ملخص تقني: تحليل الوصول المعتمد على البيانات عبر الإنترنت باستخدام المربعات الصغرى المتكررة الزونوتوبية (Zonotopic Recursive Least Squares)

1. بيان المشكلة

تتطلب الأنظمة السيبرانية الفيزيائية (CPS) الحديثة التحقق الرسمي من السلامة لضمان عدم دخولها في حالات غير آمنة. ويعد "تحليل الوصول" (Reachability Analysis) تقنية أساسية لهذا الغرض، حيث يهدف إلى حساب مجموعة كافة الحالات التي يمكن للنظام الوصول إليها بالنظر إلى الظروف الأولية، والمدخلات، وضجيج العمليات غير المؤكدة.

تعتمد الأساليب النموذجية (Model-based) الكلاسيكية على ديناميكيات تحليلية دقيقة ومحددة مسبقاً. ومع ذلك، في العديد من سيناريوهات العالم الحقيقي، يكون بناء نموذج نظام دقيق أمراً غير سهل أو مستحيلاً بسبب الديناميكيات المعقدة أو المجهولة أو المتغيرة زمنياً. ومن ناحية أخرى، غالباً ما تتطلب الأساليب المعتمدة على البيانات (Data-driven) الموجودة حالياً كميات كبيرة من البيانات المجمعة مسبقاً (offline) لبناء مجموعة من النماذج المتسقة. وتواجه هذه الطرق التي تعتمد على الدفعات (batch methods) صعوبة عندما تتغير نماذج النظام بمرور الوقت (الديناميكيات المتغيرة زمنياً - LTV) أو عندما يكون جمع البيانات مسبقاً غير ممكن. علاوة على على ذلك، تفرض الأنظمة عالية الأبعاد تحديات تتعلق بقابلية التوسع للأساليب التي تحل معادلات هاملتون-جاكوبي الجزئية (Hamilton-Jacobi PDEs).

تعالج هذه الورقة تحدي حساب مجموعات الوصول المبالغ في تقديرها (over-approximated reachable sets) للأنظمة ذات الزمن المنفصل حيث:

1. نموذج النظام غير معروف.
2. تتوفر فقط قياسات المدخلات والحالة المزعجة (noisy) عبر الإنترنت (online).
3. قد تكون ديناميكيات النظام متغيرة زمنياً (خطية متغيرة زمنياً LTV) أو غير خطية (متصلة ليبشيتز - Lipschitz continuous).
4. لا تتوفر أي مجموعات بيانات مسجلة مسبقاً للتعرف الأولي على النموذج.

2. المنهجية

يتكون الإطار المقترح من مكونين رئيسيين: طريقة تقدير بارامترات متكررة، وخوارزمية انتشار الوصول المعتمدة على البيانات.

2.1 المربعات الصغرى المتكررة الزونوتوبية ذات النسيان الأسي (EF-ZRLS)

لتقدير نماذج النظام المتغيرة زمنياً وغير المعروفة من البيانات المزعجة، يقترح المؤلفون طريقة EF-ZRLS. وبخلاف طريقة المربعات الصغرى المتكررة (RLS) القياسية التي تقدر نقطة واحدة، تقوم EF-ZRLS بتقدير مجموعة من النماذج (ممثلة كـ "مصفوفة زونوتوب" - matrix zonotope) تضمن احتواء المعلمات الحقيقية للنظام داخلها.

• التقدير القائم على المجموعات: تحافظ الطريقة على "مصفوفة زونوتوب" متغيرة زمنياً $\mathcal{M}_k = \langle C_k, G_k \rangle$، حيث $C_k$ هي مصفوفة المركز و $G_k$ هي مصفوفة المولد. وتضمن الطريقة أن مصفوفة المعلمات الحقيقية $\theta_{tr,k}$ تقع ضمن هذه المجموعة.
• التعامل مع الضجيج والتغيرات: تأخذ الطريقة في الاعتبار:
  • ضجيج القياس ($v_k$): محصور ضمن زونوتوب معروف.
  • تغيرات المعلمات ($\delta \theta_k$): يُفترض أن النموذج يتغير ببطء، مع تغيرات محصورة ضمن زونوتوب معروف.
• النسيان الأسي: يتم إدخال عامل نسيان $\lambda \in (0, 1]$. يعمل هذا العامل على تقليل تأثير البيانات الماضية أسياً على تحديث التباين (covariance update)، مما يسمح للمقدر بالتكيف مع الديناميكيات المتغيرة زمنياً.
• الكسب الأمثل: يشتق المؤلفون كسب تصحيح أمثلي $K_k^*$ يقلل من أثر مصفوفة التباين (حجم المجموعة المقدرة)، مما يضمن أدق تقريب مبالغ فيه ممكن بالنظر إلى حدود الضجيج.
• الصيغة المتجهة مقابل المصفوفية: تمت صياغة الطريقة لنماذج الانحدار متعددة المخرجات باستخدام مصفوفات الزونوتوب، لتجنب العبء الحسابي الناتج عن التحويل إلى صيغ التبديل المتجهية (والتي تزيد من الأبعاد عبر حاصل الضرب كرونيكر).

2.2 تحليل الوصول المعتمد على البيانات

باستخدام مجموعة النماذج المتغيرة زمنياً المقدرة، يقوم الإطار بحساب مجموعات الوصول الأمامية لفئتين من الأنظمة:

1. الأنظمة الخطية المتغيرة زمنياً (LTV):

   • يتم نمذجة النظام كـ $x_{k+1} = A_{tr,k}x_k + B_{tr,k}u_k + w_k$.
   • تقوم الخوارزمية (الخوارزمية 1) بتحديث مجموعة النموذج بشكل متكرر باستخدام EF-ZRLS.
   • للتعامل مع نقص البيانات الجديدة أثناء أفق التنبؤ، تفترض الطريقة أن تغير النموذج محصور ضمن ثابت معروف ($\sigma_{AB}$) وتقوم بتوسيع مجموعة النموذج بناءً على ذلك.
   • يتم إضافة حد خطأ التعميم المكاني ($Z_\epsilon$) لمراعاة كثافة البيانات بالنسبة لفضاء الحالة-المدخلات المستمر.

2. الأنظمة غير الخطية (Lipschitz):

   • يتم تقريب الدالة غير الخطية $f(x_k, u_k)$ عبر توسيع تايلور من الدرجة الأولى حول نقطة خطية، مما ينتج عنه نموذج خطي متغير زمنياً بالإضافة إلى حد باقٍ (Lagrange remainder) $L(z_k)$.
   • تقوم EF-ZRLS بتقدير معلمات النموذج الخطي المتغير زمنياً.
   • يتم المبالغة في تقدير الحد الباقي $L(z_k)$ باستخدام زونوتوب ($Z_L$) مشتق من البيانات في نافذة منزلقة، بالاستفادة من فرضية استمرارية ليبشيتز.
   • يتم إضافة حد خطأ إضافي ($Z_{\bar{\epsilon}}$) لمراعاة ثابت ليبشيتز وكثافة البيانات.

3. المساهمات الرئيسية

تحدد الورقة أربع مساهمات رئيسية:

1. طريقة EF-ZRLS: مُقدّر متكرر جديد قائم على المجموعات لنماذج الانحدار متعددة المخرجات والمتغيرة زمنياً مع ضجيج محصور. تثبت الورقة مثالية المُقدّر وتستنتج كسب التصحيح الأمثل (النظرية 1).
2. خوارزمية وصول LTV: خوارزمية (الخوارزمية 1) لحساب مجموعات الوصول المبالغ في تقديرها للأنظمة الخطية المتغيرة زمنياً (LTV) الخاضعة لضجيج عمليات وتغيرات في النموذج محصورة (النظرية 2).
3. خوارزمية وصول الأنظمة غير الخطية (Lipschitz): امتداد (الخوارزمية 2) لحساب مجموعات الوصول المبالغ في تقديرها لفئة من الأنظمة غير الخطية ذات الزمن المنفصل (Lipschitz) (النظرية 3).
4. التحقق من الصحة: التحقق الشامل من خلال المحاكاة العددية وتجربة واقعية على مركبة ذاتية القيادة، مع مقارنة الطريقة المقترحة بأساليب المربعات الصغرى (LS) المعتمدة على الدفعات (Batch LS) الموجودة.

4. النتائج والتقييم

يقيم المؤلفون الطريقة المقترحة مقابل نهج المربعات الصغرى للدفعات (من المرجع [2]) باستخدام ثلاثة سيناريوهات:

• نظام LTV (معلمات ثابتة): في سيناريو لا توجد فيه تغيرات في المعلمات، تتقارب طريقة EF-ZRLS المقترحة مع نفس مجموعة الوصول التي تنتجها طريقة المربعات الصغرى للدفعات بعد عدد كافٍ من التكرارات، مما يؤكد اتساق النهج المتكرر.
• نظام LTV (معلمات متغيرة زمنياً): عندما تتغير معلمات النظام بمرور الوقت، تفشل طريقة المربعات الصغرى للدفعات في المبالغة في تقدير مجموعات الوصول الحقيقية (لأنها تعتمد على بيانات ثابتة مجمعة مسبقاً). في المقابل، تنجح طريقة EF-ZRLS المقترحة في تتبع الديناميكيات المتغيرة والحفاظ على تقريب صالح للمجموعات.
• نظام غير خطي (Lipschitz) (مفاعل CSTR): عند تطبيق الطريقة على نموذج مفاعل الخزان ذو التحريك المستمر (CSTR)، تعطي الطريقة المقترحة مجموعات وصول أقل تحفظاً من طريقة المربعات الصغرى للدفعات. ويعزى ذلك إلى التحديث المتكرر للنموذج الخطي والتقدير المحلي للحد الباقي، بينما تحسب طريقة الدفعات حداً باقياً عالمياً (global) على كامل مجموعة البيانات المجمعة مسبقاً.
• تجربة واقعية (مركبة ذاتية القيادة): باستخدام روبوت JetRacer، تم اختبار الطريقة تحت شرطين:
  1. بيئة ثابتة: أنتجت الطريقة مجموعات أقل تحفظاً من طريقة المربعات الصغرى للدفعات دون الحاجة إلى بيانات مجمعة مسبقاً.
  2. بيئة ديناميكية (تغيير الحمولة): تمت إضافة حمولة وزنها 2 كجم إلى المركبة، لمحاكاة تغيير في النموذج. ظلت الطريقة المقترحة قوية وصالحة، بينما فشلت طريقة المربعات الصغرى للدفعات في المبالغة في تقدير مجموعات الوصول.

5. الأهمية والادعاءات

تدعي الورقة أن الإطار المقترح يقدم تقدماً كبيراً في تحليل السلامة للأنظمة التي لا تتوفر لها نماذج دقيقة أو التي تتغير ديناميكياتها. وتشمل نقاط الأهمية الرئيسية ما يلي:

• التشغيل عبر الإنترنت (Online Operation): تعمل الطريقة حصرياً على البيانات الآنية، مما يلغي الحاجة إلى تجارب مجمعة مسبقاً، وهو أمر بالغ الأهمية للأنظمة التي تتطور ديناميكياتها أو يصعب جمع بياناتها مسبقاً.
• القوة تجاه التغير الزمني: من خلال استخدام النسيان الأسي والتقدير القائم على المجموعات، تظل الطريقة قوية في ظل الديناميكيات المتغيرة ببطء، وهو ما يمثل قصوراً في طرق تحديد المعلمات الثابتة.
• تقليل التحفظ: ينتج النهج مجموعات وصول (over-approximations) أقل تحفظاً مقارنة بالتقنيات الموجودة، خاصة للأنظمة غير الخطية، وذلك عبر استخدام تحديثات البيانات المحلية بدلاً من التقريبات العالمية.
• قابلية التوسع: يوفر استخدام الزونوتوب والصيغ المصفوفية قابلية توسع أفضل للأنظمة عالية الأبعاد مقارنة بالطرق التي تحل معادلات هاملتون-جاكوبي الجزئية.

يخلص المؤلفون إلى أنه على الرغم من فعالية الطريقة، فإن العمل المستقبلي سيركز على توسيع EF-ZRLS لاستخدام عوامل نسيان تكيفية ($\lambda$) لتقليل تحفظ مجموعات النماذج المقدرة بشكل أكبر.