An unusual family of supersingular curves of genus five in characteristic two

Technische Samenvatting: Een ongewone familie van supersinguliere curves van genus vijf in karakteristiek twee

Probleemstelling
Het artikel onderzoekt de structuur van de supersinguliere locus $M^{ss}_g$ binnen de moduli-ruimte $M_g$ van gladde curves van genus $g$ over een veld $k$ met karakteristiek $p > 0$. Specifiek richt de auteur zich op het geval $g=5$ en $p=2$. Terwijl de dimensies van supersinguliere loci voor $g \le 4$ vaststaan in de literatuur, presenteert het geval $g=5$ een gat in de kennis. De verwachte dimensie van elke component van $M^{ss}_5$ is 3. Echter, bestaande constructies van supersinguliere families, zoals de familie $\mathcal{F}_{GV,5}$ door van der Geer en van der Vlugt, hebben een dimensie van slechts 2. Bovendien suggereert een conjectuur van Oort dat het generieke punt van een supersinguliere component een triviale automorphismengroep zou moeten hebben (ervan uitgaande dat de curve niet-hyperellig is). Het artikel tracht te bepalen of er een grotere familie bestaat in genus 5 die deze verwachtingen zou kunnen uitdagen of nieuwe structurele inzichten kan bieden.

Methodologie
De studie verloopt via een combinatie van computationele data-analyse en expliciete algebraïsche constructie:

1. Data-gestuurde motivatie: De auteur maakt gebruik van bestaande datasets van gladde genus 5 curves over $\mathbb{F}_2$ (uit [Dra24a]) om een specifieke subset van belang te identificeren. De data onthullen dat alle niet-hyperelliptische, niet-trigonale supersinguliere curves met niet-triviale $\mathbb{F}_2$-automorphismen op een specifieke kwadratische oppervlakte in $\mathbb{P}^4$ liggen, namelijk $X^2 + YZ = 0$.
2. Expliciete parametrisatie: Gemotiveerd door deze observatie, construeert de auteur een familie van curves $C$ gedefinieerd als de volledige doorsnede van drie kwadratische vormen in $\mathbb{P}^4$:
   • $q_1 = X^2 + YZ$
   • $q_2 = XY + ZT + T^2$
   • $q_3 = b_2XZ + b_3XT + b_3^2YT + b_8ZT + ZU + U^2$
     waarbij $b_2, b_3, b_8 \in \mathbb{F}_2$ en $b_3 \neq 0$.
3. Invariantie-berekening: Het artikel gebruikt de Kudo-Harashita methode om de Hasse-Witt matrix $H$ voor deze curves te berekenen. De $p$-rang (specifiek de 2-rang) en het $a$-getal worden afgeleid uit de rang van $H$ en de iteratieve Frobenius-producten.
4. Automorfisme- en cover-analyse: De auteur analyseert de projectieve transformaties in $\text{PGL}_5(\mathbb{F}_2)$ die de definiërende kwadratische vormen fixeren om de automorphismengroep $\text{Aut}(C)$ te bepalen. Daarnaast worden de functielichamen van de quotientcurves $C/\langle \iota \rangle$ en $C/\langle \eta \rangle$ berekend om de dubbele cover-structuren vast te stellen.
5. Verificatie van supersinguliariteit: Supersinguliariteit wordt bewezen door aan te tonen dat de Jacobiaan $J_C$ isoisogeen is aan een product van Jacobiaanse van curves met een lager genus ($g=1$ en $g=2$), die op hun beurt supersingulier zijn.

Belangrijkste bijdragen en resultaten
Het hoofdbestanddeel is de constructie van een 3-dimensionale familie $\mathcal{S}$ van gladde supersinguliere curves van genus 5 over $\mathbb{F}_2$, die de volgende eigenschappen bezit (Theorem 1.1 / Theorem 4.1):

• Dimensie: De dimensie van de familie $\mathcal{S}$ is 3, wat overeenkomt met de verwachte dimensie van de supersinguliere locus in genus 5. Dit is strikt groter dan de dimensie van de eerder bekende familie $\mathcal{F}_{GV,5}$ (die een dimensie van 2 heeft).
• Automorfismen: De generieke curve in $\mathcal{S}$ bezit een niet-triviale automorphismengroep die $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ bevat. Dit staat in contrast met de verwachting dat generieke supersinguliere curves triviale automorphismengroepen hebben.
• Cover-structuren: Elke curve in de familie staat dubbele covers toe over:
  • Een elliptische curve $E$ (specifiek de unieke supersinguliere elliptische curve $y^2+y=x^3$).
  • Een gladde curve $D$ van genus 2.
• Invarianten: De curves hebben een 2-rang van 0 en een $a$-getal van 2. Het $a$-getal van 2 is opmerkelijk omdat het generieke punt van de supersinguliere locus in de moduli-ruimte van abeliaanse variëteiten $A_g$ doorgaans een $a$-getal van 1 heeft.
• Expliciete vergelijkingen: Het artikel biedt expliciete vergelijkingen voor de curves en hun automorfismen, wat concrete verificatie van deze eigenschappen mogelijk maakt.

Betekenis en claims
Het artikel claimt dat de familie $\mathcal{S}$ "vrij ongewone eigenschappen" vertoont voor een supersinguliere locus:

1. Dimensionale match: Het is de eerste bekende familie in genus 5 die de verwachte dimensie van de supersinguliere locus (3) bereikt, terwijl eerdere constructies lager-dimensionaal waren.
2. Potentieel tegenvoorbeeld: Indien de afsluiting van $\mathcal{S}$ een component van $M^{ss}_5$ vormt, dient het als een tegenvoorbeeld voor de analogie van de Oort-conjectuur voor curves in genus 5 en karakteristiek 2, aangezien het generieke punt een niet-triviale automorphismengroep heeft. De auteur merkt op dat hoewel zij niet definitief kunnen bewijzen dat $\mathcal{S}$ een volledige component is, de dimensionaliteit en eigenschappen dit een sterke mogelijkheid maken.
3. Structurele uniciteit: De familie ligt in het snijpunt van de loci van dubbele covers van elliptische curves en genus 2 curves, en bezit een $a$-getal van 2, wat het onderscheidt van het generieke gedrag van supersinguliere abeliaanse variëteiten.

De auteur concludeert dat hoewel de vraag of $\mathcal{S}$ een volledige component van $M^{ss}_5$ is nog onbeantwoord blijft, de constructie een significant nieuw object biedt voor studie in de arithmetische geometrie van curves in karakteristiek 2.