Sintesi Tecnica: Analisi di Raggiungibilità Online basata su Dati tramite RLS Zonotopico Ricorsivo

1. Definizione del Problema

I moderni sistemi cyber-fisici (CPS) richiedono la verifica formale della sicurezza per garantire che non entrino in stati non sicuri. L'analisi di raggiungibilità è una tecnica primaria per questo scopo, con l'obiettivo di calcolare l'insieme di tutti gli stati che un sistema può raggiungere date condizioni iniziali, input e rumore di processo incerti.

Gli approcci classici basati su modelli si affidano a dinamiche analitiche precise e predefinite. Tuttavia, in molti scenari reali, la costruzione di un modello di sistema esatto è non banale o impossibile a causa di dinamiche complesse, sconosciute o variabili nel tempo. Al contrario, gli approcci esistenti basati sui dati richiedono spesso grandi volumi di dati pre-raccolti offline per costruire un insieme di modelli coerenti. Questi metodi batch faticano quando i modelli di sistema cambiano nel tempo (dinamiche varianti nel tempo o LTV) o quando la raccolta di dati offline non è fattibile. Inoltre, i sistemi ad alta dimensionalità pongono sfide di scalabilità per i metodi che risolvono le equazioni differenziali alle derivate parziali di Hamilton-Jacobi.

Questo articolo affronta la sfida di calcolare insiemi raggiungibili sovra-approssimati per sistemi a tempo discreto dove:

1. Il modello di sistema è sconosciuto.
2. Sono disponibili solo misurazioni di input-stato rumorose online.
3. Le dinamiche del sistema possono essere varianti nel tempo (Lineari a Tempo Variante o LTV) o non lineari (Lipschitz continue).
4. Non sono disponibili dataset pre-registrati offline per l'identificazione iniziale del modello.

2. Metodologia

Il framework proposto consiste in due componenti principali: un metodo di stima dei parametri ricorsivo e un algoritmo di propagazione della raggiungibilità basato sui dati.

2.1 RLS Zonotopico Ricorsivo con Decadimento Esponenziale (EF-ZRLS)

Per stimare i modelli di sistema variabili nel tempo e sconosciuti a partire da dati rumorosi, gli autori propongono il metodo EF-ZRLS. A differenza del Recursive Least Squares (RLS) standard che stima un singolo punto, l'EF-ZRLS stima un insieme di modelli (rappresentato come un zonotopo matriciale) che garantisce di contenere i veri parametri di sistema.

• Stima basata su insiemi: Il metodo mantiene un zonotopo matriciale variabile nel tempo $\mathcal{M}_k = \langle C_k, G_k \rangle$, dove $C_k$ è la matrice centrale e $G_k$ è la matrice generatrice. La vera matrice dei parametri $\theta_{tr,k}$ è garantita di trovarsi all'interno di questo insieme.
• Gestione del rumore e delle variazioni: Il metodo tiene conto di:
  • Rumore di misurazione ($v_k$): Limitato da uno zonotopo noto.
  • Variazioni dei parametri ($\delta \theta_k$): Si assume che il modello sia lentamente variante nel tempo, con variazioni limitate da uno zonotopo noto.
• Decadimento Esponenziale: Viene introdotto un fattore di decadimento $\lambda \in (0, 1]$. Questo fattore riduce esponenzialmente l'influenza dei dati passati sull'aggiornamento della covarianza, permettendo allo stimatore di adattarsi a dinamiche variabili nel tempo.
• Guadagno Ottimale: Gli autori derivano un guadagno di correzione ottimale $K_k^*$ che minimizza la traccia della matrice di covarianza (la dimensione dell'insieme stimato), garantendo la più stretta possibile sovra-approssimazione dati i limiti del rumore.
• Forma Vettoriale vs. Matriciale: Il metodo è formulato per modelli di regressione multi-output utilizzando zonotopi matriciali, evitando l'overhead computazionale della conversione in forme di permutazione vettoriale (che aumenta la dimensionalità tramite prodotti di Kronecker).

2.2 Analisi di Raggiungibilità Basata sui Dati

Utilizzando l'insieme di modelli variabili nel tempo stimato, il framework calcola gli insiemi raggiungibili in avanti per due classi di sistemi:

1. Sistemi Lineari a Tempo Variante (LTV):

   • Il sistema è modellato come $x_{k+1} = A_{tr,k}x_k + B_{tr,k}u_k + w_k$.
   • L'algoritmo (Algoritmo 1) aggiorna ricorsivamente l'insieme del modello usando EF-ZRLS.
   • Per gestire la mancanza di nuovi dati durante l'orizzonte di predizione, il metodo assume che la variazione del modello sia limitata da una costante nota ($\sigma_{AB}$) ed espande l'insieme del modello di conseguenza.
   • Un termine di errore di generalizzazione spaziale ($Z_\epsilon$) viene aggiunto per tenere conto della densità dei dati rispetto allo spazio continuo stato-input.

2. Sistemi Lipschitz Non Lineari:

   • La funzione non lineare $f(x_k, u_k)$ viene approssimata tramite un'espansione di Taylor del primo ordine attorno a un punto di linearizzazione, risultando in un modello lineare variabile nel tempo più un termine residuo di Lagrange $L(z_k)$.
   • L'EF-ZRLS stima i parametri del modello linearizzato variabile nel tempo.
   • Il termine residuo $L(z_k)$ viene sovra-approssimato utilizzando uno zonotopo ($Z_L$) derivato dai dati in una finestra scorrevole, sfruttando l'assunzione di continuità Lipschitz.
   • Un termine di errore aggiuntivo ($Z_{\bar{\epsilon}}$) tiene conto della costante Lipschitz e della densità dei dati.

3. Contributi Principali

Il documento delinea quattro contributi primari:

1. Metodo EF-ZRLS: Un nuovo stimatore ricorsivo basato su insiemi per modelli di regressione multi-output variabili nel tempo con rumore limitato. Il documento stabilisce l'ottimalità dello stimatore e deriva il guadagno di correzione ottimale (Teorema 1).
2. Algoritmo di Raggiungibilità LTV: Un algoritmo (Algoritmo 1) per calcolare insiemi raggiungibili sovra-approssimati per sistemi LTV a tempo discreto soggetti a rumore di processo e variazioni di modello limitati (Teorema 2).
3. Algoritmo di Raggiungibilità Lipschitz Non Lineare: Un'estensione (Algoritmo 2) per calcolare insiemi raggiungibili sovra-approssimati per una classe di sistemi non lineari Lipschitz a tempo discreto (Teorema 3).
4. Validazione: Validazione completa attraverso simulazioni numeriche e un esperimento nel mondo reale su un veicolo autonomo, confrontando il metodo proposto con gli approcci esistenti di Least Squares (LS) batch.

4. Risultati e Valutazione

Gli autori valutano il metodo proposto rispetto a un approccio LS batch (dalla referenza [2]) utilizzando tre scenari:

• Sistema LTV (Parametri Statici): In uno scenario senza cambiamenti di parametri, il metodo EF-ZRLS proposto converge allo stesso insieme raggiungibile del metodo LS batch dopo un numero sufficiente di iterazioni, validando la coerenza dell'approccio ricorsivo.
• Sistema LTV (Parametri Variabili nel Tempo): Quando i parametri del sistema cambiano nel tempo, il metodo LS batch fallisce nel sovra-approssimare i veri insiemi raggiungibili (poiché si basa su dati statici offline). Al contrario, l'EF-ZRLS proposto traccia con successo le dinamiche variabili e mantiene una sovra-approssimazione valida.
• Sistema Lipschitz Non Lineare (CSTR): Applicato a un modello di Reattore a Miscelazione Continua (CSTR), il metodo proposto produce insiemi raggiungibili meno conservativi rispetto al metodo LS batch. Ciò è attribuito all'aggiornamento ricorsivo del modello linearizzato e alla stima localizzata del residuo di Lagrange, mentre il metodo batch calcola un residuo globale su l'intero dataset offline.
• Esperimento nel Mondo Reale (Veicolo Autonomo): Utilizzando un robot JetRacer, il metodo è stato testato in due condizioni:
  1. Ambiente Statico: Il metodo ha prodotto insiemi meno conservativi rispetto al metodo LS batch senza richiedere dati pre-raccolti.
  2. Ambiente Dinamico (Cambio di Carico): Un carico di 2 kg è stato aggiunto al veicolo, simulando un cambiamento del modello. Il metodo proposto è rimasto robusto e valido, mentre il metodo LS batch ha fallito nel sovra-approssimare gli insiemi raggiungibili.

5. Significato e Rivendicazioni

Il documento afferma che il framework proposto offre un avanzamento significativo nell'analisi della sicurezza per sistemi in cui i modelli accurati non sono disponibili o sono variabili nel tempo. I punti chiave di significatività includono:

• Operatività Online: Il metodo opera esclusivamente su dati in tempo reale, eliminando la necessità di esperimenti offline pre-registrati, il che è cruciale per sistemi in cui le dinamiche evolvono o la raccolta di dati offline è difficile.
• Robustezza alla Variabilità Temporale: Utilizzando il decadimento esponziale e la stima basata su insiemi, il metodo rimane robusto sotto dinamiche lentamente variabili, un limite dei metodi di identificazione batch statici.
• Riduzione del Conservativismo: L'approccio produce sovra-approssimazioni degli insiemi raggiungibili meno conservative rispetto alle tecniche esistenti, in particolare per i sistemi non lineari, utilizzando aggiornamenti di dati locali invece di approssimazioni offline globali.
• Scalabilità: L'uso di zonotopi e formulazioni matriciali offre una migliore scalabilità per sistemi ad alta dimensionalità rispetto ai metodi che risolvono le equazioni differenziali parziali di Hamilton-Jacobi.

Gli autori concludono che, sebbene il metodo sia efficace, il lavoro futuro si concentrerà sull'estensione dell'EF-ZRLS per utilizzare fattori di decadimento ($\lambda$) adattivi per ridurre ulteriormente il conservativismo degli insiemi di modelli stimati.