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Online Data-Driven Reachability Analysis using Zonotopic Recursive Least Squares

Dieses Paper präsentiert ein datengesteuertes Erreichbarkeitsanalyse-Framework, das die exponentiell vergessende zonotopische rekursive kleinste Quadrate-Methode (EF ZRLS) nutzt, um zeitvariante Systemmodelle aus Online-Rauschmessungen rekursiv zu schätzen, was die Berechnung weniger konservativer Vorwärts-Erreichbarkeitsmengen sowohl für lineare zeitvariable als auch für nichtlineare Lipschitz-Systeme ermöglicht, ohne dass vorheriges Modellwissen oder Offline-Experimente erforderlich sind.

Ursprüngliche Autoren: Alireza Naderi, Amr Hegazy, Amr Alanwar

Veröffentlicht 2026-08-12

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Alireza Naderi, Amr Hegazy, Amr Alanwar

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich vor, Sie versuchen vorherzusagen, wohin ein außer Kontrolle geratener Einkaufswagen als Nächstes rollen wird. In der Welt des Ingenieurwesens und der Robotik nennt man das Reichweitenanalyse (Reachability Analysis). Es ist eine Sicherheitsprüfung, die fragt: „Wenn wir hier starten und der Wind ein wenig weht oder die Räder etwas rutschen, wo könnte dieses Objekt landen?“ Wenn wir eine große, sichere Blase um all diese möglichen zukünftigen Orte zeichnen können, können wir sicherstellen, dass der Wagen niemals auf eine belebte Straße oder in ein empfindliches Blumenbeet rollt.

Traditionell versuchten Ingenieure, diese Blase zu zeichnen, indem sie eine perfekte mathematische Formel aufschrieben, die beschreibt, wie sich der Wagen bewegt. Sie mussten das exakte Gewicht des Wagens, die Reibung der Räder und die Stärke des Windes kennen. Aber in der realen Welt ändern sich die Dinge. Ein Wagen könnte ein neues Rad bekommen oder der Boden könnte nass werden. Wenn Ihre mathematische Formel auch nur leicht falsch ist, könnte Ihre Sicherheitsblase zu klein sein und eine Katastrophe auslösen. Deshalb suchen Wissenschaftler nach einem klügeren Weg: einer Methode, die die Regeln des Spiels lernt, indem sie einfach nur beobachtet, wie der Wagen rollt, ohne vorher eine perfekte Formel zu benötigen. In dieser Arbeit geht es darum, eine solche „Beobachten-und-Lernen“-Sicherheitsblase in Echtzeit aufzubauen, selbst wenn sich das Verhalten des Objekts im laufenden Betrieb ändert.

Die große Idee des Papers: Das „vergessliche“ Sicherheitsnetz

Die Autoren, Alireza Naderi und sein Team, haben eine neue Methode entwickelt, um diese Sicherheitsblasen ausschließlich mit Live-Daten zu zeichnen. Anstatt zu versuchen, die gesamte Historie der Bewegung des Wagens auswendig zu lernen (was langsam und starr sein kann), nutzt ihre Methode einen cleveren Trick namens Exponentially Forgetting Zonotopic Recursive Least Squares (EF-ZRLS).

Stellen Sie sich diese Methode als einen sehr intelligenten, leicht vergesslichen Detektiv vor. Stellen Sie sich vor, Sie versuchen die Geschwindigkeit eines Autos zu erraten, das ständig seinen Motor wechselt.

Der alte Weg (Batch Least Squares): Der alte Detektiv würde bis zum Ende des Tages warten, jede einzelne Tachoablesung vom Morgen sammeln und dann eine massive Berechnung durchführen, um die Geschwindigkeit zu schätzen. Wenn das Auto am Mittag den Motor getauscht hat, wäre die Berechnung des Detektivs falsch, weil er die Morgen-Daten mit den Nachmittags-Daten vermischt.
Der neue Weg (EF-ZRLS): Der neue Detektiv schaut nur auf die letzten paar Minuten. Wenn das Auto schneller fährt, aktualisiert der Detektiv sofort seine Schätzung und „vergisst“ die alte, langsamere Geschwindigkeit. Dies ermöglicht es ihm, ein Auto zu verfolgen, das ständig seinen Motor wechselt oder auf unterschiedlichen Straßen fährt.

Der Teil des Namens „Zonotopic“ ist nur eine schicke geometrische Form (wie ein gestreckter, mehrdimensionaler Diamant), die verwendet wird, um die Sicherheitsblase zu zeichen. Sie ist effizient und sorgt dafür, dass die Mathematik für Computer nicht zu schwer wird, um sie in Echtzeit zu verarbeiten.

Wie es funktioniert: Das gleitende Fenster

Der Kern ihrer Entdeckung ist ein „gleitendes Fenster“-Ansatz (Sliding Window). Während sich das System (wie ein Roboter oder ein Auto) bewegt, greift die Methode ständig die aktuellsten Datenpunkte ab – sagen wir, die Bewegungsdaten der letzten 5 Sekunden – und nutzt diese, um die aktuelle „Persönlichkeit“ (das mathematische Modell) des Systems zu schätzen.

Da das System verrauscht sein kann (Sensoren könnten etwas ungenau sein) oder sich verändern kann (der Roboter könnte einen schweren Kasten aufheben), schätzt die Methode nicht nur eine einzige Zahl für die Geschwindigkeit oder Richtung. Stattdessen berechnet sie einen Satz aller möglichen Modelle, die das Geschehene erklären könnten. Es ist so, als würde man sagen: „Das Auto könnte irgendwo zwischen 10 und 12 mph fahren und könnte zwischen 5 und 7 Grad abbiegen.“ Dieser Satz garantiert, dass das wahre Verhalten des Systems enthalten ist, selbst bei Rauschen.

Sob' sie diesen „Satz möglicher Modelle“ haben, nutzen sie diesen, um vorherzusagen, wohin das System als Nächstes gehen wird. Sie zeichnen eine neue Sicherheitsblase um die vorhergesagten zukünftigen Positionen. Wenn sich das System plötzlich ändert (wie wenn der Roboter diesen schweren Kasten aufhebt), setzt der „Vergessen“-Teil ihres Algorithmus ein, verwirft die alten Daten und zeichnet die Blase neu, damit sie zur neuen Realität passt.

Was sie herausgefunden haben: Bessere Sicherheit, weniger Warten

Das Team hat ihre Idee auf drei verschiedene Arten getestet, und die Ergebnisse waren vielversprechend:

Die sich ändernde Linie: Sie simulierten ein System, bei dem sich die Regeln im Laufe der Zeit leicht änderten. Die alte Methode (die alle vergangenen Daten nutzt) versagte dabei, die Sicherheitsblase groß genug zu halten, was bedeutete, dass sie dachte, das System sei sicherer, als es tatsächlich war. Die neue Methode hingegen hielt die Blase perfekt dimensioniert und stellte so die Sicherheit auch bei Veränderungen des Systems sicher.
Der wackelige Roboter: Sie testeten es an einer Simulation eines chemischen Reaktors (ein komplexes, wackeliges System). Die neue Methode erzeugte eine Sicherheitsblase, die präziser und genauer war als die alte Methode, was bedeutete, dass sie weniger Platz verschwendete und dennoch sicher blieb.
Das echte Roboterauto: Sie nahmen ein echtes autonomes Rennroboter-Modell (einen JetRacer) und ließen es herumfahren. In einem Test fügten sie dem Auto ein 2 kg schweres Gewicht hinzu, um eine plötzliche Änderung zu simulieren. Die alte Methode wurde verwirrt und konnte den Pfad des Autos nicht korrekt vorhersagen. Die neue Methode hingegen passte sich sofort an, berechnete die Sicherheitsblase neu, während das Auto schwerer wurde, und sagte erfolgreich voraus, wohin das Auto fahren würde.

Warum das wichtig ist

Der aufregendste Teil dieses Papers ist, dass es keine „Trainingsphase“ benötigt. Sie müssen nicht Stunden an Daten aufzeichnen, bevor Sie mit der Nutzung des Sicherheitssystems beginnen können. Es arbeitet online, was bedeutet, dass es lernt und seine Sicherheitsblase aktualisiert, während der Roboter tatsächlich fährt.

Dies ist eine riesige Bedeutung für Dinge wie selbstfahrende Autos oder medizinische Roboter. Wenn ein selbstfahrendes Auto auf eine Eisplatte trifft oder ein Roboterarm ein schweres Werkzeug aufnimmt, muss das System jetzt sofort wissen, dass sich seine Bewegungsregeln geändert haben. Diese neue Methode ermöglicht es dem Computer zu sagen: „Okay, die Regeln haben sich geändert, lassen Sie uns die Sicherheitsblase sofort neu zeichnen“, ohne dass er anhalten und alles von Grund auf neu berechnen muss.

Die Autoren haben bewiesen, dass ihre Methode durch Simulationen und reale Experimente funktioniert, und zeigten damit, dass sie robust, weniger konservativ (das heißt, sie verschwendet weniger Platz) und in der Lage ist, Systeme zu handhaben, die sich während der Bewegung ändern. Es ist ein Schritt hin zu autonomen Systemen, die nicht nur intelligent, sondern auch anpassungsfähig und sicher in einer chaotischen, sich verändernden Welt sind.

Technisches Resümee: Online-datengesteuerte Erreichbarkeitsanalyse mittels zonotoper rekursiver kleinster Quadrate

1. Problemstellung

Moderne cyber-physische Systeme (CPS) erfordern formale Sicherheitsverifizierung, um sicherzustellen, dass sie keine unsicheren Zustände erreichen. Die Erreichbarkeitsanalyse ist eine primäre Technik hierfür, die darauf abzielt, die Menge aller Zustände zu berechnen, die ein System unter Berücksichtigung unsicherer Anfangsbedingungen, Eingaben und Prozessrauschens erreichen kann.

Klassische modellbasierte Ansätze stützen sich auf präzise, vordefinierte analytische Dynamiken. In vielen realen Szenarien ist die Konstruktion eines exakten Systemmodells jedoch nicht trivial oder unmöglich aufgrund komplexer, unbekannter oder zeitvarianter Dynamiken. Umgekehrt erfordern bestehende datengesteuerte Ansätze oft große Mengen an vorab gesammelten Offline-Daten, um einen Satz konsistenter Modelle zu konstruieren. Diese Batch-Methoden haben Schwierigkeiten, wenn sich Systemmodelle im Laufe der Zeit ändern (zeitvariante Dynamiken) oder wenn eine Offline-Datenerfassung nicht durchführbar ist. Darüber hinaus stellen hochdimensionale Systeme Skalierbarkeitsprobleme für Methoden dar, die Hamilton-Jacobi-partielle Differentialgleichungen lösen.

Dieses Paper adressiert die Herausforderung, überapproximierte erreichbare Mengen für diskrete Zeitsysteme zu berechnen, bei denen:

Das Systemmodell unbekannt ist.
Nur Online-Messungen von verrauschten Eingangs- und Zustandsgrößen verfügbar sind.
Die Systemdynamiken zeitvariant (Linear Time-Varying, LTV) oder nichtlinear (Lipschitz-stetig) sein können.
Keine vorab aufgezeichneten Offline-Datensätze für die initiale Modellidentifikation zur Verfügung stehen.

2. Methodik

Das vorgeschlagene Framework besteht aus zwei Hauptkomponenten: einer rekursiven Parameterschätzmethode und einem datengesteuerten Erreichbarkeitspropagationsalgorithmus.

2.1 Exponentiell vergessende zonotopere rekursive kleinste Quadrate (EF-ZRLS)

Um die unbekannten, zeitvarianten Systemmodelle aus verrauschten Daten zu schätzen, schlagen die Autoren die EF-ZRLS-Methode vor. Im Gegensatz zur Standard-Methode der rekursiven kleinsten Quadrate (RLS), die einen einzelnen Punkt schätzt, schätzt EF-ZRLS eine Menge von Modellen (repräsentiert als eine Matrix-Zonotop), die garantiert das wahre Systemparameter enthält.

Mengenbasierte Schätzung: Die Methode pflegt ein zeitvariantes Matrix-Zonotop $\mathcal{M}_k = \langle C_k, G_k \rangle$ , wobei $C_k$ die Zentrum-Matrix und $G_k$ die Generator-Matrix ist. Die wahren Parameter $\theta_{tr,k}$ liegen garantiert innerhalb dieser Menge.
Umgang mit Rauschen und Variationen: Die Methode berücksichtigt:
- Messrauschen ( $v_k$ ): Begrenzt durch ein bekanntes Zonotop.
- Parametervariationen ( $\delta \theta_k$ ): Es wird angenommen, dass das Modell langsam zeitvariant ist, wobei die Änderungen durch ein bekanntes Zonotop begrenzt sind.
Exponentielles Vergessen: Ein Vergessensfaktor $\lambda \in (0, 1]$ wird eingeführt. Dieser Faktor verringert den Einfluss vergangener Daten auf die Kovarianzaktualisierung exponentiell, was es dem Schätzer ermöglicht, sich an zeitvariante Dynamiken anzupassen.
Optimaler Gewinn: Die Autoren leiten einen optimalen Korrekturgewinn $K_k^*$ ab, der die Spur der Kovarianzmatrix (die Größe der geschätzten Menge) minimiert, um die engstmögliche Überapproximation unter Berücksichtigung der Rauschgrenzen zu gewährleisten.
Vektor- vs. Matrixform: Die Methode ist für Multi-Output-Regressionsmodelle unter Verwendung von Matrix-Zonotopen formuliert, wodurch der Rechenaufwand vermieden wird, der durch die Konvertierung in Vektor-Permutationsformen (welche die Dimensionalität via Kronecker-Produkten erhöhen) entstehen würde.

2.2 Datengesteuerte Erreichbarkeitsanalyse

Unter Verwendung des geschätzten zeitvarianten Modellsatzes berechnet das Framework Vorwärts-Erreichbarkeitsmengen für zwei Systemklassen:

Lineare zeitvariante (LTV) Systeme:
- Das System wird als $x_{k+1} = A_{tr,k}x_k + B_{tr,k}u_k + w_k$ modelliert.
- Der Algorithmus (Algorithmus 1) aktualisiert den Modellsatz rekursiv mittels EF-ZRLS.
- Um den Mangel an neuen Daten während des Vorhersagehorizonts zu handhaben, nimmt die Methode an, dass die Modellvariation durch eine bekannte Konstante ( $\sigma_{AB}$ ) begrenzt ist, und erweitert den Modellsatz entsprechend.
- Ein räumlicher Generalisierungsfehlerterm ( $Z_\epsilon$ ) wird hinzugefügt, um die Dichte der Daten relativ zum kontinuierlichen Zustands-Eingangs-Raum zu berücksichtigen.
Nichtlineare Lipschitz-Systeme:
- Die nichtlineare Funktion $f(x_k, u_k)$ wird über eine Taylor-Approximation erster Ordnung um einen Linearisierungspunkt approximiert, was in einem zeitvarianten linearen Modell plus einem Lagrange-Restglied $L(z_k)$ resultiert.
- EF-ZRLS schätzt die zeitvarianten Parameter des linearisierten Modells.
- Das Restglied $L(z_k)$ wird mittels eines Zonotops ( $Z_L$ ) überapproximiert, das aus den Daten in einem gleitenden Fenster abgeleitet wurde, wobei die Annahme der Lipschitz-Stetigkeit genutzt wird.
- Ein zusätzlicher Fehlerterm ( $Z_{\bar{\epsilon}}$ ) berücksichtigt die Lipschitz-Konstante und die Datendichte.

3. Wesentliche Beiträge

Das Paper skizziert vier primäre Beiträge:

EF-ZRLS-Methode: Ein neuartiger mengenbasierter rekursiver Schätzer für zeitvariante Multi-Output-Regressionsmodelle mit beschränktem Rauschen. Das Paper etabliert die Optimalität des Schätzers und leitet den optimalen Korrekturgewinn ab (Theorem 1).
LTV-Erreichbarkeitsalgorithmus: Ein Algorithmus (Algorithmus 1) zur Berechnung überapproximierter erreichbarer Mengen für diskrete LTV-Systeme unter Berücksichtigung von beschränktem Prozessrauschen und Modellvariationen (Theorem 2).
Nichtlinearer Lipschitz-Erreichbarkeitsalgorithmus: Eine Erweiterung (Algorithmus 2) zur Berechnung überapproximierter erreichbarer Mengen für eine Klasse von diskreten nichtlinearen Lipschitz-Systemen (Theorem 3).
Validierung: Umfassende Validierung durch numerische Simulationen und ein reales Experiment an einem autonomen Fahrzeug, wobei die vorgeschlagene Methode mit bestehenden Batch-Least-Squares (LS)-Ansätzen kontrastiert wird.

4. Ergebnisse und Evaluierung

Die Autoren evaluieren die vorgeschlagene Methode gegenüber einem Batch-LS-Ansatz (aus Referenz [2]) anhand von drei Szenarien:

LTV-System (statische Parameter): In einem Szenario ohne Parameteränderungen konvergiert der vorgeschlagene EF-ZRLS gegen dieselbe erreichbare Menge wie die Batch-LS-Methode nach einer ausreichenden Anzahl von Iterationen, was die Konsistenz des rekursiven Ansatzes validiert.
LTV-System (zeitvariante Parameter): Wenn sich die Systemparameter im Laufe der Zeit ändern, versagt die Batch-LS-Methode bei der Überapproximation der wahren erreichbaren Mengen (da sie auf statischen Offline-Daten basiert). Im Gegensatz dazu verfolgt der vorgeschlagene EF-ZRLS erfolgreich die sich ändernden Dynamiken und stellt eine gültige Überapproximation sicher.
Nichtlineares Lipschitz-System (CSTR): Bei der Anwendung auf ein Modell eines kontinuierlich gerührten Tanks (CSTR) liefert die vorgeschlagene Methode weniger konservative erreichbare Mengen als die Batch-LS-Methode. Dies wird auf die rekursive Aktualisierung des linearisierten Modells und die lokale Schätzung des Lagrange-Restglieds zurückgeführt, während die Batch-Methode ein globales Restglied über den gesamten Offline-Datensatz berechnet.
Reales Experiment (Autonomes Fahrzeug): Getestet an einem JetRacer-Roboter unter zwei Bedingungen:
1. Statische Umgebung: Die Methode erzeugte weniger konservative Mengen als die Batch-LS-Methode, ohne dass vorab gesammelte Daten erforderlich waren.
2. Dynamische Umgebung (Lastwechsel): Eine Last von 2 kg wurde zum Fahrzeug hinzugefügt, um eine Modelländerung zu simulieren. Die vorgeschlagene Methode blieb robust und gültig, während die Batch-LS-Methode daran scheiterte, die erreichbaren Mengen korrekt zu überapproximieren.

5. Bedeutung und Ansprüche

Das Paper behauptet, dass das vorgeschlagene Framework einen signifikanten Fortschritt in der Sicherheitsanalyse für Systeme darstellt, bei denen genaue Modelle nicht verfügbar oder zeitvariant sind. Die wesentlichen Bedeutungspunkte umfassen:

Online-Betrieb: Die Methode arbeitet ausschließlich mit Echtzeitdaten, was die Notwendigkeit von vorab gesammelten Offline-Experimenten eliminiert – entscheidend für Systeme, deren Dynamik sich entwickelt oder für die Offline-Daten schwer zu sammeln sind.
Robustheit gegenüber Zeitvarianz: Durch die Nutzung von exponentiellem Vergessen und mengenbasierter Schätzung bleibt die Methode unter langsam variierenden Dynamiken robust, was eine Einschränkung statischer Batch-Identifikationsmethoden darstellt.
*. Reduzierte Konservativität: Der Ansatz erzeugt weniger konservative Überapproximationen der erreichbaren Mengen im Vergleich zu bestehenden Techniken, insbesondere für nichtlineare Systeme, indem er lokale Daten-Updates anstelle globaler Offline-Approximationen nutzt.
Skalierbarkeit: Die Verwendung von Zonotopen und Matrix-Formulierungen bietet eine bessere Skalierbarkeit für hochdimensionale Systeme im Vergleich zu Methoden, die Hamilton-Jacobi-PDEs lösen.

Die Autoren kommen zu dem Schluss, dass die Methode zwar effektiv ist, zukünftige Arbeiten jedoch darauf abzielen werden, EF-ZRLS durch adaptive Vergessensfaktoren ( $\lambda$ ) zu erweitern, um die Konservativität der geschätzten Modellmengen weiter zu reduzieren.