An unusual family of supersingular curves of genus five in characteristic two

Resumen Técnico: Una familia inusual de curvas supersingulares de género cinco en característica dos

Planteamiento del problema
El artículo investiga la estructura del lugar supersingular $M^{ss}_g$ dentro del espacio de módulos $M_g$ de curvas suaves de género $g$ sobre un cuerpo $k$ de característica $p > 0$. Específicamente, el autor se centra en el caso $g=5$ y $p=2$. Mientras que las dimensiones de los lugares supersingulares para $g \le 4$ están establecidas en la literatura, el caso $g=5$ presenta una laguna en la comprensión. La dimensión esperada de cualquier componente de $M^{ss}_5$ es 3. Sin embargo, las construcciones existentes de familias supersingulares, como la familia $\mathcal{F}_{GV,5}$ de van der Geer y van der Vlugt, tienen una dimensión de solo 2. Además, una conjetura de Oort sugiere que el punto genérico de un componente supersingular debería tener un grupo de automorfismos trivial (asumiendo que la curva no es hiperelíptica). El artículo busca determinar si existe una familia más grande en género 5 que pueda desafiar estas expectativas o proporcionar nuevas perspectivas estructurales.

Metodología
El estudio procede mediante una combinación de análisis de datos computacionales y construcción algebraica explícita:

1. Motivación basada en datos: El autor utiliza conjuntos de datos existentes de curvas suaves de género 5 sobre $\mathbb{F}_2$ (de [Dra24a]) para identificar un subconjunto específico de interés. Los datos revelan que todas las curvas supersingulares no hiperelípticas y no trigonales con grupos de automorfismos no triviales sobre $\mathbb{F}_2$ se encuentran en una superficie cuadrática específica en $\mathbb{P}^4$, a saber, $X^2 + YZ = 0$.
2. Parametrización explícita: Motivado por esta observación, el autor construye una familia de curvas $C$ definida como la intersección completa de tres cuadráticas en $\mathbb{P}^4$:
   • $q_1 = X^2 + YZ$
   • $q_2 = XY + ZT + T^2$
   • $q_3 = b_2XZ + b_3XT + b_3^2YT + b_8ZT + ZU + U^2$
     donde $b_2, b_3, b_8 \in \mathbb{F}_2$ y $b_3 \neq 0$.
3. Cómputo de invariantes: El artículo emplea el método de Kudo-Harashita para calcular la matriz de Hasse-Witt $H$. El $p$-rango (específicamente el 2-rango) y el número-$a$ se derivan del rango de $H$ y sus productos de Frobenius iterados.
4. Análisis de automorfismos y recubrimientos: El autor analiza las transformaciones proyectivas en $\text{PGL}_5(\mathbb{F}_2)$ que fijan las cuadráticas definitorias para determinar el grupo de automorfismos $\text{Aut}(C)$. Además, se computan los cuerpos de funciones de las curvas cociente $C/\langle \iota \rangle$ y $C/\langle \eta \rangle$ para establecer estructuras de recubrimiento doble.
5. Verificación de la supersingularidad: La supersingularidad se demuestra demostrando que el Jacobiano $J_C$ es isógeno a un producto de Jacobianos de curvas de género inferior ($g=1$ y $g=2$) que son, a su vez, supersingulares.

Contribuciones clave y resultados
El resultado principal es la construcción de una familia de 3 dimensiones $\mathcal{S}$ de curvas supersingulares suaves de género 5 sobre $\mathbb{F}_2$, que satisface las siguientes propiedades (Teorema 1.1 / Teorema 4.1):

• Dimensión: La dimensión de la familia $\mathcal{S}$ es 3, lo cual coincide con la dimensión esperada del lugar supersingular en género 5. Esto es estrictamente mayor que la dimensión de la familia $\mathcal{F}_{GV,5}$ previamente conocida (que tiene dimensión 2).
• Automorfismos: La curva genérica en $\mathcal{S}$ posee un grupo de automorfismos no trivial que contiene a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Esto contrasta con la expectativa de que las curvas supersingulares genéricas deberían tener grupos de automorfismos triviales.
• Estructuras de recubrimiento: Cada curva en la familia admite recubrimientos dobles sobre:
  • Una curva elíptica $E$ (específicamente la única curva elíptica supersingular $y^2+y=x^3$).
  • Una curva suave $D$ de género 2.
• Invariantes: Las curvas tienen un 2-rango de 0 y un número-$a$ de 2. El número-$a$ de 2 es notable porque el punto genérico del lugar supersingular en el espacio de módulos de variedades abelianas $A_g$ típicamente tiene un número-$a$ de 1.
• Ecuaciones explícitas: El artículo proporciona ecuaciones explícitas para las curvas y sus automorfismos, permitiendo la verificación concreta de estas propiedades.

Significación y afirmaciones
El artículo afirma que la familia $\mathcal{S}$ exhibe "propiedades bastante inusuales" para un lugar supersingular:

1. Coincidencia dimensional: Es la primera familia conocida en género 5 que alcanza la dimensión esperada del lugar supersingular (3), mientras que las construcciones anteriores eran de menor dimensión.
2. Potencial de contraejemplo: Si el cierre de $\mathcal{S}$ constituye un componente de $M^{ss}_5$, serviría como un contraejemplo para la analogía de la conjetura de Oort para curvas en género 5 y característica 2, ya que el punto genérico tiene un grupo de automorfismos no trivial. El autor señala que, aunque no puede probar definitivamente que $\mathcal{S}$ sea un componente completo, la dimensionalidad y las propiedades hacen que esto sea una posibilidad sólida.
3. Unicidad estructural: La familia se encuentra en la intersección de los lugares de recubrimientos dobles de curvas elípticas y de curvas de género 2, y posee un número-$a$ de 2, lo que la distingue del comportamiento genérico de las variedades abelianas supersingulares.

El autor concluye que, si bien la cuestión de si $\mathcal{S}$ es un componente completo de $M^{ss}_5$ sigue abierta, la construcción proporciona un nuevo objeto de estudio significativo en la geometría aritmética de curvas en característica 2.