技術要約：ゾノトープを用いた再帰的最小二乗法によるオンライン・データ駆動型到達可能性解析

1. 問題提起

現代のサイバーフィジカルシステム（CPS）は、安全な状態から逸脱しないことを保証するために、形式的な安全性検証を必要としている。到達可能性解析は、不確かな初期条件、入力、およびプロセスノイズを考慮した上で、システムが到達し得るすべての状態の集合を計算することを目的とした主要な手法である。

古典的なモデルベースのアプローチは、正確に定義された解析的なダイナミクスに依存している。しかし、多くの現実世界のシナリオでは、複雑、未知、または時変的なダイナミクスが原因で、正確なシステムモデルを構築することは容易ではない、あるいは不可能である。一方で、既存のデータ駆動型アプローチの多くは、一貫したモデルを構築するために、大量の事前収集されたオフラインデータ（バッチデータ）を必要とする。これらのバッチ手法は、システムモデルが時間とともに変化する場合（時変ダイナミクス）や、オフラインでのデータ収集が不可能な場合に、困難に直面する。さらに、高次元のシステムは、ハミルトン・ヤコビ偏微分方程式を解く手法に対してスケーラビリティの課題を抱えている。

本論文は、以下の条件下における離散時間システムの過大近似された到達可能集合の計算という課題に取り組むものである：

1. システムモデルが未知である。
2. オンラインの、ノイズを含む入出力測定値のみが利用可能である。
3. システムのダイナミクスが時変（線形時変：LTV）または非線形（リプシッツ連続）である。
4. 初期モデル識別用の事前記録されたオフラインデータセットが存在しない。

2. 手法

提案されるフレームワークは、再帰的なパラメータ推定手法と、データ駆動型の到達可能性伝搬アルゴリズムの2つの主要なコンポーネントで構成されている。

2.1 指数忘却ゾノトープ再帰的最小二乗法 (EF-ZRLS)

未知かつ時変なシステムモデルをノイズを含むデータから推定するために、著者らはEF-ZRLS法を提案している。単一の点を推定する標準的な再帰的最小二乗法（RLS）とは異なり、EF-ZRLSは、真のシステムパラメータを確実に含む（行列ゾノトープとして表現される）モデルの集合を推定する。

• 集合ベースの推定: この手法は、中心行列 $C_k$ と生成行列 $G_k$ からなる時変行列ゾノトープ $\mathcal{M}_k = \langle C_k, G_k \rangle$ を保持する。真のパラメータ行列 $\theta_{tr,k}$ は、この集合内に存在することが保証される。
• ノイズと変動への対処: 本手法は以下を考慮する：
  • 測定ノイズ ($v_k$): 既知のゾノトープによって境界付けられる。
  • パラメータ変動 ($\delta \theta_k$): モデルは緩やかに時変するものと仮定され、その変化は既知のゾノトープによって境界付けられる。
• 指数忘却: 忘却係数 $\lambda \in (0, 1]$ が導入されている。この係数は、共分散更新に対する過去のデータの寄与を指数関数的に減少させ、時変ダイナミクスへの適応を可能にする。
• 最適ゲイン: 著者らは、共分散行列のトレース（推定された集合のサイズ）を最小化する最適な補正ゲイン $K_k^*$ を導出し、ノイズ境界が与えられた条件下で、最もタイトな過大近似を実現する。
• ベクトル形式 vs 行列形式: 本手法は、行列ゾノトープを用いた多出力回帰モデル向けに定式化されており、クロネッカー積によって次元が増大するベクトル置換形式への変換に伴う計算オーバーヘッドを回避している。

2.2 データ駆動型到達可能性解析

推定された時変モデルの集合を用いて、以下の2つのシステムクラスに対する前方到達可能集合を計算する。

1. 線形時変 (LTV) システム:

   • システムは $x_{k+1} = A_{tr,k}x_k + B_{tr,k}u_k + w_k$ としてモデル化される。
   • アルゴリズム（Algorithm 1）は、EF-ZRLSを用いてモデル集合を再帰的に更新する。
   • 予測ホライゾン中に新しいデータが得られない状況に対処するため、本手法はモデルの変動が既知の定数 ($\sigma_{AB}$) によって制限されていると仮定し、それに応じてモデル集合を拡張する。
   • 連続的な状態・入力空間に対するデータの密度を考慮するため、空間的な一般化誤差項 ($Z_\epsilon$) が追加される。

2. 非線形リプシッツ・システム:

   • 非線形関数 $f(x_k, u_k)$ は、線形化点における一次テイラー展開を介して近似され、その結果、時変の線形モデルとラグランジュ剰余項 $L(z_k)$ が得られる。
   • EF-ZRLSは、この時変線形モデルのパラメータを推定する。
   • 剰余項 $L(z_k)$ は、リプシッツ連続性の仮定を利用し、スライディングウィンドウ内のデータから導出されたゾノトープ ($Z_L$) を用いて過大近似される。
   • 追加の誤差項 ($Z_{\bar{\epsilon}}$) は、リプシッツ定数とデータ密度を考慮する。

3. 主な貢献

本論文は、主に4つの貢献を述べている：

1. EF-ZRLS法: 境界付きノイズを持つ時変多出力回帰モデルのための、新しい集合ベースの再帰的推定器。本論文では、推定器の最適性と、最適な補正ゲインの導出（定理1）を確立している。
2. LTV 到達可能性アルゴリズム: 境界付きプロセスノイズおよびモデル変動を受ける離散時間LTVシステムに対して、過大近似された到達可能集合を計算するアルゴリズム（Algorithm 1）（定理2）。
3. 非線形リプシッツ到達可能性アルゴリズム: 離散時間非線形リプシッツ・システムのクラスに対して、過大近似された到達可能集合を計算するための拡張（Algorithm 2）（定理3）。
4. 検証: 数値シミュレーションおよび自動運転車両を用いた実世界実験を通じて、提案手法を既存のバッチ最小二乗法（文献[2]）と比較し、包括的な検証を行っている。

4. 結果と評価

著者らは、3つのシナリオにおいて、提案手法をバッチ最小二乗法（LS）と比較評価している：

• LTVシステム（静的パラメータ）: パラメータの変化がないシナリオでは、提案されたEF-ZRLSは、十分な反復回数の後、バッチLS法と同じ到達可能集合に収束し、再帰的アプローチの一貫性が検証された。
• LTVシステム（時変パラメータ）: システムパラメータが時間とともに変化する場合、バッチLS法は（静的なオフラインデータに依存しているため）真の到達可能集合を過大近似することに失敗する。対照的に、提案されたEF-ZRLSは、変化するダイナミクスを正常に追跡し、有効な過大近似を維持する。
• 非線形リプシッツ・システム (CSTR): 連続槽型反応器（CSTR）モデルに適用した結果、提案手法はバッチLS法よりも**保守性の低い（よりタイトな）**到達可能集合を与えた。これは、バッチ法がオフラインデータセット全体に対してグローバルな剰余を計算するのに対し、提案手法は線形化モデルの再帰的更新と局所的なラグランジュ剰余の推定を利用しているためである。
• 実世界実験（自動運転車両）: JetRacerロボットを用い、以下の2つの条件下で手法をテストした：
  1. 静的環境: 提案手法は、事前収集されたデータを必要とせずに、バッチLS法よりも保守性の低い（タイトな）集合を生成した。
  2. 動的環境（ペイロードの変化）: 車両に2kgのペイロードが追加され、モデルの変化をシミュレートした。提案手法は堅牢かつ有効であり続けたが、バッチLS法は到達可能集合の過大近似に失敗した。

5. 重要性と主張

本論文は、提案されたフレームワークが、正確なモデルが利用できない、あるいは時変であるシステムにおける安全性解析において重要な進歩をもたらすと主張している。主な重要性は以下の通りである：

• オンライン動作: 本手法はリアルタイムデータのみで動作するため、ダイナミクスが進化する場合やオフラインでのデータ収集が困難なシステムにおいて極めて重要となる、事前記録されたオフライン実験の必要性を排除する。
• 時変性への堅牢性: 指数忘却と集合ベースの推定を利用することで、本手法は、静的なバッチ識別法の限界である、緩やかに変化するダイナミクスに対しても堅牢性を維持する。
• 保守性の低減: 既存の手法、特に非線形システムにおいて、グローバルなオフライン近似ではなく局所的なデータ更新を利用することで、提案手法はより保守性の低い（タイトな）到達可能集合の過大近似を実現する。
• スケーラビリティ: ゾノトープと行列形式の使用は、ハミルトン・ヤコビ偏微分方程式を解く手法と比較して、高次元システムに対する優れたスケーラビリティを提供する。

著者らは、本手法は効果的であるものの、今後の課題として、推定されたモデル集合の保守性をさらに低減するために、適応的な忘却係数 ($\lambda$) を用いたEF-ZRLSの拡張に焦点を当てるとしている。