Résumé Technique : Analyse de l'Atteignabilité en Ligne par Moindres Carrés Récursifs Zonotopiques

1. Énoncé du Problème

Les systèmes cyber-physiques (CPS) modernes nécessitent une vérification formelle de la sécurité pour garantir qu'ils n'entrent pas dans des états dangereux. L'analyse d'atteignabilité est une technique primaire pour cela, visant à calculer l'ensemble de tous les états qu'un système peut atteindre compte tenu d'incertitudes sur les conditions initiales, les entrées et le bruit de processus.

Les approches classiques basées sur des modèles reposent sur des dynamiques analytiques précises et prédéfinies. Cependant, dans de nombreux scénarios réels, la construction d'un modèle de système exact est non triviale ou impossible en raison de dynamiques complexes, inconnues ou variant dans le temps. À l'inverse, les approches existantes fondées sur les données nécessitent souvent de grands volumes de données pré-collectées hors ligne pour construire un ensemble de modèles cohérents. Ces méthodes par lots (batch) peinent lorsque les modèles de système changent au fil du temps (dynamiques variant dans le temps) ou lorsque la collecte de données hors ligne est irréalisable. De plus, les systèmes de grande dimension posent des défis de scalabilité pour les méthodes résolvant les équations aux dérivées partielles de Hamilton-Jacobi.

Cet article traite du défi consistant à calculer des ensembles atteignables sur-approximés pour des systèmes à temps discret où :

1. Le modèle du système est inconnu.
2. Seules des mesures d'entrée-état bruitées et en ligne sont disponibles.
3. La dynamique du système peut être variable dans le temps (Linéaire à Temps Variable ou LTV) ou non linéaire (Lipschitzienne).
4. Aucun jeu de données hors ligne pré-enregistré n'est disponible pour l'identification initiale du modèle.

2. Méthodologie

Le cadre proposé se compose de deux composantes principales : une méthode d'estimation de paramètres récursive et un algorithme de propagation de l'atteignabilité fondé sur les données.

2.1 Moindres Carrés Récursifs Zonotopiques à Oubli Exponentiel (EF-ZRLS)

Pour estimer les modèles de systèmes inconnus et variables dans le temps à partir de données bruitées, les auteurs proposent la méthode EF-ZRLS. Contra-rément aux moindres carrés récursifs (RLS) standards qui estiment un point unique, l'EF-ZRLS estime un ensemble de modèles (représenté par un zonotope matriciel) qui garantit de contenir les paramètres réels du système.

• Estimation par ensemble : La méthode maintient un zonotope matriciel variant dans le temps $\mathcal{M}_k = \langle C_k, G_k \rangle$, où $C_k$ est la matrice centrale et $G_k$ la matrice de générateur. La matrice de paramètres réelle $\theta_{tr,k}$ est garantie de se trouver dans cet ensemble.
• Gestion du bruit et des variations : La méthode prend en compte :
  • Le bruit de mesure ($v_k$) : Borné par un zonotope connu.
  • Les variations de paramètres ($\delta \theta_k$) : Le modèle est supposé varier lentement, avec des changements bornés par un zonotope connu.
• Oubli exponentiel : Un facteur d'oubli $\lambda \in (0, 1]$ est introduit. Ce facteur diminue exponentiellement l'influence des données passées sur la mise à jour de la covariance, permettant à l'estimateur de s'adapter aux dynamiques variables dans le temps.
• Gain optimal : Les auteurs dérivent un gain de correction optimal $K_k^*$ qui minimise la trace de la matrice de covariance (la taille de l'ensemble estimé), assurant la sur-approximation la plus étroite possible compte tenu des bornes de bruit.
• Forme Vectorielle vs Matricielle : La méthode est formulée pour des modèles de régression multi-sorties utilisant des zonotopes matriciels, évitant ainsi la surcharge de calcul liée à la conversion en formes de permutations vectorielles (qui augmente la dimensionnalité via des produits de Kronecker).

2.2 Analyse d'Atteignabilité Fondée sur les Données

En utilisant l'ensemble de modèles estimés et variable dans le temps, le cadre calcule les ensembles atteignables vers l'avant pour deux classes de systèmes :

1. Systèmes Linéaires à Temps Variable (LTV) :

   • Le système est modélisé comme $x_{k+1} = A_{tr,k}x_k + B_{tr,k}u_k + w_k$.
   • L'algorithme (Algorithme 1) met à jour de manière récursive l'ensemble du modèle en utilisant l'EF-ZRLS.
   • Pour gérer l'absence de nouvelles données pendant l'horizon de prédiction, la méthode suppose que la variation du modèle est bornée par une constante connue ($\sigma_{AB}$) et étend l'ensemble du modèle en conséquence.
   • Un terme d'erreur de généralisation spatiale ($Z_\epsilon$) est ajouté pour tenir compte de la densité des données par rapport à l'espace continu état-entrée.

2. Systèmes Lipschitziens Non Linéaires :

   • La fonction non linéaire $f(x_k, u_k)$ est approximée par un développement de Taylor au premier ordre autour d'un point de linéarisation, résultant en un modèle linéaire variant dans le temps plus un terme de reste de Lagrange $L(z_k)$.
   • L'EF-ZRLS estime les paramètres du modèle linéarisé variant dans le temps.
   • Le terme de reste $L(z_k)$ est sur-approximé à l'aide d'un zonotope ($Z_L$) dérivé des données dans une fenêtre glissante, en exploitant l'hypothèse de continuité de Lipschitz.
   • Un terme d'erreur supplémentaire ($Z_{\bar{\epsilon}}$) rend compte de la constante de Lipschitz et de la densité des données.

3. Contributions Clés

L'article présente quatre contributions principales :

1. Méthode EF-ZRLS : Un nouvel estimateur récursif basé sur les ensembles pour les modèles de régression multi-sorties variant dans le temps avec un bruit borné. L'article établit l'optimalité de l'estimateur et dérive le gain de correction optimal (Théorème 1).
2. Algorithme d'Atteignabilité LTV : Un algorithme (Algorithme 1) pour calculer des ensembles atteignables sur-approximés pour des systèmes LTV à temps discret soumis à un bruit de processus et des variations de modèle bornés (Théorème 2).
3. Algorithme d'Atteignabilité Lipschitzien Non Linéaire : Une extension (Algorithme 2) pour calculer des ensembles atteignables sur-approximés pour une classe de systèmes non linéaires Lipschitziens à temps discret.
4. Validation : Une validation complète par des simulations numériques et une expérience réelle sur un véhicule autonome, contrastant la méthode proposée avec les approches de Moindres Carrés (LS) par lots existantes.

4. Résultats et Évaluation

Les auteurs évaluent la méthode proposée par rapport à une approche LS par lots (issue de la référence [2]) à travers trois scénarios :

• Système LTV (Paramètres Statiques) : Dans un scénario sans changement de paramètres, l'EF-ZRLS proposé converge vers le même ensemble atteignable que la méthode LS par lots après un nombre suffisant d'itérations, validant la cohérence de l'approche récursive.
• Système LTV (Paramètres Variables dans le Temps) : Lorsque les paramètres du système changent au fil du temps, la méthode LS par lots échoue à sur-approximer les véritables ensembles atteignables (car elle repose sur des données statiques hors ligne). En revanche, l'EF-ZRLS proposé suit avec succès les dynamiques changeantes et maintient une sur-approximation valide.
• Système Lipschitzien Non Linéaire (CSTR) : Appliquée à un modèle de réacteur à mélange continu (CSTR), la méthode proposée produit des ensembles atteignables moins conservateurs que la méthode LS par lots. Cela est attribué à la mise à jour récursive du modèle linéarisé et à l'estimation localisée du reste de Lagrange, tandis que la méthode par lots calcule un reste global sur l'ensemble du jeu de données hors ligne.
• Expérience Réelle (Véhicule Autonome) : Utilisant un robot JetRacer, la méthode a été testée sous deux conditions :
  1. Environnement Statique : La méthode a produit des ensembles moins conservateurs que la méthode LS par lots sans nécessiter de données pré-collectées.
  2. Environnement Dynamique (Changement de Charge Utile) : Une charge utile de 2 kg a été ajoutée au véhicule, simulant un changement de modèle. La méthode proposée est restée robuste et valide, tandis que la méthode LS par lots a échoué à sur-approximer les ensembles atteignables.

5. Signification et Revendications

L'article affirme que le cadre proposé offre une avancée significative dans l'analyse de sécurité pour les systèmes où les modèles précis sont indisponibles ou variables dans le temps. Les points clés de signification incluent :

• Fonctionnement en Ligne : La méthode opère uniquement sur des données en temps réel, éliminant le besoin d'expériences hors ligne pré-enregistrées, ce qui est crucial pour les systèmes dont les dynamiques évoluent ou pour lesquels la collecte de données hors ligne est difficile.
• Robustesse à la Variabilité Temporelle : En utilisant l'oubli exponentiel et l'estimation par ensemble, la méthode reste robuste sous des dynamiques variant lentement, une limitation des méthodes d'identification statiques par lots.
• Réduction du Conservatisme : L'approche produit des sur-approximations d'ensembles atteignables moins conservatrices que les techniques existantes, particulièrement pour les systèmes non linéaires, en utilisant des mises à jour de données locales plutôt que des approximations globales hors ligne.
• Scalabilité : L'utilisation des zonotopes et des formulations matricielles offre une meilleure scalabilité pour les systèmes de plus grande dimension par rapport aux méthodes résolvant les EDP de Hamilton-Jacobi.

Les auteurs concluent que bien que la méthode soit efficace, les travaux futurs se concentreront sur l'extension de l'EF-ZRLS pour utiliser des facteurs d'oubli adaptatifs ($\lambda$) afin de réduire davantage le conservatisme des ensembles de modèles estimés.