关键解析洞察： 条件 $\Omega(b) \le \Omega(a)$（在变量代换中对应 $\Omega(v) \le \Omega(u)$）至关重要。如果没有这一限制，平均对数数量将会像 Hooley 的 $\Delta$ 函数一样按 $\log \log N$ 的幂次增长。然而，结合这一限制并排除小质因子后，给定 $a$ 的对数平均值是有界的，从而可以证明“坏”集合是 $S$ 的一个极小部分。

主要结果

• 定理 1： 存在常数 $c > 0$，使得对于所有充分大的 $N$，上述定义的集合 $A_N$ 的规模满足 $|A_N| > cN$。
• $A_N$ 的性质： 对于 $A_N$ 中任意不同的 $a, b$，有 $a+b \nmid 2ab$。
• 对单位分数的意义： 集合 $\{1/a : a \in A_N\}$ 是一个具有线性密度（$> cN$）的单位分数集合，其中任意两个不同的成员之平均值都不是单位分数。
• 对等差数列的意义： 因此，该集合不包含非平凡的三项单位分数等差数列。

重要性与主张
本文明确声称为 Erdős 和 Graham 的问题提供了负面回答，证明了具有上述性质的单位分数集合可以具有正的下密度，这与此前暗示其必须为 $o(N)$ 的观点相反。

作者指出，虽然该构造提供了一个线性下界，但常数 $c$ 并非最优。文中暗示，最优下界可能源于比此处使用的条件更为复杂的逻辑。这项工作也改进了 Korsky 关于单位分数中三项等差数列的构造。

作者提到，证明策略受到了 Stijn Cambie 对小规模 $N$ 计算的启发，并利用了人工智能工具（ChatGPT）进行模式识别、文献搜索和校对；而严谨的数学论证以及将该策略特意适配于 $\Omega(b) \le \Omega(a)$ 条件的过程，则是作者本人的贡献。该方法也为相关的 $a+b \nmid ab$（和不是单位分数）的问题提供了下界，尽管该下界弱于由奇数集合提供的平凡界。