An unusual family of supersingular curves of genus five in characteristic two

技术摘要：特征为 2 的亏格为 5 的一类异常超奇异曲线族

问题陈述
本文研究了特征为 $p > 0$ 的域 $k$ 上光滑曲线模空间 $M_g$ 中超奇异轨迹 $M^{ss}_g$ 的结构。具体而言，作者关注亏格 $g=5$ 且 $p=2$ 的情形。虽然对于 $g \le 4$ 的超奇异轨迹维数在文献中已有定论，但 $g=5$ 的情况在理解上仍存在空白。任何 $M^{ss}_5$ 分量的预期维数为 3。然而，现有的超奇异曲线族构造（例如 van der Geer 和 van der Vlugt 的 $\mathcal{F}_{GV,5}$）其维数仅为 2。Oort 的一个猜想表明，超奇异分量的泛型点应具有平凡自同构群（假设曲线是非超椭圆的）。本文旨在确定是否存在一个更大的亏格为 5 的曲线族，能够挑战这些预期或提供新的结构性见解。

研究方法
本研究通过结合计算数据分析和显式代数构造进行：

1. 数据驱动的动机： 作者利用现有的特征为 2 的亏格 5 光滑曲线数据集（来自 [Dra24a]）来识别特定的感兴趣子集。数据表明，所有非超椭圆、非三次曲线且具有非平凡 $\mathbb{F}_2$-自同构群的超奇异曲线都位于 $\mathbb{P}^4$ 中的一个特定二次曲面上，即 $X^2 + YZ = 0$。
2. 显式参数化： 受此观察启发，作者构造了一个由 $\mathbb{P}^4$ 中三个二次型定义的曲线族 $C$：
   • $q_1 = X^2 + YZ$
   • $q_2 = XY + ZT + T^2$
   • $q_3 = b_2XZ + b_3XT + b_3^2YT + b_8ZT + ZU + U^2$
     其中 $b_2, b_3, b_8 \in \mathbb{F}_2$ 且 $b_3 \neq 0$。
3. 不变量计算： 本文采用 Kudo-Harashita 方法计算这些曲线的 Hasse-Witt 矩阵 $H$。通过 $H$ 的秩以及其迭代 Frobenius 乘积，推导出 $p$-秩（具体为 2-秩）和 $a$-数。
4. 自同构与覆盖分析： 作者通过分析固定定义二次型的 $\text{PGL}_5(\mathbb{F}_2)$ 中的射影变换，来确定自同构群 $\text{Aut}(C)$。此外，还计算了商曲线 $C/\langle \iota \rangle$ 和 $C/\langle \eta \rangle$ 的函数域，以建立双重覆盖结构。
5. 超奇异性验证： 通过证明雅可比簇 $J_C$ 与低亏格曲线（$g=1$ 和 $g=2$）的雅可比簇是同伦的，且这些低亏格曲线本身是超奇异的，从而证明了超奇异性。

主要贡献与结果
主要结果是构造了一个在 $\mathbb{F}_2$ 上亏格为 5 的光滑超奇异曲线 3 维族 $\mathcal{S}$，并满足以下性质（定理 1.1 / 定理 4.1）：

• 维数： 该族 $\mathcal{S}$ 的维数为 3，这与亏格 5 超奇异轨迹的预期维数相符。这严格大于此前已知的 $\mathcal{F}_{GV,5}$ 族（其维数为 2）。
• 自同构： $\mathcal{S}$ 中的泛型曲线具有包含 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 的非平凡自同构群。这与“泛型超奇异曲线应具有平凡自同构群”的预期形成对比。
• 覆盖结构： 每条曲线都对以下对象构成双重覆盖：
  • 一条椭圆曲线 $E$（具体为唯一的超奇异椭圆曲线 $y^2+y=x^3$）。
  • 一条亏格为 2 的光滑曲线 $D$。
• 不变量： 这些曲线的 2-秩为 0，$a$-数为 2。$a$-数为 2 是一个显著特征，因为在亏格为 $g$ 的阿贝尔簇模空间 $A_g$ 中，超奇异轨迹的泛型点通常 $a$-数为 1。
• 显式方程： 本文提供了这些曲线及其自同构的显式方程，允许对这些性质进行具体的验证。

意义与主张
本文声称族 $\mathcal{S}$ 表现出了对于超奇异轨迹而言“相当异常的性质”：

1. 维数匹配： 它是已知第一个在亏格 5 中达到超奇异轨迹预期维数（3）的族，而之前的构造维数较低。
2. 反例潜力： 如果 $\mathcal{S}$ 的闭包构成 $M^{ss}_5$ 的一个分量，它将成为 Oort 猜想在亏格 5 且特征为 2 的曲线情形下的一个反例，因为其泛型点具有非平凡自同构群。作者指出，虽然他们无法确定地证明 $\mathcal{S}$ 是一个完整的分量，但其维数和性质使得这是一个极强的可能性。
3. 结构唯一性： 该族位于椭圆曲线双重覆盖与亏格 2 曲线双重覆盖的交集之中，并且拥有 $a$-数 2，这使其区别于超奇异阿贝尔簇的典型行为。

作者总结道，尽管 $\mathcal{S}$ 是否为 $M^{ss}_5$ 的一个完整分量这一问题仍悬而未决，但该构造为特征为 2 的曲线算术几何领域提供了一个重要的研究新对象。