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Online Data-Driven Reachability Analysis using Zonotopic Recursive Least Squares

本文提出了一种数据驱动的可达性分析框架，该框架利用指数遗忘分带状递归最小二乘法（EF ZRLS）从在线噪声测量中递归估计时变系统模型，从而在无需先验模型知识或离线实验的情况下，为线性时变系统和非线性 Lipschitz 系统计算出保守性较低的前向可达集。

原作者： Alireza Naderi, Amr Hegazy, Amr Alanwar

发布于 2026-08-12

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CC BY 4.0

原作者： Alireza Naderi, Amr Hegazy, Amr Alanwar

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一下你正在试图预测一个失控购物车的下一步走向。在工程学和机器人领域，这被称为可达性分析（reachability analysis）。这是一种安全检查，它在问：“如果我们从这里出发，如果风吹了一下，或者轮子打滑了一点，物体最终可能会落在哪里？”如果我们能在所有这些可能的未来位置周围画出一个巨大的、安全的“气泡”，我们就能确保购物车不会滚进繁忙的街道或脆弱的花坛里。

传统上，工程师们试图通过编写一个关于购物车运动的完美数学公式来绘制这个气泡。他们需要知道购物车的精确重量、车轮的摩擦力以及风的力量。但在现实世界中，事物是不断变化的。购物车可能会换个新轮子，或者地面可能会变湿。如果你的数学公式哪怕只有一点点错误，你的安全气泡可能就会画得太小，从而导致灾难。这就是为什么科学家们正在寻找一种更聪明的方法：一种仅仅通过观察购物车滚动就能学习游戏规则的方法，而不需要预先拥有一个完美的公式。这篇论文讲述了如何构建这样一个“边看边学”的安全气泡，即使在物体的行为随时间变化时也能实时构建。

这篇论文的核心思想：“健忘型”安全网

作者 Alireza Naderi 及其团队开发了一种仅使用实时数据来绘制这些安全气泡的新方法。他们没有尝试去死记硬背整个购物车运动的历史（这可能既缓慢又僵化），而是使用了一个巧妙的技巧，叫做指数遗忘带状区域递归最小二乘法（Exponentially Forgetting Zonotopic Recursive Least Squares，简称 EF-ZRLS）。

把这种方法想象成一个非常聪明、但有点“健忘”的侦探。想象一下，你正在试图猜测一辆不断更换引擎的汽车的速度。

旧方法（批处理最小二乘法/Batch Least Squares）： 旧的侦探会等到一天结束，收集早晨所有的时速表读数，然后进行大规模计算来猜测速度。如果汽车在中午更换了引擎，侦探的计算就会出错，因为他把早上的数据和下午的数据混在一起了。
新方法（EF-ZRLS）： 新的侦探只关注最近几分钟的情况。如果汽车加速了，侦探会立即更新他的猜测，并“忘记”之前较慢的速度。这使他能够追踪一台不断变换引擎或行驶在不同路面的汽车。

名称中的“Zonotopic”（带状区域）只是一个高级几何术语（类似于拉伸的多维菱形形状），用于绘制安全气泡。它非常高效，能防止数学计算过于沉重而无法由计算机实时处理。

它是如何工作的：滑动窗口

他们发现的核心是一个“滑动窗口”方法。随着系统（如机器人或汽车）的移动，该方法会不断抓取最新的数据点——例如，过去 5 秒内的运动数据——并利用它们来估计系统的当前“个性”（即其数学模型）。

由于系统可能存在噪声（传感器可能有点模糊）或发生变化（机器人可能拿起了一个重箱子），该方法不仅仅是猜测一个单一的速度或方向数值。相反，它会计算一个可以解释所发生情况的所有可能模型的集合。这就像是在说：“这辆车可能在每小时 10 到 12 英里的速度之间行驶，且转向角度可能在 5 到 7 度之间。”即使存在噪声，这个集合也能保证包含系统的真实行为。

一旦有了这个“可能模型的集合”，他们就会利用它来预测系统下一步将走向何方。他们在预测的未来位置周围绘制一个新的安全气泡。如果系统突然发生变化（比如机器人拿起了那个重箱子），他们算法中的“遗忘”机制就会启动，丢弃旧数据，并重新绘制气泡以适应新的现实。

他们的发现：更好的安全性，更少的等待

团队通过三种不同的方式测试了他们的想法，结果非常理想：

变化的直线： 他们模拟了一个规则随时间发生微小变化的系统。旧方法（使用所有过去的数据）无法保持足够大的安全气泡，这意味着它认为系统比实际情况更安全。然而，新方法保持了气泡大小的完美匹配，确保了即使在系统发生变化时也能保证安全。
摇晃的机器人： 他们在一个化学反应器（一个复杂的、摇晃的系统）的模拟实验中测试了它。新方法创建了一个比旧方法更紧凑、更准确的安全气泡，这意味着它在保持安全的同时，浪费的空间更少。
真实的机器人赛车： 他们使用了一辆真实的自主驾驶赛车（JetRacer）进行测试。在一次测试中，他们增加了一个 2 公斤的重量来模拟突然的变化。旧方法变得混乱，无法正确预测赛车的路径。然而，新方法能够立即适应，在赛车变重时重新计算安全气泡，并成功预测了赛车的行驶轨迹。

为什么这很重要

这篇论文最令人兴奋的部分在于它不需要“训练阶段”。你不需要在开始使用安全系统之前记录数小时的数据。它是**在线（online）**工作的，这意味着它在机器人实际移动时进行学习和更新。

这对于自动驾驶汽车或医疗机器人等领域来说意义重大。如果一辆自动驾驶汽车遇到了冰面，或者机械臂拿起了一个重工具，系统需要立刻知道其运动规则已经发生了变化。这种新方法允许计算机说：“好吧，规则变了，让我们立即重新绘制安全气泡”，而无需停止并从头开始重新计算一切。

作者通过模拟和现实世界的实验证明了他们的方法是有效的，证明了它是鲁棒的、保守性较低的（意味着不浪费空间），并且能够处理那些在移动过程中改变自身特性的系统。这是迈向让自主系统不仅聪明而且能在复杂多变的世界中实现高度适应与安全的一大步。

技术摘要：基于分量递归最小二乘法的在线数据驱动可达性分析

1. 问题陈述

现代信息物理系统（CPS）需要形式化安全验证，以确保其不会进入不安全状态。可达性分析是实现这一目标的主要技术，旨在计算给定不确定初始条件、输入和过程噪声时，系统可能到达的所有状态集合。

传统的基于模型的方法依赖于精确的、预定义的解析动力学模型。然而，在许多现实场景中，构建精确的系统模型是非常困难甚至不可能的，因为动力学过程可能复杂、未知或随时间变化。相反，现有的数据驱动方法通常需要大量的预收集离线数据来构建一组一致的模型。这些批处理方法在面对系统模型随时间变化（时变动力学）或无法进行离线数据采集的情况时表现不佳。此外，高维系统对于求解 Hamilton-Jacobi 偏微分方程的方法提出了可扩展性的挑战。

本文解决了在以下情况下计算过近似可达集的挑战：

系统模型未知。
仅有在线、带噪声的输入-状态测量值可用。
系统动力学可能是时变的（线性时变 LTV）或非线性的（Lipschitz 连续）。
没有用于初始模型识别的预录制离线数据集。

2. 方法论

所提出的框架由两个主要部分组成：一个递归参数估计方法和一个数据驱动的可达性传播算法。

2.1 指数遗忘分量递归最小二乘法 (EF-ZRLS)

为了从带噪声的数据中估计未知的时变系统模型，作者提出了 EF-ZRLS 方法。与估计单个点的标准递归最小二乘法（RLS）不同，EF-ZRLS 估计的是一个模型集合（由矩阵分量表示），该集合保证包含真实的系统参数。

基于集合的估计： 该方法维护一个时变矩阵分量 $\mathcal{M}_k = \langle C_k, G_k \rangle$ ，其中 $C_k$ 是中心矩阵， $G_k$ 是生成矩阵。真实的参数矩阵 $\theta_{tr,k}$ 被保证位于该集合内。
处理噪声与变化： 该方法考虑了：
- 测量噪声 ( $v_k$ )： 由已知分量界定。
- 参数变化 ( $\delta \theta_k$ )： 假设模型是缓慢时变的，其变化由已知分量界定。
指数遗忘： 引入了一个遗忘因子 $\lambda \in (0, 1]$ 。该因子按指数级降低过去数据对协方差更新的影响，使估计器能够适应时变动力学。
最优增益： 作者推导出了一个最优修正增益 $K_k^*$ ，它通过最小化协方差矩阵的迹（即估计集合的大小），确保在给定噪声界限下获得最紧凑的过近似。
向量与矩阵形式： 该方法针对多输出回归模型采用矩阵分量进行建模，避免了转换为向量排列形式（通过 Kronecker 积增加维度）带来的计算开销。

2.2 数据驱动的可达性分析

利用估计的时变模型集合，该框架为两类系统计算前向可达集：

线性时变 (LTV) 系统：
- 系统建模为 $x_{k+1} = A_{tr,k}x_k + B_{tr,k}u_k + w_k$ 。
- 算法（算法 1）递归地使用 EF-ZRLS 更新模型集合。
- 为了处理在预测时界内缺乏新数据的问题，该方法假设模型变化由已知常数 ( $\sigma_{AB}$ ) 界定，并据此扩展模型集合。
- 加入了一个空间泛化误差项 ( $Z_\epsilon$ )，以解释数据相对于连续状态-输入空间的密度。
非线性 Lipschitz 系统：
- 非线性函数 $f(x_k, u_k)$ 通过在线性化点附近的阶一泰勒展开进行近似，从而得到一个时变线性模型加上一个拉格朗日余项 $L(z_k)$ 。
- EF-ZRLS 估计时变线性化模型的参数。
- 余项 $L(z_k)$ 利用 Lipschitz 连续性假设，通过滑动窗口中的数据推导出分量 $Z_L$ 进行过近似。
- 额外的误差项 ( $Z_{\bar{\epsilon}}$ ) 用于解释 Lipschitz 常数和数据密度。

3. 主要贡献

本文概述了四个主要贡献：

EF-ZRLS 方法： 一种针对带界限噪声的时变多输出回归模型的创新型基于集合的递归估计器。论文确立了估计器的最优性并推导出了最优修正增益（定理 1）。
LTV 可达性算法： 一个用于计算受限过程噪声和模型变化影响的离散时间 LTV 系统过近似可达集的算法（算法 1）（定理 2）。
非线性 Lipschitz 可达性算法： 一个扩展算法（算法 2），用于计算一类离散时间非线性 Lipschitz 系统的过近似可达集（定理 3）。
验证： 通过数值模拟和在自主驾驶车辆上的真实实验，将所提方法与现有的批处理最小二乘法（LS）进行对比，完成了全面的验证。

4. 结果与评估

作者使用批处理 LS 方法（参考自文献 [2]）在三个场景下对所提方法进行了评估：

LTV 系统（静态参数）： 在没有参数变化的场景下，所提 EF-ZRLS 在经过足够多次迭代后，收敛至与批处理 LS 方法相同的可达集，验证了递归方法的相容性。
LTV 系统（时变参数）： 当系统参数随时间变化时，批处理 LS 方法无法实现对真实可达集的过近似（因为它依赖于静态离线数据）。相比之下，所提 EF-ZRLS 成功追踪了变化的动力学并保持了有效的过近似。
非线性 Lipschitz 系统 (CSTR)： 在应用于连续搅拌反应器（CSTR）模型时，所提方法产生的可达集比批处理 LS 方法具有更低的保守性。这归功于线性化模型的递归更新和局部化的拉格朗日余项估计，而批处理方法则是对整个离线数据集进行全局余项计算。
真实世界实验（自主驾驶车辆）： 使用 JetRacer 机器人，该方法在两种条件下进行了测试：
1. 静态环境： 该方法在无需预收集数据的情况下，产生了比批处理 LS 方法更低保守性的集合。
2. 动态环境（载荷变化）： 为车辆增加了 2kg 的载荷，模拟了模型变化。所提方法保持了鲁棒性和有效性，而批处理 LS 方法则无法实现对可达集的过近似。

5. 意义与主张

本文声称，该框架为缺乏准确模型或模型随时间变化的系统提供了显著的安全分析进展。其核心意义点包括：

在线运行： 该方法仅依靠实时数据运行，消除了对预录制离线实验的需求，这对于动力学不断演化或难以收集离线数据的系统至关重要。
对时变性的鲁棒性： 通过利用指数遗忘和基于集合的估计，该方法在动力学缓慢变化的情况下保持鲁棒，克服了静态批处理识别方法的局限性。
降低保守性： 与现有技术相比，该方法产生的可达集过近似具有更低的保守性，特别是对于非线性系统，因为它利用了局部数据更新而非全局离线近似。
可扩展性： 与求解 Hamilton-Jacobi 偏微分方程的方法相比，使用分量和矩阵形式的方法在处理高维系统时具有更好的可扩展性。

作者总结道，尽管该方法行之有效，但未来的工作将侧重于扩展 EF-ZRLS 以使用自适应遗忘因子 ( $\lambda$ )，从而进一步降低估计模型集合的保守性。