Resumo Técnico: Análise de Alcançabilidade Baseada em Dados Online usando Mínimos Quadrados Recursivos Zonotópicos

1. Definição do Problema

Sistemas ciber-físicos (CPS) modernos exigem verificação de segurança formal para garantir que não entrem em estados inseguros. A análise de alcançabilidade é uma técnica primária para isso, visando computar o conjunto de todos os estados que um sistema pode alcançar dadas condições iniciais, entradas e ruído de processo incertos.

Abordagens clássicas baseadas em modelos dependem de uma dinâmica analítica precisa e pré-definida. No entanto, em muitos cenários do mundo real, construir um modelo de sistema exato é não trivial ou impossível devido a dinâmicas complexas, desconhecidas ou variantes no tempo. Por outro verdade, as abordagens existentes baseadas em dados frequentemente exigem grandes volumes de dados coletados offline para construir um conjunto de modelos consistentes. Esses métodos em lote (batch) têm dificuldade quando os modelos do sistema mudam ao longo do tempo (dinâmicas variantes no tempo) ou quando a coleta de dados offline é inviável. Além disso, sistemas de alta dimensão impõem desafios de escalabilidade para métodos que resolvem equações diferenciais parciais de Hamilton-Jacobi.

Este artigo aborda o desafio de computar conjuntos alcançáveis sobre-aproximados para sistemas de tempo discreto onde:

1. O modelo do sistema é desconhecido.
2. Apenas medições de entrada-estado ruidosas e online estão disponíveis.
3. As dinâmicas do sistema podem ser variantes no tempo (Lineares Variantes no Tempo ou LTV) ou não lineares (Lipschitz contínuas).
4. Não há conjuntos de dados pré-gravados offline disponíveis para identificação inicial do modelo.

2. Metodologia

O framework proposto consiste em dois componentes principais: um método de estimativa de parâmetros recursivo e um algoritmo de propagação de alcançabilidade baseado em dados.

2.1 Mínimos Quadrados Recursivos Zonotópicos com Esquecimento Exponencial (EF-ZRLS)

Para estimar os modelos de sistema variantes no tempo e desconhecidos a partir de dados ruidosos, os autores propõem o método EF-ZRLS. Diferente do Mínimos Quadrados Recursivos (RLS) padrão, que estima um ponto único, o EF-ZRLS estima um conjunto de modelos (representado como um zonotopo de matriz) que é garantido conter os parâmetros reais do sistema.

• Estimativa Baseada em Conjuntos: O método mantém um zonotopo de matriz variante no tempo $\mathcal{M}_k = \langle C_k, G_k \rangle$, onde $C_k$ é a matriz central e $G_k$ é a matriz geradora. A matriz de parâmetros real $\theta_{tr,k}$ está garantida dentro deste conjunto.
• Tratamento de Ruído e Variações: O método contabiliza:
  • Ruído de Medição ($v_k$): Limitado por um zonotopo conhecido.
  • Variações de Parâmetros ($\delta \theta_k$): Assume-se que o modelo varia lentamente no tempo, com mudanças limitadas por um zonotopo conhecido.
• Esquecimento Exponencial: Um fator de esquecimento $\lambda \in (0, 1]$ é introduzido. Este fator diminui exponencialmente a influência dos dados passados na atualização da covariância, permitindo que o estimador se adapte a dinâmicas variantes no tempo.
• Ganho Ótimo: Os autores derivam um ganho de correção ótimo $K_k^*$ que minimiza o traço da matriz de covariância (o tamanho do conjunto estimado), garantindo a sobre-aproximação mais estreita possível dado os limites de ruído.
• Forma Vetorial vs. Matriz: O método é formulado para modelos de regressão de múltiplas saídas usando zonotopos de matriz, evitando o overhead computacional de converter para formas de permutação vetorial (que aumenta a dimensionalidade via produtos de Kronecker).

2.2 Análise de Alcançabilidade Baseada em Dados

Utilizando o conjunto de modelos variantes no tempo estimado, o framework computa conjuntos alcançáveis para frente para duas classes de sistemas:

1. Sistemas Lineares Variantes no Tempo (LTV):

   • O sistema é modelado como $x_{k+1} = A_{tr,k}x_k + B_{tr,k}u_k + w_k$.
   • O algoritmo (Algoritmo 1) atualiza recursivamente o conjunto do modelo usando EF-ZRLS.
   • Para lidar com a falta de novos dados durante o horizonte de predição, o método assume que a variação do modelo é limitada por uma constante conhecida ($\sigma_{AB}$) e expande o conjunto do modelo adequadamente.
   • Um termo de erro de generalização espacial ($Z_\epsilon$) é adicionado para considerar a densidade dos dados em relação ao espaço contínuo estado-entrada.

2. Sistemas Lipschitz Não Lineares:

   • A função não linear $f(x_k, u_k)$ é aproximada via uma expansão de Taylor de primeira ordem em torno de um ponto de linearização, resultando em um modelo linear variante no tempo mais um termo de resto de Lagrange $L(z_k)$.
   • O EF-ZRLS estima os parâmetros do modelo linearizado variante no tempo.
   • O termo de resto $L(z_k)$ é sobre-aproximado usando um zonotopo ($Z_L$) derivado dos dados em uma janela deslizante, aproveitando a suposição de continuidade de Lipschitz.
   • Um termo de erro adicional ($Z_{\bar{\epsilon}}$) contabiliza a constante de Lipschitz e a densidade dos dados.

3. Principais Contribuições

O artigo descreve quatro contribuições primárias:

1. Método EF-ZRLS: Um novo estimador recursivo baseado em conjuntos para modelos de regressão de múltiplas saídas variantes no tempo com ruído limitado. O artigo estabelece a otimalidade do estimador e deriva o ganho de correção ótimo (Teorema 1).
2. Algoritmo de Alcançabilidade LTV: Um algoritmo (Algoritmo 1) para computar conjuntos alcançáveis para frente para sistemas LTV de tempo discreto sujeitos a ruído de processo e variações de modelo limitados (Teorema 2).
3. Algoritmo de Alcançabilidade Lipschitz Não Linear: Uma extensão (Algoritmo 2) para computar conjuntos alcançáveis para frente para uma classe de sistemas não lineares Lipschitz de tempo discreto (Teorema 3).
4. Validação: Validação abrangente através de simulações numéricas e um experimento no mundo real em um veículo autônomo, contrastando o método proposto com abordagens de Mínimos Quadrados (LS) em lote existentes.

4. Resultados e Avaliação

Os autores avaliam o método proposto contra uma abordagem de LS em lote (da referência [2]) usando três cenários:

• Sistema LTV (Parâmetros Estáticos): Em um cenário sem mudanças de parâmetros, o EF-ZRLS proposto converge para o mesmo conjunto alcançável que o método LS em lote após um número suficiente de iterações, validando a consistência da abordagem recursiva.
• Sistema LTV (Parâmetros Variantes no Tempo): Quando os parâmetros do sistema mudam ao longo do tempo, o método LS em lote falha em sobre-aproximar os conjuntos alcançáveis reais (pois depende de dados estáticos offline). Em contraste, o EF-ZRLS proposto rastreia com sucesso as dinâmicas mutáveis e mantém uma sobre-aproximação válida.
• Sistema Lipschitz Não Linear (CSTR): Aplicado a um modelo de Reator de Tanque Agitado Contínuo (CSTR), o método proposto produz conjuntos alcançáveis menos conservadores do que o método LS em lote. Isso é atribuído à atualização recursiva do modelo linearizado e à estimativa localizada do resto de Lagrange, enquanto o método em lote computa um resto global sobre todo o conjunto de dados offline.
• Experimento no Mundo Real (Veículo Autônomo): Usando um robô JetRacer, o método foi testado sob duas condições:
  1. Ambiente Estático: O método produziu conjuntos menos conservadores que o método LS em lote sem exigir dados pré-coletados.
  2. Ambiente Dinâmico (Mudança de Carga Útil): Uma carga útil de 2kg foi adicionada ao veículo, simulando uma mudança de modelo. O método proposto permaneceu robusto e válido, enquanto o método LS em lote falhou em sobre-aproximar os conjuntos alcançáveis.

5. Significância e Alegações

O artigo alega que o framework proposto oferece um avanço significativo na análise de segurança para sistemas onde modelos precisos não estão disponíveis ou são variantes no tempo. Pontos principais de significância incluem:

• Operação Online: O método opera exclusivamente com dados em tempo real, eliminando a necessidade de experimentos offline pré-gravados, o que é crucial para sistemas onde as dinâmicas evoluem ou a coleta de dados offline é difícil.
• Robustez à Variância Temporal: Ao utilizar o esquecimento exponencial e a estimativa baseada em conjuntos, o método permanece robusto sob dinâmicas que variam lentamente, uma limitação dos métodos de identificação estáticos em lote.
• Redução do Conservadorismo: A abordagem produz sobre-aproximações de conjuntos alcançáveis menos conservadoras em comparação com técnicas existentes, particularmente para sistemas não lineares, ao utilizar atualizações de dados locais em vez de aproximações offline globais.
• Escalabilidade: O uso de zonotopos e formulações de matriz oferece melhor escalabilidade para sistemas de maior dimensão em comparação com métodos que resolvem PDEs de Hamilton-Jacobi.

Os autores concluem que, embora o método seja eficaz, trabalhos futuros focarão na extensão do EF-ZRLS para usar fatores de esquecimento ($\lambda$) adaptativos para reduzir ainda mais o conservadorismo dos conjuntos de modelos estimados.