An unusual family of supersingular curves of genus five in characteristic two

Technische Zusammenfassung: Eine ungewöhnliche Familie supersingularer Kurven des Geschlechts fünf in Charakteristik zwei

Problemstellung
Die vorliegende Arbeit untersucht die Struktur des supersingulären Locus $M^{ss}_g$ innerhalb des Modulraums $M_g$ glatter Kurven des Geschlechts $g$ über einem Körper $k$ mit Charakteristik $p > 0$. Konkret konzentriert sich der Autor auf den Fall $g=5$ und $p=2$. Während die Dimensionen der supersingulären Loci für $g \le 4$ in der Literatur etabliert sind, stellt der Fall $g=5$ eine Wissenslücke dar. Die erwartete Dimension jeder Komponente von $M^{ss}_5$ ist 3. Jedoch weisen bestehende Konstruktionen von supersingulären Familien, wie etwa die Familie $\mathcal{F}_{GV,5}$ von van der Geer und van der Vlugt, eine Dimension von lediglich 2 auf. Eine Vermutung von Oort legt nahe, dass der generische Punkt einer supersingulären Komponente eine triviale Automorphismengruppe besitzen sollte (unter der Annahme, dass die Kurve nicht-hyperelliptisch ist). Die Arbeit versucht zu bestimmen, ob eine größere Familie im Geschlecht 5 existiert, die diese Erwartungen infrage stellen oder neue strukturelle Erkenntnisse liefern könnte.

Methodik
Die Untersuchung erfolgt durch eine Kombination aus computergestützter Datenanalyse und expliziter algebraischer Konstruktion:

1. Datengesteuerte Motivation: Der Autor nutzt bestehende Datensätze glatter Geschlecht-5-Kurven über $\mathbb{F}_2$ (aus [Dra24a]), um eine spezifische Untergruppe von Interesse zu identifizieren. Die Daten zeigen, dass alle nicht-hyperelliptischen, nicht-trigonalen supersingulären Kurven mit nicht-trivialen $\mathbb{F}_2$-Automorphismengruppen auf einer spezifischen Quadrikerfläche in $\mathbb{P}^4$ liegen, nämlich $X^2 + YZ = 0$.
2. Explizite Parametrisierung: Motiviert durch diese Beobachtung konstruiert der Autor eine Familie von Kurven $C$, die als vollständiger Schnitt von drei Quadriken in $\mathbb{P}^4$ definiert sind:
   • $q_1 = X^2 + YZ$
   • $q_2 = XY + ZT + T^2$
   • $q_3 = b_2XZ + b_3XT + b_3^2YT + b_8ZT + ZU + U^2$
     wobei $b_2, b_3, b_8 \in \mathbb{F}_2$ und $b_3 \neq 0$.
3. Invariantenberechnung: Die Arbeit verwendet die Kudo-Harashita-Methode, um die Hasse-Witt-Matrix $H$ für diese Kurven zu berechnen. Die $p$-Rank (speziell der 2-Rank) und die $a$-Zahl werden aus dem Rang von $H$ und dessen iterierten Frobenius-Produkten abgeleitet.
4. Automorphismus- und Überlagerungsanalyse: Der Autor analysiert die projektiven Transformationen in $\text{PGL}_5(\mathbb{F}_2)$, die die definierenden Quadriken fixieren, um die Automorphismengruppe $\text{Aut}(C)$ zu bestimmen. Zudem werden die Funktionenkörper der Quotientenkurven $C/\langle \iota \rangle$ und $C/\langle \eta \rangle$ berechnet, um die Doppelüberlagerungsstrukturen zu etablieren.
5. Verifizierung der Supersingulariät: Die Supersingulariät wird dadurch bewiesen, dass die Jacobi-Varietät $J_C$ isogen zu einem Produkt der Jacobians von Kurven niedrigeren Geschlechts ($g=1$ und $g=2$) ist, welche wiederum selbst supersingulär sind.

Wesentliche Beiträge und Ergebnisse
Das Hauptergebnis ist die Konstruktion einer 3-dimensionalen Familie $\mathcal{S}$ glatter supersingulärer Kurven des Geschlechts 5 über $\mathbb{F}_2$, welche die folgenden Eigenschaften erfüllt (Theorem 1.1 / Theorem 4.1):

• Dimension: Die Dimension der Familie $\mathcal{S}$ ist 3, was der erwarteten Dimension des supersingulären Locus im Geschlecht 5 entspricht. Dies ist strikt größer als die Dimension der zuvor bekannten Familie $\mathcal{F}_{GV,5}$ (welche die Dimension 2 hat).
• Automorphismen: Die generische Kurve in $\mathcal{S}$ besitzt eine nicht-triviale Automorphismengruppe, die $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ enthält. Dies steht im Gegensatz zur Erwartung, dass generische supersinguläre Kurven triviale Automorphismengruppen besitzen sollten.
• Überlagerungsstrukturen: Jede Kurve der Familie gestattet Doppelüberlagerungen über:
  • Eine elliptische Kurve $E$ (speziell die eindeutige supersinguläre elliptische Kurve $y^2+y=x^3$).
  • Eine glatte Kurve $D$ des Geschlechts 2.
• Invarianten: Die Kurven haben einen 2-Rank von 0 und eine $a$-Zahl von 2. Die $a$-Zahl von 2 ist bemerkenswert, da der generische Punkt des supersingulären Locus im Modulraum der abelschen Varietäten $A_g$ typischerweise eine $a$-Zahl von 1 besitzt.
• Explizite Gleichungen: Die Arbeit liefert explizite Gleichungen für die Kurven und ihre Automorphismen, was eine konkrete Verifizierung dieser Eigenschaften ermöglicht.

Bedeutung und Behauptungen
Die Arbeit behauptet, dass die Familie $\mathcal{S}$ „eher ungewöhnliche Eigenschaften“ für einen supersingulären Locus aufweist:

1. Dimensionsübereinstimmung: Sie ist die erste bekannte Familie im Geschlecht 5, welche die erwartete Dimension des supersingulären Locus (3) erreicht, während bisherige Konstruktionen eine geringere Dimension aufwiesen.
2. Potenzial als Gegenbeispiel: Falls der Abschluss von $\mathcal{S}$ eine Komponente von $M^{ss}_5$ bildet, würde sie als Gegenbeispiel zur Analogie von Oorts Vermutung für Kurven im Geschlecht 5 und Charakteristik 2 dienen, da der generische Punkt eine nicht-triviale Automorphismengruppe besitzt. Der Autor merkt an, dass er zwar nicht definitiv beweisen kann, dass $\mathcal{S}$ eine vollständige Komponente ist, die Dimensionalität und die Eigenschaften dies jedoch sehr wahrscheinlich macht.
3. Strukturelle Einzigartigkeit: Die Familie liegt im Schnittpunkt der Loci von Doppelüberlagerungen elliptischer Kurven und Kurven des Geschlechts 2 und besitzt eine $a$-Zahl von 2, was sie vom generischen Verhalten abelscher Varietäten unterscheidet.

Der Autor schließt mit der Feststellung, dass die Frage, ob $\mathcal{S}$ eine vollständige Komponente von $M^{ss}_5$ ist, offen bleibt, die Konstruktion jedoch ein bedeutendes neues Untersuchungsobjekt in der arithmetischen Geometrie der Kurven in Charakteristik 2 darstellt.