ABP estimate and Harnack inequality for a class of degenerate fully nonlinear pseudo-$p$-Laplacian equations

Resumen Técnico: Estimación ABP e Desigualdad de Harnack para una Clase de Ecuaciones Pseudo-$p$-Laplacianas Completamente No Lineales Degeneradas

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga la teoría de regularidad básica para soluciones de viscosidad de una clase específica de ecuaciones pseudo-$p$-laplacianas completamente no lineales degeneradas en forma no divergente. El objeto principal de estudio es el sistema de desigualdad:
$$\begin{cases} M^{-}_{\lambda,\Lambda}\left(\left[|D_i u|^{p/2}\right] D^2 u \left[|D_i u|^{p/2}\right]\right) - \Lambda|Du|^{p+1} \leq f(x), \\ M^{+}_{\lambda,\Lambda}\left(\left[|D_i u|^{p/2}\right] D^2 u \left[|D_i u|^{p/2}\right]\right) + \Lambda|Du|^{p+1} \geq f(x), \end{cases}$$
definido en la bola unidad $B_1$, donde $p \geq 0$, $0 < \lambda \leq \Lambda$, $f \in L^n(B_1)$, y $[\cdot]$ denota una matriz diagonal.

La dificultad central abordada es la degeneración por componentes inherente a estos operadores. A diferencia del $p$-laplaciano estándar, que degenera solo cuando el gradiente completo $|Du|$ se anula, el pseudo-$p$-laplaciano pierde elipticidad cada vez que cualquier derivada parcial $D_j u$ se anula. Esto crea un conjunto de degeneración mucho mayor que $\{|Du|=0\}$. Además, en los puntos donde $D_j u = 0$, la segunda derivada $D_{jj}u$ puede volverse no acotada, mientras que las derivadas en direcciones no degeneradas permanecen controladas. Esta anisotropía impide la aplicación directa de los resultados de regularidad estándar (como los de Imbert-Silvestre o Mooney) que dependen de la elipticidad uniforme o de una degeneración solo donde el gradiente es grande.

Metodología
Los autores desarrollan una teoría de regularidad adaptada a esta degeneración anisotrópica específica a través de dos innovaciones técnicas principales:

1. Estimación de Aleksandrov-Bakelman-Pucci (ABP) Adaptada:
   En lugar de mapear el gradiente estándar $Du$, la prueba utiliza la fórmula del área sobre el mapa $G(z) = (|z_i|^p z_i)$. Esta elección está motivada por la estructura del operador, estimando efectivamente la imagen de $(|D_i u|^p D_i u)$ en lugar de $Du$. Esto permite a los autores manejar las propiedades de escala específicas del pseudo-$p$-laplaciano.

2. Paraboloide Deslizante con Funciones Anisotrópicas:
   Para establecer la desigualdad de Harnack, los autores adaptan el método del paraboloide deslizante (originalmente de Caffarelli y Savin). Los paraboloides estándar ($|x|^2$) fallan al intentar manejar la degeneración por componentes. En su lugar, los autores introducen una función "paraboloide" anisotrópica:
   $$\phi(x) = -1 + \frac{p}{2+p} \left( |x_1|^{1+\frac{1}{1+p}} + \cdots + |x_n|^{1+\frac{1}{1+p}} \right).$$
   Esta función satisface una identidad crucial: $-(1+p)[|D_i \phi|^{p/2}] D^2 \phi [|D_i \phi|^{p/2}] = I_n$.

   Un obstáculo técnico significativo es que $\phi(x)$ no es $C^2$ en los hiperplanos $\{z_i = 0\}$, donde ocurre la degeneración. Para superar esto, los autores emplean un argumento de reducción dimensional:

   • Descomponen el conjunto de puntos de contacto basándose en qué direcciones de las coordenadas son degeneradas ($D_i u = 0$) y cuáles son no degeneradas.
   • En esos puntos donde ciertas derivadas se anulan, restringen el análisis a rebanadas de menor dimensión (hiperplanos) donde las direcciones restantes son no degeneradas.
   • En estas rebanadas, el paraboloide restringido es suave, lo que permite la aplicación de la fórmula del área y las estimaciones de medida estándar.
   • Los resultados se agregan utilizando el teorema de Fubini.

   Una estrategia similar se aplica para construir una función barrera $\Phi(x) = |\phi(x)|^{-a}$ para probar la propiedad de duplicación, la cual es esencial para la desigualdad de Harnack.

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo establece los siguientes resultados fundamentales para las soluciones de las ecuaciones degeneradas:

1. Estimación de Aleksandrov-Bakelman-Pucci (ABP) (Teorema 1.1):
   Los autores prueban una estimación ABP que acota el supremo de la solución $u$ en términos de sus valores en la frontera y la norma $L^n$ del término fuente $f$. Específicamente:
   $$\sup_{\Omega} u \leq \sup_{\partial \Omega} u^+ + C \|f^-\|_{L^n(\Gamma^+(u))}^{\frac{1}{1+p}},$$
   donde $\Gamma^+(u)$ es el conjunto de contacto superior. Esta estimación se deriva utilizando la fórmula del área modificada involucrando el mapa $G$.

2. Desigualdad de Harnack (Teorema 1.2):
   Para soluciones no negativas $u$ con $f \in L^n$, el artículo demuestra una desigualdad de Harnack:
   $$\sup_{B_{1/2}} u \leq C \left( \inf_{B_{1/2}} u + \|f\|_{L^n(B_1)}^{\frac{1}{1+p}} \right).$$
   Este resultado se logra combinando la estimación de medida (Lema 4.1) derivada del paraboloide anisotrópico deslizante con la propiedad de duplicación (Lema 5.1) derivada de la barrera anisotrópica.

3. Regularidad de Hölder (Corolario 1.1):
   Como consecuencia directa de la desigualdad de Harnack, los autores establecen la continuidad de Hölder local de las soluciones:
   $$\|u\|_{C^\alpha(B_{1/2})} \leq C \left( \|u\|_{L^\infty(B_1)} + \|f\|_{L^n(B_1)}^{\frac{1}{1+p}} \right).$$

Significancia y Alcance
El artículo afirma proporcionar la primera teoría de regularidad básica (estimaciones ABP y desigualdades de Harnack) para esta clase específica de ecuaciones pseudo-$p$-laplacianas degeneradas en forma no divergente. Los autores señalan que, si bien la regularidad para la forma divergente está bien establecida (vía iteración de Moser), el caso no divergente presenta desafíos únicos debido a la falta de equivalencia entre el operador y el $p$-laplaciano estándar en el entorno no divergente.

La significancia radica en el manejo de la degeneración por componentes no acotada. Los autores explican explícitamente que los resultados previos para ecuaciones que degeneran solo donde $|Du|$ es grande no son aplicables aquí porque el conjunto de degeneración es mucho mayor. La contribución del artículo es el desarrollo de un método de paraboloide deslizante adaptado utilizando funciones anisotrópicas y una técnica de reducción dimensional para gestionar las singularidades en $D_i u = 0$.

El trabajo se enmarca como un paso fundacional en el análisis de ecuaciones diferenciales parciales que surgen en la difusión anisotrópica, modelos ortotrópicos y fenómenos de transporte en medios estratificados, donde la respuesta depende de las direcciones de las coordenadas individuales. Los resultados se presentan como el establecimiento de la "regularidad básica" necesaria para análisis posteriores, sin extenderse a la regularidad de orden superior o aplicaciones físicas específicas más allá del marco matemático establecido.