ABP estimate and Harnack inequality for a class of degenerate fully nonlinear pseudo-$p$-Laplacian equations

Technische Zusammenfassung: ABP-Abschätzung und Harnacksche Ungleichung für eine Klasse degenerierter voll nichtlinearer Pseudo-$p$-Laplace-Gleichungen

Problemstellung
Diese Arbeit untersucht die grundlegende Regularitätstheorie für Viskositätslösungen einer spezifischen Klasse degenerierter voll nichtlinearer Pseudo-$p$-Laplace-Gleichungen in Nichtdivergenzform. Das primäre Untersuchungsobjekt ist das Ungleichungssystem:
$$\begin{cases} M^{-}_{\lambda,\Lambda}\left(\left[|D_i u|^{p/2}\right] D^2 u \left[|D_i u|^{p/2}\right]\right) - \Lambda|Du|^{p+1} \leq f(x), \\ M^{+}_{\lambda,\Lambda}\left(\left[|D_i u|^{p/2}\right] D^2 u \left[|D_i u|^{p/2}\right]\right) + \Lambda|Du|^{p+1} \geq f(x), \end{cases}$$
definiert in der Einheitskugel $B_1$, wobei $p \geq 0$, $0 < \lambda \leq \Lambda$, $f \in L^n(B_1)$ und $[\cdot]$ eine diagonale Matrix bezeichnet.

Die zentrale Schwierigkeit, die adressiert wird, ist die koordinatenweise Degeneration, die diesen Operatoren eigen ist. Im Gegensatz zum Standard-$p$-Laplace-Operator, der nur degeneriert, wenn der volle Gradient $|Du|$ verschwindet, verliert der Pseudo-$p$-Laplace-Operator seine Elliptizität, wann immer irgendeine einzelne partielle Ableitung $D_j u$ verschwindet. Dies erzeugt eine Degenerationsmenge, die wesentlich größer ist als $\{|Du|=0\}$. Zudem kann an Punkten, an denen $D_j u = 0$ gilt, die zweite Ableitung $D_{jj}u$ unbeschränkt werden, während Ableitungen in nicht-degenerierten Richtungen kontrolliert bleiben. Diese Anisotropie verhindert die direkte Anwendung standardmäßiger Regularitätsergebnisse (wie etwa jene von Imbert-Silvestre oder Mooney), die auf uniforme Elliptizität oder eine Degeneration nur dort basieren, wo der Gradient groß ist.

Methodik
Die Autoren entwickeln eine Regularitätstheorie, die an diese spezifische anisotrope Degeneration angepasst ist, durch zwei wesentliche technische Innovationen:

1. Angepasste Aleksandrov-Bakelman-Pucci (ABP)-Abschätzung:
   Anstatt den Standard-Gradienten $Du$ abzubilden, nutzt der Beweis die Flächenformel auf der Abbildung $G(z) = (|z_i|^p z_i)$. Diese Wahl wird durch die Struktur des Operators motiviert, da sie effektiv das Bild von $(|D_i u|^p D_i u)$ anstelle von $Du$ abschätzt. Dies ermöglicht es den Autoren, die spezifischen Skalierungseigenschaften des Pseudo-$p$-Laplace-Operators zu handhaben.

2. Gleitendes Paraboloid mit anisotropen Funktionen:
   Um die Harnacksche Ungleichung zu etablieren, passen die Autoren die Methode des gleitenden Paraboloids (ursprünglich von Caffarelli und Savin) an. Standardparaboloide ($|x|^2$) versagen beim Umgang mit der koordinatenweisen Degeneration. Stattdessen führen die Autoren eine anisotrope „Paraboloid“-Funktion ein:
   $$\phi(x) = -1 + \frac{p}{2+p} \left( |x_1|^{1+\frac{1}{1+p}} + \cdots + |x_n|^{1+\frac{1}{1+p}} \right).$$
   Diese Funktion erfüllt eine entscheidende Identität: $-(1+p)[|D_i \phi|^{p/2}] D^2 \phi [|D_i \phi|^{p/2}] = I_n$.

   Ein erhebliches technisches Hindernis besteht darin, dass $\phi(x)$ nicht $C^2$ auf den Hyperebenen $\{z_i = 0\}$ ist, wo die Degeneration auftritt. Um dies zu überwinden, wenden die Autoren ein Dimensionsreduktionsargument an:

   • Sie zerlegen die Menge der Berührungspunkte basierend darauf, welche Koordinatenrichtungen degeneriert ($D_i u = 0$) und welche nicht-degeneriert sind.
   • An Punkten, an denen bestimmte Ableitungen verschwinden, beschränken sie die Analyse auf niedrigdimensionale Schnitte (Hyperebenen), in denen die verbleibenden Richtungen nicht-degeneriert sind.
   • Auf diesen Schnitten ist das eingeschränkte Paraboloid glatt, was die Anwendung der Flächenformel und standardmäßiger Maßschätzungen ermöglicht.
   • Die Ergebnisse werden anschließend mittels des Fubini-Satzes aggregiert.

   Eine ähnliche Strategie wird angewandt, um eine Barrierefunktion $\Phi(x) = |\phi(x)|^{-a}$ zu konstruieren, um die Verdopplungseigenschaft (Doubling Property) zu beweisen, welche für die Harnacksche Ungleichung essenziell ist.

Wesentliche Beiträge und Ergebnisse
Das Paper etabliert fundamentale Ergebnisse für die Lösungen der degenerierten Gleichungen:

1. Aleksandrov-Bakelman-Pucci (ABP)-Abschätzung (Theorem 1.1):
   Die Autoren beweisen eine ABP-Abschätzung, die das Supremum der Lösung $u$ in Abhängigkeit von ihren Randwerten und der $L^n$-Norm des Quellterms $f$ begrenzt. Speziell gilt:
   $$\sup_{\Omega} u \leq \sup_{\partial \Omega} u^+ + C \|f^-\|_{L^n(\Gamma^+(u))}^{\frac{1}{1+p}},$$
   wobei $\Gamma^+(u)$ die obere Kontaktmenge ist. Diese Abschätzung wird unter Verwendung der modifizierten Flächenformel unter Einbeziehung der Abbildung $G$ hergeleitet.

2. Harnacksche Ungleichung (Theorem 1.2):
   Für nicht-negative Lösungen $u$ mit $f \in L^n$ beweist das Paper eine Harnacksche Ungleichung:
   $$\sup_{B_{1/2}} u \leq C \left( \inf_{B_{1/2}} u + \|f\|_{L^n(B_1)}^{\frac{1}{1+p}} \right).$$
   Dieses Ergebnis wird durch Kombination der Maßschätzung (Lemma 4.1), die aus dem gleitenden anisotropen Paraboloid abgeleitet wurde, mit der Verdopplungseigenschaft (Lemma 5.1), die aus der anisotropen Barriere resultiert, erzielt.

3. Hölder-Regularität (Korollar 1.1):
   Als direkte Folge der Harnackschen Ungleichung etablieren die Autoren die lokale Hölder-Stetigkeit der Lösungen:
   $$\|u\|_{C^\alpha(B_{1/2})} \leq C \left( \|u\|_{L^\infty(B_1)} + \|f\|_{L^n(B_1)}^{\frac{1}{1+p}} \right).$$

Bedeutung und Umfang
Das Paper beansprucht, die erste grundlegende Regularitätstheorie (ABP-Abschätzungen und Harnacksche Ungleichungen) für diese spezifische Klasse degenerierter voll nichtlinearer Pseudo-$p$-Laplace-Gleichungen in Nichtdivergenzform bereitzustellen. Die Autoren merken an, dass, während die Regularität für Divergenzformen gut etabliert ist (via Moser-Iteration), der Fall der Nichtdivergenzform aufgrund des Fehlens der Äquivalenz zwischen dem Operator und dem Standard-$p$-Laplace-Operator einzigartige Herausforderungen mit sich bringt.

Die Bedeutung liegt im Umgang mit der unbeschränkten koordinatenweisen Degeneration. Die Autoren stellen explizit fest, dass bisherige Ergebnisse für Gleichungen, die nur dort degenerieren, wo $|Du|$ groß ist, hier nicht anwendbar sind, da die Degenerationsmenge wesentlich größer ist. Der Beitrag des Papers liegt in der Entwicklung einer maßgeschneiderten Methode des gleitenden Paraboloids unter Verwendung anisotroper Funktionen und einer Dimensionsreduktionstechnik zur Handhabung der Singularitäten bei $D_i u = 0$.

Die Arbeit ist als ein grundlegender Schritt in der Analyse partieller Differentialgleichungen gerahmt, die in der anisotropen Diffusion, orthotropen Modellen und Transportphänomenen in geschichteten Medien auftreten, bei denen die Reaktion von den einzelnen Koordinatenrichtungen abhängt. Die Ergebnisse werden als Etablierung der „grundlegenden Regularität“ präsentiert, die für weitere Analysen notwendig ist, ohne dabei über den mathematischen Rahmen hinaus zu höherer Regularität oder spezifischen physikalischen Anwendungen zu gehen.