Resumen Técnico: Análisis de Alcanzabilidad Basado en Datos en Línea mediante Mínimos Cuadrados Recurrentes Zonotópicos

1. Planteamiento del Problema

Los sistemas ciberfísicos (CPS) modernos requieren verificación de seguridad formal para asegurar que no entren en estados inseguros. El análisis de alcanzabilidad es una técnica primordial para esto, cuyo objetivo es computar el conjunto de todos los estados que un sistema puede alcanzar dadas condiciones iniciales, entradas y ruido de proceso inciertos.

Los enfoques clásicos basados en modelos dependen de la dinámica analítica precisa y predefinida. Sin embargo, en muchos escenarios del mundo real, construir un modelo de sistema exacto es no trivial o imposible debido a dinámicas complejas, desconocidas o variables en el tiempo. Por el contrario, los enfoques actuales basados en datos a menudo requieren grandes volúmenes de datos pre-recopilados fuera de línea (offline) para construir un conjunto de modelos consistentes. Estos métodos por lotes (batch) tienen dificultades cuando los modelos del sistema cambian con el tiempo (dinámicas variantes en el tiempo) o cuando la recolección de datos fuera de línea es inviable. Además, los sistemas de alta dimensión plantean desafíos de escalabilidad para los métodos que resuelven ecuaciones diferenciales parciales de Hamilton-Jacobi.

Este artículo aborda el desafío de computar conjuntos alcanzables sobre-aproximados para sistemas de tiempo discreto donde:

1. El modelo del sistema es desconocido.
2. Solo se dispone de mediciones de entrada-estado ruidosas y en línea (online).
3. La dinámica del sistema puede ser variante en el tiempo (Lineal de Tiempo Variable o LTV) o no lineal (Lipschitz continua).
4. No se dispone de conjuntos de datos previos registrados fuera de línea para la identificación inicial del modelo.

2. Metodología

El marco propuesto consta de dos componentes principales: un método de estimación de parámetros recursivo y un algoritmo de propagación de alcanzabilidad basado en datos.

2.1 Mínimos Cuadrados Recurrentes con Olvido Exponencial Zonotópico (EF-ZRLS)

Para estimar los modelos de sistema variantes en el tiempo y desconocidos a partir de datos ruidosos, los autores proponen el método EF-ZRLS. A diferencia de los Mínimos Cuadrados Recurrentes (RLS) estándar que estiman un único punto, el EF-ZRLS estima un conjunto de modelos (representado como un zonotopo matricial) que garantiza contener los parámetros reales del sistema.

• Estimación basada en conjuntos: El método mantiene un zonotopo matricial variante en el tiempo $\mathcal{M}_k = \langle C_k, G_k \rangle$, donde $C_k$ es la matriz central y $G_k$ es la matriz generadora. La matriz de parámetros real $\theta_{tr,k}$ está garantizada dentro de este conjunto.
• Manejo de Ruido y Variaciones: El método tiene en cuenta:
  • Ruido de Medición ($v_k$): Acotado por un zonotopo conocido.
  • Variaciones de Parámetros ($\delta \theta_k$): Se asume que el modelo es lentamente variante en el tiempo, con cambios acotados por un zonotopo conocido.
• Olvido Exponencial: Se introduce un factor de olvido $\lambda \in (0, 1]$. Este factor disminuye exponencialmente la influencia de los datos pasados en la actualización de la covarianza, permitiendo al estimador adaptarse a las dinámicas variantes en el tiempo.
• Ganancia Óptima: Los autores derivan una ganancia de corrección óptima $K_k^*$ que minimiza la traza de la matriz de covarianza (el tamaño del conjunto estimado), asegurando la sobre-aproximación más ajustada posible dado los límites de ruido.
• Forma Vectorial vs. Matricial: El método se formula para modelos de regresión de múltiples salidas utilizando zonotopos matriciales, evitando la sobrecarga computacional de convertir a formas de permutación vectorial (lo que aumenta la dimensionalidad mediante productos de Kronecker).

2.2 Análisis de Alcanzabilidad Basado en Datos

Utilizando el conjunto de modelos variantes en el tiempo estimado, el marco computa conjuntos alcanzables hacia adelante para dos clases de sistemas:

1. Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo (LTV):

   • El sistema se modela como $x_{k+1} = A_{tr,k}x_k + B_{tr,k}u_k + w_k$.
   • El algoritmo (Algoritmo 1) actualiza recursivamente el conjunto del modelo usando EF-ZRLS.
   • Para manejar la falta de nuevos datos durante el horizonte de predicción, el método asume que la variación del modelo está acotada por una constante conocida ($\sigma_{AB}$) y expande el conjunto del modelo en consecuencia.
   • Se añade un término de error de generalización espacial ($Z_\epsilon$) para considerar la densidad de los datos en relación con el espacio continuo estado-entrada.

2. Sistemas Lipschitz No Lineales:

   • La función no lineal $f(x_k, u_k)$ se aproxima mediante una expansión de Taylor de primer orden alrededor de un punto de linealización, lo que resulta en un modelo lineal variante en el tiempo más un término de resto de Lagrange $L(z_k)$.
   • El EF-ZRLS estima los parámetros del modelo linealizado variante en el tiempo.
   • El término de resto $L(z_k)$ se sobre-aproxima utilizando un zonotopo ($Z_L$) derivado de los datos en una ventana deslizante, aprovechando la suposición de continuidad de Lipschitz.
   • Un término de error adicional ($Z_{\bar{\epsilon}}$) da cuenta de la constante de Lipschitz y la densidad de los datos.

3. Contribuciones Clave

El artículo describe cuatro contribuciones primarias:

1. Método EF-ZRLS: Un nuevo estimador recursivo basado en conjuntos para modelos de regresión de múltiples salidas variantes en el tiempo con ruido acotado. El artículo establece la optimalidad del estimador y deriva la ganancia de corrección óptima (Teorema 1).
2. Algoritmo de Alcanzabilidad LTV: Un algoritmo (Algoritmo 1) para computar conjuntos alcanzables sobre-aproximados para sistemas LTV de tiempo discreto sujetos a ruido de proceso acotado y variaciones de modelo (Teorema 2).
3. Algoritmo de Alcanzabilidad Lipschitz No Lineal: Una extensión (Algoritmo 2) para computar conjuntos alcanzables sobre-aproximados para una clase de sistemas no lineales Lipschitz de tiempo discreto (Teorema 3).
4. Validación: Validación exhaustiva mediante simulaciones numéricas y un experimento en el mundo real sobre un vehículo autónomo, contrastando el método propuesto con los enfoques existentes de Mínimos Cuadrados (LS) por lotes.

4. Resultados y Evaluación

Los autores evalúan el método propuesto frente a un enfoque de LS por lotes (de la referencia [2]) utilizando tres escenarios:

• Sistema LTV (Parámetros Estáticos): En un escenario sin cambios de parámetros, el EF-ZRLS propuesto converge al mismo conjunto alcanzable que el método LS por lotes tras un número suficiente de iteraciones, validando la consistencia del enfoque recursivo.
• Sistema LTV (Parámetros Variantes en el Tiempo): Cuando los parámetros del sistema cambian con el tiempo, el método LS por lotes falla al no sobre-aproximar los verdaderos conjuntos alcanzables (ya que depende de datos estáticos fuera de línea). En contraste, el EF-ZRLS propuesto rastrea con éxito las dinámicas cambiantes y mantiene una sobre-aproximación válida.
• Sistema Lipschitz No Lineal (CSTR): Aplicado a un modelo de Reactor de Tanque Agitado Continuo (CSTR), el método propuesto produce conjuntos alcanzables menos conservadores que el método LS por lotes. Esto se atribuye a la actualización recursiva del modelo linealizado y a la estimación localizada del resto de Lagrange, mientras que el método por lotes computa un resto global sobre todo el conjunto de datos fuera de línea.
• Experimento en el Mundo Real (Vehículo Autónomo): Utilizando un robot JetRacer, el método fue probado bajo dos condiciones:
  1. Entorno Estático: El método produjo conjuntos menos conservadores que el método LS por lotes sin requerir datos pre-recopilados.
  2. Entorno Dinámico (Cambio de Carga Útil): Se añadió una carga útil de 2 kg al vehículo, simulando un cambio de modelo. El método propuesto se mantuvo robusto y válido, mientras que el método LS por lotes falló en sobre-aproximar los conjuntos alcanzables.

5. Significado y Reivindicaciones

El artículo afirma que el marco propuesto ofrece un avance significativo en el análisis de seguridad para sistemas donde los modelos precisos no están disponibles o son variantes en el tiempo. Los puntos clave de significancia incluyen:

• Operación en Línea (Online): El método opera únicamente con datos en tiempo real, eliminando la necesidad de experimentos fuera de línea pre-registrados, lo cual es crucial para sistemas donde las dinámicas evolucionan o la recolección de datos fuera de línea es difícil.
• Robustez ante la Variación Temporal: Al utilizar el olvido exponencial y la estimación basada en conjuntos, el método permanece robusto bajo dinámicas que varían lentamente, una limitación de los métodos de identificación estáticos por lotes.
• Reducción del Conservadurismo: El enfoque produce sobre-aproximaciones de conjuntos alcanzables menos conservadoras en comparación con las técnicas existentes, particularmente para sistemas no lineales, al utilizar actualizaciones de datos locales en lugar de aproximaciones globales fuera de línea.
• Escalabilidad: El uso de zonotopos y formulaciones matriciales ofrece una mejor escalabilidad para sistemas de mayor dimensión en comparación con los métodos que resuelven las ecuaciones diferenciales parciales de Hamilton-Jacobi.

Los autores concluyen que, si bien el método es efectivo, el trabajo futuro se centrará en extender el EF-ZRLS para utilizar factores de olvido ($\lambda$) adaptativos para reducir aún más el conservadurismo de los conjuntos de modelos estimados.