ABP estimate and Harnack inequality for a class of degenerate fully nonlinear pseudo-$p$-Laplacian equations

技术摘要：一类退化全非线性伪 $p$-拉普拉斯方程的 ABP 估计与 Harnack 不等式

问题陈述
本文研究了一类特定类型的非散度形式退化全非线性伪 $p$-拉普拉斯方程的粘性解的基本正则性理论。研究的核心对象是如下不等式系统：
$$\begin{cases} M^{-}_{\lambda,\Lambda}\left(\left[|D_i u|^{p/2}\right] D^2 u \left[|D_i u|^{p/2}\right]\right) - \Lambda|Du|^{p+1} \leq f(x), \\ M^{+}_{\lambda,\Lambda}\left(\left[|D_i u|^{p/2}\right] D^2 u \left[|D_i u|^{p/2}\right]\right) + \Lambda|Du|^{p+1} \geq f(x), \end{cases}$$
定义在单位球 $B_1$ 中，其中 $p \geq 0$，$0 < \lambda \leq \Lambda$，$f \in L^n(B_1)$，且 $[\cdot]$ 表示对角矩阵。

本文解决的核心困难在于这些算子固有的坐标向退化（coordinatewise degeneracy）。与标准的 $p$-拉普拉斯算子（仅在全梯度 $|Du|$消失时发生退化）不同，伪$p$-拉普拉斯算子在任何单个偏导数$D_j u$为零时都会失去椭圆性。这导致其退化集远大于${|Du|=0}$。此外，在$D_j u = 0$的点处，$D_{jj}u$ 可能变得无界，而其他非退化方向的导数则保持受控。这种各向异性使得无法直接应用依赖于一致椭圆性或仅在梯度较大时发生退化的标准正则性结果（例如 Imbert-Silvestre 或 Mooney 的结果）。

方法论
作者开发了一套适应这种特定各向异性退化的正则性理论，其主要包含两项技术创新：

1. 改进的 Aleksandrov-Bakelman-Pucci (ABP) 估计：
   证明过程并非映射标准的梯度 $Du$，而是利用了映射$G(z) = (|z_i|^p z_i)$上的面积公式。这一选择是受算子结构的启发，旨在有效估计$(|D_i u|^p D_i u)$的像，而非$Du$。这使得作者能够处理伪$p$-拉普拉斯算子的特定缩放性质。

2. 使用各向异性函数的滑动抛物面法：
   为了建立 Harnack 不等式，作者改进了滑动抛物面法（最初由 Caffarelli 和 Savin 提出）。标准的抛物面（$|x|^2$）无法处理坐标向退化。因此，作者引入了一种各向异性的“抛物面”函数：
   $$\phi(x) = -1 + \frac{p}{2+p} \left( |x_1|^{1+\frac{1}{1+p}} + \cdots + |x_n|^{1+\frac{1}{1+p}} \right).$$
   该函数满足一个关键恒等式：$-(1+p)[|D_i \phi|^{p/2}] D^2 \phi [|D_i \phi|^{p/2}] = I_n$。

   一个重大的技术障碍是 $\phi(x)$ 在超平面 $\{z_i = 0\}$（即退化发生处）处不是 $C^2$ 连续的。为了克服这一点，作者采用了降维论证：

   • 他们根据哪些坐标方向是退化的（$D_i u = 0$）以及哪些是非退化的，对接触点集合进行分解。
   • 在这些切片上，限制后的抛物面是光滑的，从而允许应用面积公式和标准测度估计。
   • 最后通过 Fubini 定理将结果汇总。

   类似的策略也被用于构造障碍函数 $\Phi(x) = |\phi(x)|^{-a}$，以证明对倍增性质（doubling property）的证明，这对于 Harnack 不等式至终关重要。

主要贡献与结果
本文建立了退化方程粘性解的基本结果：

1. Aleksandrov-Bakelman-Pucci (ABP) 估计（定理 1.1）：
   作者证明了一个 ABP 估计，将解 $u$ 的上确界由其边界值和源项 $f$ 的 $L^n$ 范数控制。具体为：
   $$\sup_{\Omega} u \leq \sup_{\partial \Omega} u^+ + C \|f^-\|_{L^n(\Gamma^+(u))}^{\frac{1}{1+p}},$$
   其中 $\Gamma^+(u)$ 是上接触集。该估计是通过涉及映射 $G$ 的修正面积公式推导而出的。

2. Harnack 不等式（定理 1.2）：
   对于非负解 $u$ 且 $f \in L^n$，本文证明了 Harnack 不等式：
   $$\sup_{B_{1/2}} u \leq C \left( \inf_{B_{1/2}} u + \|f\|_{L^n(B_1)}^{\frac{1}{1+p}} \right).$$
   该结果通过结合从各向异性滑动抛物面导出的测度估计（引理 4.1）以及从各向异性障碍函数导出的倍增性质（引理 5.1）来实现。

3. Hölder 正则性（推论 1.1）：
   作为 Harnack 不等式的直接结果，作者建立了解的局部 Hölder 连续性：
   $$\|u\|_{C^\alpha(B_{1/2})} \leq C \left( \|u\|_{L^\infty(B_1)} + \|f\|_{L^n(B_1)}^{\frac{1}{1+p}} \right).$$

意义与范围
本文声称为这类特定类型的非散度形式退化全非线性伪 $p$-拉普拉斯方程提供了首个基本正则性理论（ABP 估计和 Harnack 不等式）。作者指出，虽然散度形式的正则性已通过 Moser 迭代得到充分研究，但由于算子与标准 $p$-拉普拉斯算子在非散度设定下不存在等价性，非散度情况面临着独特的挑战。

其意义在于处理无界的坐标向退化。作者明确指出，以往针对仅在 $|Du|$较大时发生退化的方程的研究并不适用，因为这里的退化集要大得多。本文的贡献在于开发了一种定制的、使用各向异性函数和降维技术的滑动抛物面法，以管理$D_i u = 0$ 处的奇异性。

这项工作被定位为分析各向异性扩散、正交各向异性模型及层状介质输运现象中出现的偏微分方程的基础性步骤，在这些现象中，响应取决于单个坐标方向。所呈现的结果旨在建立进行进一步分析所需的“基本正则性”，而非扩展到更高阶的正则性或特定的物理应用。