Factor- and Composite-Based Structural Equation Modeling -- A New Approach to Incorporate Composites in the Traditional SEM Framework

Titel

Faktor- und kompositbasierte Strukturgleichungsmodelle (FC-SEM): Ein neuer Ansatz zur Integration von Kompositen in das traditionelle SEM-Rahmenwerk

1. Problemstellung

Strukturgleichungsmodelle (SEM) sind ein etabliertes Verfahren zur Analyse von Konstrukten und deren Beziehungen. Traditionell werden Konstrukte als latente Variablen (gemeinsame Faktoren) modelliert, die die Varianz-Kovarianzstruktur ihrer Indikatoren erklären (reflexive Messung). In den letzten zwei Jahrzehnten hat jedoch das Interesse an Kompositen (lineare Kombinationen von Indikatoren, formative Messung) stark zugenommen, da viele Konstrukte (z. B. sozioökonomischer Status oder Unternehmensattraktivität) besser als Zusammensetzung ihrer Indikatoren denn als deren gemeinsame Ursache verstanden werden.

Das zentrale Problem besteht darin, dass es bisher keine nahtlose Möglichkeit gab, beide Konstrukttypen (Faktoren und Komposite) innerhalb des traditionellen SEM-Rahmenwerks zu kombinieren. Bestehende Ansätze weisen erhebliche Mängel auf:

• Außerhalb des traditionellen SEM: Methoden wie PLS-PM, PLSc, GSCA oder SVD-SEM erlauben zwar die Kombination, bieten aber oft keine vollständige Modellbewertung (z. B. globale Passung), können keine fehlenden Daten (Missing Data) behandeln oder erfordern aufwendige Bootstrap-Verfahren für Inferenzstatistiken.
• Innerhalb des traditionellen SEM: Versuche, Komposite in das klassische SEM zu integrieren (z. B. One-Step-Ansatz, Pseudo-Indikator-Ansatz, H-O-Spezifikation), führen zu Einschränkungen. Diese umfassen oft die Unmöglichkeit, Komposite als abhängige Variablen zu modellieren, die Notwendigkeit, Gewichte vorzugeben (statt sie zu schätzen), oder eine übermäßige Komplexität der Modellspezifikation, die zu Konvergenzproblemen führt.

2. Methodik: Factor- and Composite-Based SEM (FC-SEM)

Die Autoren stellen einen neuen Ansatz vor, der Komposite und gemeinsame Faktoren direkt in das traditionelle SEM-Rahmenwerk integriert. Der Kern der Methode liegt in der Herleitung einer geschlossenen Form für die modellimplizierte Varianz-Kovarianz-Matrix der Indikatoren.

Modellspezifikation:
Das Modell besteht aus drei Teilen:

1. Messmodelle:
   • Für gemeinsame Faktoren ($\eta_f$): $y_f = \Lambda_f \eta_f + \varepsilon_f$ (reflexiv).
   • Für Komposite ($\eta_c$): $\eta_c = W' y_c$ (formativ), wobei $W$ die Gewichte sind. Die Varianzen und Kovarianzen der Indikatoren, die ein Komposit bilden, sind als freie Parameter in einer Matrix $T$ definiert.
2. Strukturmodell: Beschreibt die Beziehungen zwischen den Konstrukten ($\eta = B\eta + \zeta$).
3. Herleitung der Kovarianzmatrix:
   • Die Autoren leiten ab, wie sich die Varianzen der Komposite aus den Indikatoren ($W'TW$) und die Kovarianzen zwischen Kompositen und Indikatoren ergeben.
   • Es wird eine "Composite Loading"-Matrix ($\Lambda_c$) hergeleitet, die die Beziehung zwischen Kompositen und ihren Indikatoren im Sinne einer OLS-Regression beschreibt.
   • Die gesamte modellimplizierte Kovarianzmatrix $\Sigma(\theta)$ wird so formuliert, dass sie der klassischen SEM-Formel $\Sigma = \Lambda V(\eta) \Lambda' + \Theta$ entspricht, wobei $\Theta$ jedoch spezielle Strukturen für die Komposite enthält.

Identifikation und Skalierung:

• Das Modell ist identifiziert, wenn die üblichen SEM-Regeln für Faktoren und Strukturmodelle gelten und für Komposite eine Skalierung erfolgt (z. B. Fixierung eines Gewichts oder der Varianz des Komposits).
• Ein Komposit muss zudem mit mindestens einer anderen Variable (außer seinen eigenen Indikatoren) in Beziehung stehen, um identifiziert zu sein.

Schätzung:
Da die modellimplizierte Kovarianzmatrix in geschlossener Form vorliegt, können etablierte Schätzer des traditionellen SEM (wie Maximum Likelihood - ML, Generalized Least Squares - GLS) direkt angewendet werden. Dies ermöglicht die Nutzung von analytischen Standardfehlern und Teststatistiken ohne Bootstrap.

Implementierung:
Der Ansatz wurde im Open-Source-R-Paket lavaan (Version 0.6-20) implementiert. Komposite werden mit dem Operator <~ spezifiziert (z. B. Construct <~ x1 + x2 + x3), während latente Faktoren mit =~ definiert werden.

3. Wichtige Beiträge

1. Integration in traditionelles SEM: FC-SEM ermöglicht die gleichzeitige Schätzung von Faktoren und Kompositen unter Verwendung der gesamten Methodenkiste des traditionellen SEM (ML-Schätzung, Behandlung fehlender Werte, globale Modellpassung, Multi-Group-Analyse).
2. Flexibilität: Im Gegensatz zu früheren Ansätzen (wie H-O-Spezifikation) können Komposite sowohl als unabhängige als auch als abhängige Variablen im Strukturmodell auftreten. Die Gewichte werden frei geschätzt.
3. Statistische Inferenz: Durch die Verwendung von ML-Schätzern können analytische Standardfehler und Konfidenzintervalle berechnet werden, was den Rechenaufwand im Vergleich zu Bootstrap-Methoden (bei PLSc/GSCA) reduziert.
4. Skalierung: Der Ansatz erlaubt verschiedene Skalierungsmethoden für Komposite, ohne auf eingeschränkte Optimierungsalgorithmen angewiesen zu sein.

4. Ergebnisse

Die Autoren validierten den Ansatz durch drei Schritte:

• Szenario-Analyse: Ein simulierter Datensatz, der die Populationsparameter exakt abbildete, wurde analysiert. Das Ergebnis zeigte, dass FC-SEM (mit ML-Schätzer) die wahren Populationsparameter exakt wiederherstellen kann.
• Monte-Carlo-Simulation: Eine Simulation mit 1.000 Wiederholungen und Stichprobengröße $N=500$ bestätigte, dass die Schätzer konsistent sind und die empirischen Standardfehler den analytischen Standardfehlern nahekommen.
• Empirisches Beispiel: Anwendung auf den "American Customer Satisfaction Index" (ACSI). Die Ergebnisse von FC-SEM wurden mit denen von IGSCA, PLSc und der H-O-Spezifikation verglichen. Die standardisierten Parameterschätzungen waren sehr ähnlich, wobei FC-SEM und H-O fast identische Ergebnisse lieferten, während FC-SEM jedoch eine intuitivere Spezifikation und den Vorteil der ML-Schätzung bot.

5. Bedeutung und Ausblick

Die Einführung von FC-SEM ist ein signifikanter Fortschritt für die angewandte Forschung, da sie die Flexibilität von SEM erheblich erweitert. Forscher können nun Konstrukte, die sich nicht als gemeinsame Ursachen, sondern als Zusammensetzungen verhalten, korrekt modellieren, ohne auf die Vorteile des traditionellen SEM (wie robuste Modelltests und Umgang mit fehlenden Daten) verzichten zu müssen.

Einschränkungen und zukünftige Forschung:

• Die aktuelle Implementierung in lavaan unterstützt noch keine Mittelwertstrukturen und erfordert numerische Gradienten für die Optimierung.
• Die Anwendbarkeit von Modellpassungsindizes auf Modelle mit Kompositen muss weiter erforscht werden, da einige etablierte Maße für Komposite nicht optimal geeignet sind.
• Zukünftige Arbeiten sollten untersuchen, wie Messfehler in Komposit-Indikatoren integriert werden können, da der aktuelle Ansatz diese als fehlerfrei annimmt.

Zusammenfassend bietet FC-SEM einen robusten, flexiblen und theoretisch fundierten Rahmen, der die Lücke zwischen faktorbasierten und kompositbasierten Ansätzen schließt und die Anwendung von SEM in einer breiteren Palette von Disziplinen ermöglicht.