An unusual family of supersingular curves of genus five in characteristic two

Resumo Técnico: Uma Família Incomum de Curvas Supersingulares de Gênero Cinco em Característica Dois

Enunciado do Problema
O artigo investiga a estrutura do lócus supersingular $M^{ss}_g$ dentro do espaço de módulos $M_g$ de curvas suaves de gênero $g$ sobre um corpo $k$ de característica $p > 0$. Especificamente, o autor foca no caso $g=5$ e $p=2$. Embora as dimensões dos lócus supersingulares para $g \le 4$ estejam estabelecidas na literatura, o caso $g=5$ apresenta uma lacuna de compreensão. A dimensão esperada de qualquer componente de $M^{ss}_5$ é 3. No entanto, construções existentes de famílias supersingulares, como a família $\mathcal{F}_{GV,5}$ de van der Geer e van der Vlugt, possuem uma dimensão de apenas 2. Além disso, uma conjectura de Oort sugere que o ponto genérico de um componente supersingular deve ter um grupo de automorfismos trivial (assumindo que a curva não seja hiperelíptica). O artigo busca determinar se existe uma família maior em gênero 5 que possa desafiar essas expectativas ou fornecer novos insights estruturais.

Metodologia
O estudo procede através de uma combinação de análise de dados computacionais e construção algébrica explícita:

1. Motivação Baseada em Dados: O autor utiliza conjuntos de dados existentes de curvas suaves de gênero 5 sobre $\mathbb{F}_2$ (de [Dra24a]) para identificar um subconjunto específico de interesse. Os dados revelam que todas as curvas supersingulares não hiperelípticas e não trigonais com grupos de automorfismo $\mathbb{F}_2$ não triviais residem em uma superfície quadrica específica em $\mathbb{P}^4$, a saber, $X^2 + YZ = 0$.
2. Parametrização Explícita: Motivado por essa observação, o autor constrói uma família de curvas $C$ definida como a interseção completa de três quadráticas em $\mathbb{P}^4$:
   • $q_1 = X^2 + YZ$
   • $q_2 = XY + ZT + T^2$
   • $q_3 = b_2XZ + b_3XT + b_3^2YT + b_8ZT + ZU + U^2$
     onde $b_2, b_3, b_8 \in \mathbb{F}_2$ e $b_3 \neq 0$.
3. Computação de Invariantes: O artigo emprega o método de Kudo-Harashita para computar a matriz de Hasse-Witt $H$ para estas curvas. O $p$-posto (especificamente o 2-posto) e o número-$a$ são derivados do posto de $H$ e de seus produtos de Frobenius iterados.
4. Análise de Automorfismo e Recobrimento: O autor analisa as transformações projetivas em $\text{PGL}_5(\mathbb{F}_2)$ que fixam as quadráticas definidoras para determinar o grupo de automorfismo $\text{Aut}(C)$. Adicionalmente, os corpos de funções das curvas de quociente $C/\langle \iota \rangle$ e $C/\langle \eta \rangle$ são computados para estabelecer estruturas de recobrimento duplo.
5. Verificação de Supersingularidade: A supersingularidade é provada demonstrando que o Jacobiano $J_C$ é isógeno a um produto de Jacobianos de curvas de gênero inferior ($g=1$ e $g=2$) que são, elas próprias, supersingulares.

Principais Contribuições e Resultados
O resultado principal é a construção de uma família 3-dimensional $\mathcal{S}$ de curvas supersingulares suaves de gênero 5 sobre $\mathbb{F}_2$, satisfazendo as seguintes propriedades (Teorema 1.1 / Teorema 4.1):

• Dimensão: A dimensão da família $\mathcal{S}$ é 3, o que coincide com a dimensão esperada do lócus supersingular em gênero 5. Esta é estritamente maior que a dimensão da família $\mathcal{F}_{GV,5}$ previamente conhecida (que possui dimensão 2).
• Automorfismos: A curva genérica em $\mathcal{S}$ possui um grupo de automorfismo não trivial contendo $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Isso contrasta com a expectativa de que curvas supersingulares genéricas devam possuir grupos de automorfismo triviais.
• Estruturas de Recobrimento: Cada curva na família admite recobrimentos duplos sobre:
  • Uma curva elíptica $E$ (especificamente a única curva elíptica supersingular $y^2+y=x^3$).
  • Uma curva suave $D$ de gênero 2.
• Invariantes: As curvas têm um 2-posto de 0 e um número-$a$ de 2. O número-$a$ de 2 é notável porque o ponto genérico do lócus supersingular no espaço de módulos de variedades abelianas $A_g$ tipicamente possui um número-$a$ de 1.
• Equações Explícitas: O artigo fornece equações explícitas para as curvas e seus automorfismos, permitindo a verificação concreta dessas propriedades.

Significância e Alegações
O artigo afirma que a família $\mathcal{S}$ exibe "propriedades bastante incomuns" para um lócus supersingular:

1. Correspondência Dimensional: É a primeira família conhecida em gênero 5 que atinge a dimensão esperada do lócus supersingular (3), enquanto construções anteriores eram de menor dimensão.
2. Potencial de Contraexemplo: Se o fechamento de $\mathcal{S}$ constituir um componente de $M^{ss}_5$, ele serviria como um contraexemplo para a analogia da conjectura de Oort para curvas em gênero 5 e característica 2, uma vez que o ponto genérico possui um grupo de automorfismo não trivial. O autor observa que, embora não possa provar definitivamente que $\mathcal{S}$ é um componente completo, a dimensionalidade e as propriedades tornam isso uma forte possibilidade.
3. Unicidade Estrutural: A família reside na interseção de lócus de recobrimentos duplos de curvas elípticas e curvas de gênero 2, e possui um número-$a$ de 2, distinguindo-se do comportamento genérico de variedades abelianas supersingulares.

O autor conclui que, embora a questão de saber se $\mathcal{S}$ é um componente completo de $M^{ss}_5$ permaneça aberta, a construção fornece um novo objeto de estudo significativo na geometria aritmética de curvas em característica 2.