An unusual family of supersingular curves of genus five in characteristic two

技術要約：標数2における種数5の特異な超特異曲線族

問題提起
本論文は、標数 $p > 0$ の体 $k$ 上の滑らかな曲線のモジュライ空間 $M_g$ における超特異軌跡 $M^{ss}_g$ の構造を調査している。具体的には、著者は種数 $g=5$ かつ $p=2$ のケースに焦点を当てている。$g \le 4$ における超特異軌跡の次元は既知であるが、$g=5$ のケースは理解に空白がある。$M^{ss}_5$ の任意の成分の期待される次元は3である。しかし、van der Geer と van der Vlugt による族 $\mathcal{F}_{GV,5}$ のような既存の超特異族の構成は、次元がわずか2である。また、Oort による予想では、超特異成分の生成点は（非双曲型曲線であると仮定した場合）自明な自己同型群を持つべきである。本論文は、これらの期待に挑戦するか、あるいは新たな構造的洞察を提供するような、より大きな次元を持つ族が種数5に存在するかどうかを決定することを目的としている。

手法
本研究は、計算データ分析と明示的な代数的構成の組み合わせを通じて進行する：

1. データ駆動型の動機付け： 著者は、既存の $\mathbb{F}_2$ 上の滑らかな種数5の曲線のデータセット（[Dra24a] より）を利用して、特定の関心対象となる部分集合を特定している。データは、非双曲型かつ非三次型（non-trigonal）の、非自明な $\mathbb{F}_2$-自己同型群を持つ超特異曲線が、$\mathbb{P}^4$ 上の特定の二次曲面、すなわち $X^2 + YZ = 0$ 上に存在することを示している。
2. 明示的なパラメータ化： この観察に基づき、著者は $\mathbb{P}^4$ における3つの二次形式の完全切断として定義される曲線 $C$ を構成する：
   • $q_1 = X^2 + YZ$
   • $q_2 = XY + ZT + T^2$
   • $q_3 = b_2XZ + b_3XT + b_3^2YT + b_8ZT + ZU + U^2$
     ここで $b_2, b_3, b_8 \in \mathbb{F}_2$ かつ $b_3 \neq 0$ である。
3. 不変量の計算： 著者は、これらの曲線のハッセ・ヴィット行列 $H$ を計算するために Kudo-Harashita 法を用いている。$p$-ランク（具体的には2-ランク）および $a$-数は、$H$ のランクおよびその反復フロベニウス積から導出される。
4. 自己同型および被覆の解析： 定義される二次形式を固定する $\text{PGL}_5(\mathbb{F}_2)$ の射影変換を分析することで、曲線の自己同型群 $\text{Aut}(C)$ を決定する。さらに、商曲線 $C/\langle \iota \rangle$ および $C/\langle \eta \rangle$ の関数体を計算し、二重被覆構造を確立する。
5. 超特異性の検証： ヤコビアン $J_C$ が、自身も超特異である低種数（$g=1$ および $g=2$）の曲線のヤコビアンの直積に同種であることを示すことにより、超特異性を証明する。

主要な貢献と結果
主な結果は、以下の特性を満たす、$\mathbb{F}_2$ 上の滑らかな種数5の3次元の族 $\mathcal{S}$ の構成である（定理 1.1 / 定理 4.1）：

• 次元： 族 $\mathcal{S}$ の次元は3であり、これは種数5における超特異軌跡の期待される次元と一致する。これは、既知の族 $\mathcal{F}_{GV,5}$（次元は2）よりも厳密に大きい。
• 自己同型： $\mathcal{S}$ の生成曲線は、$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ を含む非自明な自己同型群を持つ。これは、生成的な超特異曲線は自明な自己同型群を持つべきであるという予想とは対照的である。
• 被覆構造： すべての曲線は、以下の曲線への二重被覆を許容する：
  • 楕円曲線 $E$（具体的には、一意な超特異楕円曲線 $y^2+y=x^3$）。
  • 種数2の滑らかな曲線 $D$。
• 不変量： これらの曲線は2-ランクが0であり、$a$-数は2である。$a$-数が2であることは注目に値する。なぜなら、アーベル多様体のモジュライ空間 $A_g$ における超特異軌跡の生成点は、通常 $a$-数が1であるためである。
• 明示的な方程式： 本論文は、これらの曲線の性質を具体的に検証することを可能にするため、曲線の明示的な方程式とそれらの自己同型を提供している。

意義と主張
本論文は、族 $\mathcal{S}$ が超特異軌跡として「極めて特異な性質」を示すと主張している：

1. 次元の一致： これは、種数5において超特異軌跡の期待される次元（3）を達成する、これまで知られていない最初の族である。これまでの構成はより低次元であった。
2. 反例の可能性： もし $\mathcal{S}$ の閉包が $M^{ss}_5$ の成分を構成しているならば、それは生成的な点（generic point）が非自明な自己同型群を持つことから、種数5および標数2における Oort の予想の類似に対する反例となる。著者は、$\mathcal{S}$ が完全な成分であることを決定的に証明することはできないが、その次元と性質は、それが強力な可能性であることを示唆していると述べている。
3. 構造的な特異性： この族は、楕円曲線と種数2の曲線の二重被覆の軌跡の交わりの中にあり、$a$-数が2であるため、超特異アーベル多様体の一般的な振る舞いとは区別される。

著者は、$\mathcal{S}$ が $M^{ss}_5$ の完全な成分であるかという問いは未解決のままであるものの、この構成が標数2における曲線の算術幾何学における重要な新しい研究対象を提供すると結論付けている。