An unusual family of supersingular curves of genus five in characteristic two

Résumé technique : Une famille inhabituelle de courbes supersingulières de genre cinq en caractéristique deux

Énoncé du problème
L'article étudie la structure du lieu supersingulier $M^{ss}_g$ au sein de l'espace de modules $M_g$ des courbes lisses de genre $g$ sur un corps $k$ de caractéristique $p > 0$. Plus précisément, l'auteur se concentre sur le cas $g=5$ et $p=2$. Alors que les dimensions des lieux supersinguliers pour $g \le 4$ sont établies dans la littérature, le cas $g=5$ présente une lacune dans la compréhension. La dimension attendue de tout composant de $M^{ss}_5$ est 3. Cependant, les constructions existantes de familles supersingulières, telles que la famille $\mathcal{F}_{GV,5}$ de van der Geer et van der Vlugt, ont une dimension de seulement 2. De plus, une conjecture d'Oort suggère que le point générique d'un composant supersingulier devrait avoir un groupe d'automorphismes trivial (en supposant que la courbe soit non hyperelliptique). L'article cherche à déterminer si une famille plus large existe en genre 5 qui pourrait défier ces attentes ou fournir de nouvelles perspectives structurelles.

Méthodologie
L'étude procède par une combinaison d'analyse de données computationnelles et de construction algébrique explicite :

1. Motivation par les données : L'auteur utilise des ensembles de données existants de courbes lisses de genre 5 sur $\mathbb{F}_2$ (provenant de [Dra24a]) pour identifier un sous-ensemble spécifique d'intérêt. Les données révèlent que toutes les courbes supersingulières non hyperelliptiques et non trigonales avec des groupes d'automorphismes non triviaux sur $\mathbb{F}_2$ se trouvent sur une surface quadrique spécifique dans $\mathbb{P}^4$, à savoir $X^2 + YZ = 0$.
2. Paramétrage explicite : Motivé par cette observation, l'auteur construit une famille de courbes $C$ définie comme l'intersection complète de trois quadriques dans $\mathbb{P}^4$ :
   • $q_1 = X^2 + YZ$
   • $q_2 = XY + ZT + T^2$
   • $q_3 = b_2XZ + b_3XT + b_3^2YT + b_8ZT + ZU + U^2$
     où $b_2, b_3, b_8 \in \mathbb{F}_2$ et $b_3 \neq 0$.
3. Calcul des invariants : L'article emploie la méthode de Kudo-Harashita pour calculer la matrice de Hasse-Witt $H$ pour ces courbes. Le $p$-rang (spécifiquement le 2-rang) et le nombre-$a$ sont dérivés du rang de $H$ et de ses produits de Frobenius itérés.
4. Analyse des automorphismes et des revêtements : L'auteur analyse les transformations projectives dans $\text{PGL}_5(\mathbb{F}_2)$ qui fixent les quadriques définissantes pour déterminer le groupe d'automorphisme $\text{Aut}(C)$. De plus, les corps de fonctions des courbes quotients $C/\langle \iota \rangle$ et $C/\langle \eta \rangle$ sont calculés pour établir les structures de doubles revêtements.
5. Vérification de la supersingularité : La supersingularité est prouvée en démontrant que le jacobien $J_C$ est isogène à un produit de jacobiens de courbes de genres inférieurs ($g=1$ et $g=2$) qui sont elles-mêmes supersingulières.

Contributions principales et résultats
Le résultat principal est la construction d'une famille de dimension 3, $\mathcal{S}$, de courbes supersingulières lisses de genre 5 sur $\mathbb{F}_2$, satisfaisant les propriétés suivantes (Théorème 1.1 / Théorème 4.1) :

• Dimension : La dimension de la famille $\mathcal{S}$ est 3, ce qui correspond à la dimension attendue du lieu supersingulier en genre 5. Elle est strictement supérieure à la dimension de la famille $\mathcal{F}_{GV,5}$ précédemment connue (qui a une dimension de 2).
• Automorphismes : La courbe générique de $\mathcal{S}$ possède un groupe d'automorphisme non trivial contenant $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Cela contraste avec l'attente selon laquelle les courbes supersingulières génériques devraient avoir des groupes d'automorphismes triviaux.
• Structures de revêtement : Chaque courbe dans la famille admet des doubles revêtements sur :
  • Une courbe elliptique $E$ (spécifiquement l'unique courbe elliptique supersingulière $y^2+y=x^3$).
  • Une courbe lisse $D$ de genre 2.
• Invariants : Les courbes ont un 2-rang de 0 et un nombre-$a$ de 2. Le nombre-$a$ de 2 est notable car le point générique du lieu supersingulier dans l'espace de modules des variétés abéliennes $A_g$ a typiquement un nombre-$a$ de 1.
• Équations explicites : L'article fournit des équations explicites pour les courbes et leurs automorphismes, permettant une vérification concrète de ces propriétés.

Signification et affirmations
L'article affirme que la famille $\mathcal{S}$ présente des « propriétés plutôt inhabituelles » pour un lieu supersingulier :

1. Correspondance de dimension : C'est la première famille connue en genre 5 qui atteint la dimension attendue du lieu supersingulier (3), alors que les constructions précédentes étaient de dimension inférieure.
2. Potentiel de contre-exemple : Si l'adhérence de $\mathcal{S}$ constitue un composant de $M^{ss}_5$, elle servirait de contre-exemple à l'analogue de la conjecture d'Oort pour les courbes en genre 5 et caractéristique 2, car le point générique possède un groupe d'automorphismes non trivial. L'auteur note que, bien qu'il ne puisse pas prouver de manière définitive que $\mathcal{S}$ est un composant complet, la dimensionnalité et les propriétés font de cela une forte possibilité.
3. Unicité structurelle : La famille se situe à l'intersection des lieux de doubles revêtements de courbes elliptiques et de courbes de genre 2, et possède un nombre-$a$ de 2, ce qui la distingue du comportement générique des variétés abéliennes supersingulières.

L'auteur conclut que, bien que la question de savoir si $\mathcal{S}$ est un composant complet de $M^{ss}_5$ reste ouverte, la construction fournit un nouvel objet d'étude significatif dans la géométrie arithmétique des courbes en caractéristique 2.