Nonequilibrium Dynamical Quantum Phase Transitions in the Extended Agassi Model

技术摘要：扩展 Agassi 模型中的非平衡动力学量子相变

问题陈述
本文研究了扩展 Agassi 模型背景下平衡量子相变（QPT）与非平衡动力学量子相变（DQPT）之间的相互作用。该模型描述了一个由三个可调相互作用强度（同能级配对 $\Sigma$、单极-单极相互作用 $\chi$ 以及跨能级配对 $\Lambda$）控制的二能级费米子系统。虽然像 Lipkin-Meshkov-Glick (LMG) 和 Dicke 这样的代数模型在平衡临界性和 DQPT 方面已被广泛研究，但扩展 Agassi 模型提供了包含一阶和二阶转变的更丰富的相结构。核心问题在于：动力学临界行为（具体而言是缩放指数和 DQPT 的阶数）是严格由平衡转变的阶数决定的，还是会根据所淬火的具体参数通道出现不同的动力学普适类？

研究方法
作者采用精确对角化（ED）方法求解了半填充状态下规模为 $j=300$（对应 $N=600$ 个费米子）的扩展 Agassi 哈密顿量。研究通过三个主要的分析阶段进行：

1. 平衡分析： 作者对驱动 $\Sigma$、$\chi$ 和 $\Lambda$ 的有序参数进行有限尺寸缩放，以确定临界指数（$\beta$）。这建立了基准平衡普适类。
2. 非平衡动力学： 在对单个参数（$\Sigma$、$\chi$ 或 $\Lambda$）跨越相边界进行突变淬火后，作者计算了 Loschmidt 回声 $L(t) = |\langle \psi_i | e^{-iHt} | \psi_i \rangle|^2$ 以及强度返回率函数 $\lambda(t) = -\lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \ln L(t)$。通过识别 $\lambda(t)$ 在临界时间 $t_c$ 处出现的非解析性（尖点）来确定 DQPT。
3. 缩放与表征：
   • 动力学指数： 通过关系式 $|\lambda(t) - \lambda(t_c)| \propto |t - t_c|^{\alpha_p}$ 分析返回率函数在临界时间附近的局部缩放行为，从而提取每个参数通道（$p \in \{\Sigma, \chi, \Lambda\}$）的动力学临界指数 $\alpha_p$。
   • Fisher 零点： 将 Loschmidt 振幅解析延拓到复时间平面（$z = t + i\tau$）以定位 Fisher 零点。通过检查这些零点的分布及其向实时间轴的趋近方式，来证实 DQPT 的存在及其阶数。
   • 导数分析： 计算 $\lambda(t)$ 的一阶和二阶时间导数，以对 DQPT 的阶数进行分类（一阶 DQPT 表现为一阶导数不连续，二阶则为二阶导数不连续）。

主要结果

• 平衡临界性：

  • $\chi$ 驱动的转变（对称相到 Hartree-Fock 变形相）被确定为连续（二阶）转变。对于 $j=300$，有限尺寸缩放得到的有序参数指数 $\beta \approx 0.53$，趋向于平均场值 $\beta = 1/2$，这与 LMG 和 Dicke 普适类一致。
  • $\Sigma$ 驱动和 $\Lambda$ 驱动的转变被确定为一阶转变，其特征是有序参数的间断变化且临界指数消失（$\beta \approx 0$）。

• 非平衡动力学 (DQPTs)：

  • 跨越所有三个参数通道的淬火都在返回率函数中产生了显著的尖点结构，标志着 DQPT 的发生。
  • 至关重要的是，发生 DQPT 的临界时间 $t_c$ 并不一定与平衡临界点重合；它们受初始态与淬火后激发谱重叠程度的支配。
  • 不同的动力学缩放： 研究为每个通道提取了不同的动力学临界指数（$\alpha$）：
    • $\chi$ 驱动（二阶平衡）：$\alpha_\chi \simeq 2/3$ ($0.6225 \pm 0.0285$)。
    • $\Lambda$ 驱动（一阶平衡）：$\alpha_\Lambda \simeq 1/3$ ($0.3191 \pm 0.0124$)。
    • $\Sigma$ 驱动（一阶平衡）：$\alpha_\Sigma \simeq 3/2$ ($1.5373 \pm 0.1243$)。

• DQPT 的阶数：

  • 导数分析证实，$\chi$ 驱动的淬火导致二阶 DQPT（二阶导数奇异），而 $\Sigma$ 和 $\Lambda$ 驱动的淬火导致一阶 DQPT（一阶导数奇异）。
  • Fisher 零点分布显示，零点在确定的临界时间处聚集在实时间轴附近，且不同通道之间的密度和排列方式各异。

意义与主张
本文声称，扩展 Agassi 模型作为一个可处理的代数平台，可用于探索存在竞争相互作用强度的动力学临界现象。主要发现是：动力学临界性并非仅由平衡转变的阶数决定。

具体而言，作者证明了：

1. 不同的参数通道（$\Sigma$、$\chi$、$\Lambda$）导致了截然不同的动力学缩放机制，这由分数幂动力学指数（$\alpha \approx 1/3, 2/3, 3/2$）所证实。
2. 尽管 $\Sigma$ 和 $\Lambda$ 都驱动了一阶平衡转变，但它们表现出迥异的动力学指数（$\alpha_\Sigma \approx 3/2$ 对比 $\alpha_\Lambda \approx 1/3$）。这表明动力学奇异性的局部结构对淬火产生的特定激发谱和重叠结构高度敏感，而非仅仅取决于平衡相边界。
3. 该模型在一个单一的可解系统中揭示了多重动力学缩放机制，挑战了“平衡普适类直接映射到非平衡动力学普适类”的假设。

作者总结道，这些发现提供了一个统一的平衡与动力学视角，将量子临界现象的研究从平衡态扩展到了非平衡态，并强调了进行系统性有限尺寸外推以确认这些分数指数渐近性质的必要性。